2024-2025学年北京市顺义区牛栏山第一中学高一上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市顺义区牛栏山第一中学高一上学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.如果，那么下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知，则下列不等式一定成立的是 ．
A. B. C. D.
9.已知函数在定义域上是单调函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，记，，则下列说法错误的是( )
A. 对于函数，有成立
B. 若是二次函数，且是空集，则为空集
C. 对于函数，有成立
D. 对于函数，存在，使得成立
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.函数的值域为 __．
13.已知，则 ．
14.函数且的图象必过定点的坐标是 ．
15.设函数给出下列四个结论：
函数的值域是；
，有；
，使得；
若互不相等的实数满足，则的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知集合，集合，集合．
求；
若，求的取值范围．
17.本小题分
某公司计划投资，两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资金额的函数关系为，产品的利润与投资金额的函数关系为注：利润与投资金额单位：万元现在该公司有万元资金，并全部投入，两种产品中且均有投，其中万元资金投入产品．
请把，两种产品利润总和表示为的函数，并直接写出定义域；
在的条件下，当取何值时才能使公司获得最大利润？
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
已知函数的部分图象如图所示，
请根据条件将图象补充完整，并写出函数的解析式和单调递减区间；
若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．只需写出结论
写出解不等式的解集．
19.本小题分
已知
若当时，恒成立，求实数的取值范围；
求关于的不等式的解集．
20.本小题分
已知函数是定义域为的奇函数．
求函数的解析式；
用定义证明在定义域上是增函数；
求不等式的解集．
21.本小题分
已知集合
分别判断、、是否属于集合；
写出所有满足集合的不超过的正偶数；
已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件．
参考答案
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15.
16.因为，解得或，
所以或，所以，
因为，所以．
因为，所以，
当时，成立，此时，即；
当时，若，则需，解得，
综上所述，的取值范围是或．

17.由题意，万元投入产品，则万元投入产品，则
，．
由得，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，公司利润最大．

18.解：因为是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图，

结合图象可知，函数的单调递减区间为和．
因为当时，，
所以当时，，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以当时，，
故的解析式为．
解：因为有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点，
结合中的图象可知，当时，与的图象有个交点，
所以．
解：当时，可得，结合图象可得；
当时，可得，结合图象可得．
综上所述，不等式的解集为．

19.因为时，恒成立，所以时，恒成立，
所以时，即可，
因为，当且仅当时取等号，
所以，所以，
所以的取值范围是．
，
当，即时，此时不等式为和，解集为；
当或时，此时，的解集为；
当或时，此时，的解集为；
综上所述，时，解集为；
时，解集为；
时，解集为．

20.由题意，，，又，
满足题意．
所以；
设任意的且，，
又，所以，所以，，
所以在定义域上是增函数；
由得，解得解集为．

21.解：因为，，，所以，、、都属于集合．
解：集合，，
若、同奇或同偶时，、均为偶数，为的倍数；
当、一奇一偶时，、均为奇数，为奇数，
综上，所有满足集合的偶数为．
因此，满足集合的不超过的正偶数有、、．
证明：集合，则恒有，
所以，，即一切奇数都属于，
又，而，
所以，“”是“”的充分不必要条件．

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