2024-2025学年上海市青浦高级中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市青浦高级中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的条件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要
2.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.设，求方程的解集( )
A. B.
C. D.
4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知集合，，则 ______．
6.关于的方程的两个根为、，则 ______．
7.已知，则 的最小值为______．
8.已知幂函数满足，则______．
9.当时，式子的值为______．
10.设是实数，集合，，若，则的取值集合是 ．
11.设，，则______．
12.已知，，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______．
13.已知，则 ______用，表示
14.已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______．
15.若存在满足不等式，则实数的取值范围是______．
16.集合有个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素乘积为，则______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，，全集为．
求集合和；
求阴影部分表示的集合．
18.本小题分
设，比较与的大小．
19.本小题分
某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为，轮船的最大速度为海里小时，当船速为海里小时，它的燃料费是每小时元，其余航行运作费用不论速度如何总计是每小时元，假定运行过程中轮船以速度匀速航行．
求的值及每小时的总费用；
求该轮船航行海里的总费用燃料费航行运作费用的最小值．
20.本小题分
已知关于的一元二次方程的两个实根是、．
求的取值范围；
是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知有限集，，如果中元素满足，就称为“和积平衡集”．
判断集合是否为“和积平衡集”；
若，是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以，为根的一个一元二次方程系数可用，表示，并证明，至少有一个大于；
若，求所有符合条件的“和积平衡集”．
参考答案
1.
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15.
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17.解：由，得，解得，
所以，
由，得，解得，
所以；
由图可知阴影部分表示的集合为，
因为，所以，
所以阴影部分表示的集合为．
18.解：，，，，．
两数作商，
．
19.解：由题意，设燃料费为，
因为当船速为海里小时，它的燃料费是每小时元，
即当时，，
所以，解得，
所以每小时的总费用；
航行海里的时间为小时，
因此航行海里的总费用为，
因为，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以航行海里的总费用的最小值为元．
20.解：由题意知，
，
，
，
，
的取值范围是
由题意，
，
又
所以的取值范围是．
，
，
若，
则，
即，
，
即，
故不存在．
21.解：因为中元素满足，就称为和积平衡集，
对于集合集合，
因为，，
所以满足，满足题意，
所以集合是和积平衡集．
以，为根的一个一元二次方程可为，
因为，是两个不同的正数，且是和积平衡集，
所以，
又和为的两个不同的正根，
，
又，则，
若，都小于等于，则，矛盾，
所以，至少有一个大于；
设中的，且，
由，得时明显不满足，
所以，故，
所以，
当时，，，只能有，，
由，得，此时的和积平衡集为，
当时，，
又，即，
即，与矛盾，所以不满足条件，
所以符合条件的和积平衡集有且只有，此时的和积平衡集为．
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