2024-2025学年福建省莆田市莆田二中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省莆田二中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点，且一个方向向量为的直线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，若，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线过点，且在纵坐标上的截距为横坐标上的截距的两倍，则直线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
5.已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.在等比数列中，，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为( )
A. B. C. D.
7.德国数学家米勒曾提出最大视角问题：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？结论是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大人们称这一命题为米勒定理在平面直角坐标系内，已知，，点是直线：上一动点，当最大时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
8.设，圆：若动直线：与圆交于点，，动直线：与圆交于点，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，直线：，则下列结论正确的是( )
A. 在轴上的截距为 B. 过点且不垂直轴
C. 若，则或 D. 若，则
10.已知各项均为正数的数列的前项和为．，数列的前项和为则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 数列为单调递减数列 D. 使得的的最大值为
11.若点的坐标是，圆：关于直线对称，是圆上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 点在直线上
B. 的取值范围是
C. 以为直径的圆过定点
D. 若直线与圆切于点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和为，数列是公比为的等比数列若，则 ______．
13.一动圆与圆内切，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是______．
14.已知二次函数与轴交于，两点，点，圆过，，三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知正项等差数列满足：且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
若数列为递增数列，数列满足：，求数列的前项和．
16.本小题分
已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为．
求直线的方程及点的坐标；
求的面积．
17.本小题分
圆与直线：相切于点，且经过点．
求圆的方程；
已知直线：，
证明：直线与圆相交；
求直线被圆截得的弦长最短时的方程．
18.本小题分
若数列的前项和为，且，数列满足．
求数列的通项公式；
求证：数列是等比数列；
设数列满足，其前项和为，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
定义：是圆上一动点，是圆外一点，记的最大值为，的最小值为，若，则称为圆的“黄金点”；若同时是圆和圆的“黄金点”，则称为圆“”的“钻石点”已知圆：，为圆的“黄金点”
求点所在曲线的方程．
已知圆：，，均为圆“”的“钻石点”．
(ⅰ)求直线的方程．
(ⅱ)若圆是以线段为直径的圆，直线：与圆交于，两点，对于任意的实数，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：正项等差数列满足，且，，成等比数列，
设公差为，可得，即，
解得或，则，或；
若数列为递增数列，可得，，
则数列的前项和．
16.解：因为边上的高所在直线的方程为，
所以边所在直线的斜率为，
又顶点，
所以边所在的直线方程为，
联立，解得，，即，
综上所述，直线的方程为，点的坐标为．
设点坐标为，则，
代入中线所在直线的方程，有，即，
又点在直线上，所以，
联立，解得，，即，
所以到直线的距离为，
而，，
所以，
所以．
17.解：设与直线：垂直的直线方程为，
代入可得：，解得，
所以圆的圆心所在的直线方程为：上，
设，因为，
即，解得，
则，且圆的半径，
所以圆的方程为；
证明：对于直线：，即，
令，解得，即直线过定点，
且，可知点在圆内，
所以直线与圆相交；
解：当时，直线被圆截得的弦长最短，
此时，可知直线的斜率，
所以直线的方程为，即．
18.解：因为，
当时，，
当时，，
且时，也符合上式，
所以；
证明：，，
当时，
因为，
所以，
又因为，
而，
所以数列是首相为，公比为的等比数列；
因为是首相为，公比为的等比数列，
所以，
所以，
，
，
得，
，
化简得：，
因为，恒成立，
所以，
所以，
当，；
当时，，
又，
令，得：，
故当，恒成立，
所以在时，取到最大值，
所以实数的取值范围．
19.解：由题，点为圆的“黄金点”，
所以，
解得，
故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以点所在曲线的方程为；
由题有，，
则，即点在圆上，
所以是圆和的交点，
因为，均为圆“”的“钻石点”，
所以直线即为圆和的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得，
所以直线的方程为；
由题的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为，
所以直线的方程为，得的中点坐标为，
点到直线的距离为，
则，所以圆的方程为，
假设轴上存在点满足题意，设，，．
整理得．
又，所以代入上式可得
整理得，
由，
可得，
所以，
代入并整理得，
此式对任意的都成立，所以．
故轴上存在点，使得轴平分．
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