2024-2025学年北京市东城区第五十中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市东城区第五十中学高三上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则集合( )
A. B. C. D.
3.函数，，，且的最小值为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
5.在中，，则( )
A. B. C. D.
6.记为数列的前项和．若，则( )
A. 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项
C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项
7.在等腰梯形中，．为的中点，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
9.点分别是棱长为的正方体中棱的中点，动点在正方形包括边界内运动若面，则的长度范围是( )
A. B. C. D.
10.已知函数若，，使成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.二项式的展开式中常数项为 用数字作答
12.函数的定义域是 ．
13.已知命题：，，若命题为假命题，则实数的取值范围是 ．
14.已知等边的边长为，分别是的中点，则 ；若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
15.如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动给出下列四个结论：
；
存在一点，；
若，则面积的最大值为；
若到直线的距离与到点的距离相等，则的轨迹为抛物线的一部分．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，．
若，求的面积：
在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求．
条件：；条件：；条件：．
17.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18.人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中字作为样本语料库，其中“一”出现了次，统计“一”与其后面一个字或标点的搭配情况，数据如下：
“一”与其后面一个字或标点的搭配情况 频数
“一个”
“一些”
“一穷”
“一条”
其他
假设用频率估计概率．
求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
在甲类题材“新闻稿”中随机抽取个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为，求的分布列和期望；
另外随机选取甲类题材“新闻稿”中字作为样本语料库进行统计，“一”出现了次，“一格”出现了次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？结论不要求证明
19.已知椭圆过点和．
求椭圆的方程；
过点作直线交椭圆于不同的两点，直线交轴于点，直线交轴于点若，求直线的方程．
20.已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求在区间上的最大值与最小值；
当时，求证：．
21.对于数列，，，定义“变换”：将数列变换成数列，，，其中，且，记作继续对数列进行“变换”，得到数列，，，依此类推．当且仅当得到的数列各项均为时变换结束．
直接写出，，经过次“变换”得到的数列，及再经过次“变换”得到的数列；
若经过次“变换”后变换结束，求的最大值；
设，已知，，，且的各项之和为，若再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值．
参考答案
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15.
16.由题意可知，，，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以；
若选，则有且，，
由，可得，
所以，即，
因为，故无解，不满足题意；
若选，则有且，，
由，可得，
所以，
即，，
又因为，解得；
若选，则有且，，
由，可得，
所以，
所以，所以，
因为，所以不可能为钝角或直角，只能为锐角，
所以，所以．
综上，选或选，．

17.因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，所以，
取的中点，连结，，
因为，所以．
又因为平面，平面平面，
所以平面．
因为平面，所以．
因为，所以．
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图建立空间直角坐标系，
由题意得，，，，，．
设平面的法向量为，则
即
令，则，．
所以．
又，所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
设是棱上一点，则存在使得．
因此点，．
因为平面，所以平面当且仅当，
即，解得．
所以在棱上存在点使得平面，此时．

18.解：由题意可得 ，
故甲类题材中“一”出现的概率为．
由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取个“一”，搭配“一个”出现的概率为，
则，则，，
，
故的分布列为：
则．
由题意知样本语料库中“一格”出现的概率为，
甲类题材中“一个”出现的概率为，
由于，故输入拼音“”时，“一个”在前面更合适．

19.将点坐标代入椭圆的方程，得解得，所以椭圆的方程为：
若直线的斜率不存在，即直线为时，和重合，和点重合，分别为椭圆的上下顶点，此时，符合题意．
若直线斜率存在，设直线的方程为，且，联立方程得，，即或
，所以直线的方程为，取得，同理可得
由得，即，所以，即，即
即，因为，所以得，即，经检验符合题意，此时直线为
综上所述，直线的方程为或．

20.解： ， ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
， ，
当 时， 在区间 上恒成立， 在区间 上单调递增，
所以函数 的最小值为 ，最大值为 ，
当 时，令 ，得 ，
在区间 上，函数 单调递减，
在区间 上， ，函数 单调递增，
所以函数 的最小值为 ，
， ，显然 ，所以函数 的最大值为 ，
综上可知，当 时，函数 的最小值为 ，最大值为 ，
当 时，函数 的最小值为 ，最大值为 ；
当 时， ，即证明不等式 ，
设 ， ， ，
设 ， ， ，
所以 在 上 单调递增，并且 ， ，
所以函数 在 上存在唯一零点 ，使 ，
即 ，则在区间 ， ， 单调递减，
在区间 ， ， 单调递增，
所以 的最小值为 ，
由 ，得 ，且 ，
所以 ，
所以 ，即 ．

21.
，，经过次“变换”得：，，，
：，，，经过次“变换”得，，；经过第次“变换”得，，；
经过第次“变换”得，，即：，，．
的最大值为
先证明可以为
构造：，，，则：，，，变换结束，此时．
再证明
反证法：假设
设经过次“变换”后得到的数列为，且不全为．
因为经过次“变换”后变换结束，
所以，所以为非常数
设即由进行“变换”得到，
则
不妨设
所以
所以，与矛盾．
综上，的最大值为
因为的各项之和为，不妨设，所以为的最大项
即最大，即，或
当时，可得
所以，则
当时，可得
所以，则
定义：若一个数列有三项，且最小项为，较大两项相差，则称此数列与数列
“结构相同”．
若数列的三项为，则无论其顺序如何，经过“变换”得到的数列的三项为不考虑顺序
所以与数列“结构相同”的数列经过“变换”得到的数列也与“结构相同”，除以外其余各项减少，各项之和减少．
因此，数列，，经过次“变换”一定得到各项为，，，不考虑顺序的数列．
对，，，继续进行“变换”，依次得，，；，，；，，；
各项为，，的数列，无论顺序如何，经过“变换”得到的数列会重复出现，各项之和不再减少．
所以，至少通过次“变换”得到的数列各项之和最小．
故的最小值为．

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