重庆市第十一中学校教育集团2025届高三上学期第三次质量检测数学试题（含答案）

重庆市第十一中学校教育集团2025届高三上学期第三次质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知圆锥的底面半径为，轴截面的面积为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数且在定义域内是增函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若为偶函数；且在区间内仅有两个零点，则的值是( )
A. B. C. D.
8.是定义在上的函数，，且对任意，满足，，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，则( )
A. 有三个零点 B. 是的极小值点
C. 的图象关于点对称 D. 当时，
10.李明每天从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时分钟，样本方差为骑自行车平均用时分钟，
样本方差为假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则( )
A. B.
C. 李明计划前到校，应选择坐公交车 D. 李明计划前到校，应选择骑自行车
11.已知中，，，分别在线段，上，且，现将沿折起，使二面角的大小为以下命题正确的是( )
A. 若，，则点到平面的距离为
B. 存在使得四棱锥有外接球
C. 若，则三棱锥体积的最大值为
D. 若，三棱锥的外接球的半径取得最小值时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，若，，则 ．
13.如下图，用种不同颜色标注地图中的个区域，相邻省颜色不同，有 种不同的涂色方式．
14.已知正数，满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，为正三角形，四边形为菱形．
求证：平面；
若，且为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，满足
设，，过作垂直于点，点为线段的中点，求的值；
若为锐角三角形，，求面积的取值范围．
18.本小题分
已知为圆上一个动点，垂直轴，垂足为，为坐标原点，的重心为．
求点的轨迹方程；
记中的轨迹为曲线，直线与曲线相交于、两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程．
19.本小题分
龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了和两个套餐服务，顾客可选择和两个套餐之一，并在平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在平台天销售优惠券情况．
日期
销售量千张
经计算可得：，，．
因为优惠券购买火爆，平台在第天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量和日期呈线性关系，现剔除第天数据，求关于的经验回归方程结果中的数值用分数表示；
若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐可以用一张优惠券，套餐可以用两张优惠券，记平台累计销售优惠券为张的概率为，求；
记中所得概率的值构成数列．
求的最值；
数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，是一个确定的实数，则称数列收敛于根据数列收敛的定义证明数列收敛．
参考公式：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
因为函数，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由可得，
若，则；若，则．
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，
综上所述，当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为．
当时，由，可得，则直线与函数的图象有两个交点，
函数的定义域为，，
由，可得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：

由图可知，当时，
直线与函数在上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是．

16.
设与交于点，连接，
则由为正三角形可得，
又由四边形为菱形可得，
因为，平面，
所以平面．
由可得，
又，，平面，所以平面，
取中点，连接，则由为正三角形可得，
因为，所以，
又平面，平面，所以，
取中点，连接，则，故且，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
由上是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．

17.解：，由正弦定理得：
，
所以，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，，由余弦定理得：，
因为，所以，
其中，
所以，
因为点为线段的中点，所以，
由题意得：，
所以．
由知：，又，
由正弦定理得：，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得：，
则，，，
故，
面积为
故面积的取值范围是．

18.解：设，，则，
因为的重心，故有：，解得，，
代入，化简得，
又，故，
所以的轨迹方程为．
因为的垂心，故有，，
又，
故可设直线的方程为，
与联立消去得：，
，
设，，则，，
由，得，
，
，
，
，
解得舍去或满足
故直线的方程为．
19.解：剔除第天数据的 ，
，
， ，
所以 ，
故 ，所以 ．
由题意可知 ，
其中 ，
所以 ，
又 ，
所以 是首项为 的常数列，故 ，
所以 ，又 ，
所以 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，即 ；
当 为偶数时， 单调递减，最大值为 ；
当 为奇数时， 单调递增，最小值为 ；
综上：数列 的最大值为 ，最小值为 ；
证明：对任意 总存在正整数 ，其中 表示取整函数，
当 时， ，
所以数列 收敛．

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