福建省福州市八县(市)协作校2025届高三上学期期中联考数学试卷（含答案）

福建省福州市八县(市)协作校2025届高三上学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数是偶函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知正项等比数列的前项和为，若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.设，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.幸福感指数是生活质量的一个评价指标，其中，分别表示物质生活指标与精神生活指标幸福感指数越大，生活质量越高如果某人近年的物质生活指标没有变化，精神生活指标由变为，幸福感指数由提高到，则( )
A. B. C. D.
6.若点是曲线上任意一点，则点到直线距离最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在使得，，依次成等差数列，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知、都是正数，则( )
A. B. 若，则的最大值为
C. 的最大值为 D.
10.已知函数的部分图象如图，则( )
A.
B.
C. 在上单调递减
D. 将的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大为原来的倍纵坐标不变，最后将纵坐标变为原来的横坐标不变得到图象，则为正弦曲线
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的最大值为
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 当时，方程有且只有一个实根
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为 ．
13.若函数的图象关于点成中心对称，则 ．
14.已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，若公差，，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
求．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若，是的中点，，求．
17.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求在上的单调区间；
若方程在上的解为，，求的值．
18.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若有两个极值点，求实数的取值范围；
当时，若，求证：．
19.本小题分
设自然数，由个不同的正整数，，，构成的集合若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数对于集合，若取得最大值，则称集合为“极异集合”；
对于集合，求，并判断其是否是的“极异集合”无须说明理由．
设集合是“极异集合”．
记，求证：数列前项和；
证明：．
参考答案
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15.
设等差数列的公差为，且，
则，即，解得
则．
，
所以
．

16.
在中，由及正弦定理得，
即，而，，解得，
所以．
由知，，
在中，由余弦定理得，即，
整理得，又，则，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得．

17.
依题意，，则，解得，
因此，当时，，
由或，得或，
由，得，
所以在上的单调递增区间是，递减区间是．
由，得，当时，，
依题意，，解得，
所以．

18.
函数的定义域为，求导得，
令，求导得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
由函数有两个极值点，得函数有两个变号零点，
由知，当时，最多一个零点，不符合题意；
当时，，
而从大于的方向趋近于时，的值趋近于负无穷大，当趋近于正无穷大时，的值趋近于负无穷大，
要函数有两个变号零点，当且仅当，解得，
所以实数 取值范围是．
当时，，，求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
而，则存在，使得，即，
当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，
所以．

19.
对于集合，，不是极异集合．
对于，其共有个非空子集：
各集合的和分别为：，则，，
因为有两个相等元素所以集合不是极异集合．
因为是“极异集合”，故对于任意的，也是“极异集合”，
否则有两个非空子集，它们的元素和相等，
而也是的子集，故不是“极异集合”，矛盾．
注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异，
且子集的和最大为，最小为，故．
因为，
故
，
可得，故．
不妨设，
，
设，则，由可得，且．
而
，
故，
当且仅当时等号成立，
即此时任意的正整数，，即，
故此时时等号成立，故的最大值为，
故．

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