河南省新乡市名校2025届高三上学期阶段性诊断测试（期中）数学试题（含答案）

河南省新乡市名校2025届高三上学期阶段性诊断测试（期中）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题既是真命题又是存在量词命题的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.若与均为定义在上的奇函数，则函数的部分图象可能为( )
A. B.
C. D.
3.已知函数，则函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
4.将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为( )
A. B. C. D.
5.设的实部与虚部相等，且实部不为，的虚部是实部的倍，且在复平面内对应的点位于第三象限，则“在复平面内对应的点位于第一象限”是“在复平面内对应的点位于第二象限”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.函数的所有零点的和为( )
A. B. C. D.
7.定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总
和为( )
A. B. C. D.
8.已知，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.年快递业务量及其增长速度如图所示，则( )
A. 年快递业务量逐年上升
B. 年快递业务量的极差为亿件
C. 年快递业务量的增长速度的分位数为
D. 年快递业务量的增长速度的平均数为
10.已知函数的极小值点为，且的极小值为，则( )
A. B.
C. 有个零点 D. 直线与的图象有个公共点
11.已知，，且不等式恒成立，则( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，，若，则与夹角的余弦值为 ．
13.将一副三角板按如图所示的位置拼接：含角的三角板的长直角边与含角
的三角板的斜边恰好重合．与相交于点若，则 ．
14.已知函数的定义域为，，且若关于的不等式在上有解，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在上的值域为．
求；
将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，求的解析式与单调递增区间．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性．
17.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知，．
若，求及；
若的面积为，求内切圆的半径．
18.本小题分
某工厂打算购买台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个元在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个元在使用期间，每台设备需要更换的零件个数的分布列为
表示台设备使用期间需更换的零件个数，代表购买台设备的同时购买易损零件的个数．
求的分布列；
以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选择哪一个
19.本小题分
设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”．
试问函数是否为“循环函数”？说明你的理由．
已知函数，证明：存在常数，使得为“循环函数”．
已知对任意，，函数，都满足．
证明：为“循环函数”．
若，证明：当时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 或
13.
14.
15.解：
因为，所以，
令，因为，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，
所以，且，
所以．
的图象上所有点的横坐标变为原来的可得，
的图象上所有点的纵坐标变为原来两倍可得；
令，
所以，
所以的单调递增区间为

16.解：
当时，，
则，则．
因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
的定义域为，．
当时，当时，，故在上单调递减．
当时，令，得，
，
当时，，则的单调递增区间为．
当时，，则的单调递减区间为．

17.解：
因为，，所以，
所以，
又，所以．
由，得，
所以．
【小问详解】
因为的面积，
所以，
故
当时，，
当时，，
则或．
内切圆的半径．
当时，；
当时，．

18.解：
由题意，的可能取值为，，，，，，，
则，
，
，
，
，
，
，
则的分布列为：
【小问详解】记为当时购买零件所需费用，的可能取值为，，，，，
则，，
，
，
，
则．
记为当时购买零件所需费用，的可能取值为，，，，
则，，
，
，
，
显然，
所以应选择．

19.解：
当，则，
当时，，则．
当时，，；
因此对任意的，都有，
故是“循环函数”．
根据题意可知函数，
显然，，
易知函数的定义域为，要使任意满足，
那么，
因此不妨令，
当时，，
则，
所以存在常数，使得为“循环函数”．
证明：由题意得对，恒成立，
所以存在常数，使得．
令，得解得，．
由，得为“循环函数”．
若，则，．
要证明，
所以即证，
即证，
不妨设，
显然，
所以导函数，
显然当时，导函数，此时函数单调递增；
当时，导函数，此时函数单调递减；
所以，
设，
因此，，
显然当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
故，
即，
所以，
即，
即．

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