山西省长治市2025届高三上学期11月月考数学试题（含答案）

山西省长治市2025届高三上学期11月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知条件与，那么是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若，，则( )
A. B. C. D.
5.函数的大致图象是( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥底面半径为，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥内半径最大的球的体积是( )
A. B. C. D.
7.某市九月份天的空气质量指数如下：
则将该市空气质量指数按照从低到高的顺序排列，其分位数是( )
A. B. C. D.
8.已知等差数列的前项和为，且，，，则的所有取值的和等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，则 ．
A. B. C. D.
10.已知，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则
11.已知函数在处有极值，则( )
A. B. 的极大值为
C. 有三个零点 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，，则函数的单调递减区间为 ．
13.已知函数，，存在直线过点与曲线和都相切，则 ．
14.人类四种血型与基因类型的对应关系为：型对应基因类型，型对应基因类型或，型对应基因类型或，型对应基因类型其中和是显性基因，是隐性基因．一对夫妻的血型一个是型，一个是型，则其子女的血型中最可能出现的是 型，概率值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列与是两个不同的数列．
设数列为单调递增数列，为单调递减数列，记集合，求集合中元素个数的最大值；
若为等差数列，且不是常数列，，判断是否为等差数列．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，已知．
求；
若是边上一点，且，，求的值．
17.本小题分
如图，直四棱柱中底面为平行四边形，，，是棱的中点．
证明：平面；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知．
当时，求函数在区间上的最值；
若恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
悬链线，也称为悬垂线或悬链曲线，是在均匀重力场中，将一条柔软且不可伸长的绳索两端固定时所形成的曲线，这种曲线的形状类似于一条链子自然悬挂时的轮廓．后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式双曲正弦函数的表达式．
讨论的单调性并求其最值；
若函数，证明：曲线是中心对称图形；
证明：；；
(ⅱ)已知正项数列满足，，直接写出其通项公式；判断是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：因为为递增数列，所以体现在散点图上，是呈上升趋势，
为递减数列，所以体现在散点图上，是呈下降趋势，两者至多一个交点，
所以集合中元素个数的最大值为．
设的公差为，不等于，
所以显然不是一个定值，
所以不是等差数列．

16.解：因为，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理，
所以，又，所以；
因为，记，则，
因为，设，，
在中，，即，
在中，，所以，所以，
所以，即，
在中由余弦定理有，整理得，即，
所以，即．

17.解：连接，因为，，，
所以，又，
所以，
所以，
所以，又，所以，
因为，，所以，所以，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，平面，
所以平面；
由可知、、两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则
取，则，
；
由得平面的法向量，
设二面角为，显然二面角为锐二面角，
所以，所以二面角的余弦值为．

18.解：当时，则，
所以当时，当或时，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
又，所以函数在区间上的最大值为；
，，
因为，
因为，所以，则，
所以，
所以函数在区间上的最小值为；
综上可得函数在区间上的最大值为，最小值为；
因为，令，
则恒成立的必要条件是，即，
由，令，则，
因为，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为当时，所以，则在上没有零点，
又，所以存在，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
要使，只需，即，
因为，所以，
代入中，解得，
令，则，
所以当时，则在上单调递增，
所以当时，所以，即，
综上可得的取值范围为．

19.解：因为，则定义域为，
且为增函数，且当时，
所以当时，当时，
即的单调递减区间为，单调递增区间为，
则当时取得最小值，没有最大值；
函数的定义域为，
又
，
所以曲线是中心对称图形，且对称中心为；
．
(ⅱ)由(ⅰ)可知，又，，
可设，则，
，，，
所以，
记，则，解得或，
所以或，
则，
则．

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