2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 71.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-27 18:11:04 | ||
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文档简介
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知半径为的圆上有两点，，，设向量，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
4.若函数是偶函数，则曲线在处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
5.在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的图象关于点对称，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，，若成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的命题是( )
A. 在中，若，则
B. 若，，，则有两个解
C. 若，则是等腰三角形或直角三角形
D. 若，则角
10.已知数列满足，，设，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点包括边界，且平面，则下列说法正确的有( )
A. 动点轨迹的长度为
B. 平面截正方体所得的截面图形的面积为
C. 存在点，使得
D. 若为的中点，以点为球心，为半径的球面与四边形的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则此圆锥的体积是______．
13.已知数列是各项均为正数的等比数列，，则 ______．
14.已知正四面体中，，，，，在线段上，且，过点作平行于直线和的平面，该平面截正四面体的截面面积为，则 ______；若，则数列的最大项为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线与交于点，，，，底面，点是的中点．
求证：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
已知函数，在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求函数在区间上的值域；
求角；
若，求的面积．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求的单调区间和极值；
若，，求的取值范围．
18.本小题分
已知矩形中，，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面．
证明：；
已知在线段上存在点点与点，均不重合，使得与平面所成的角的正弦值是．
求的值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对表示平面向量又称为二维向量，一般地，元有序实数组称为维向量，它是二维向量的推广，类似于二维向量，对于维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度模等：设，则已知向量满足，向量满足．
求的值；
若，其中．
求证：；
当且时，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：四边形为菱形，，又平面，平面，
，又，，平面，
平面，又平面，
平面平面；
由易知，，两两垂直，
以直线为轴，直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题可知，，，且为中点，
，，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，，
，令，则，
，
易知平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
则．
16.解：根据题意，可得，
当时，，
可得的最小值为，最大值，
所以函数在区间上的值域为；
由得，即．
因为，，所以，可得；
由余弦定理得，
若，则，
因为，
所以，可得，即．
由正弦定理，得，，
所以，结合，可得．
所以的面积．
17.解：当时，，
，
令，则，
故在上单调递减，而，
因此是在上的唯一零点，即是在上的唯一零点，
当变化时，，的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减
所以的单调递增区间为，递减区间为，
所以的极大值为，无极小值；
由题意知，即，即，
设，则，
令，解得，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
18.解：证明：依题意矩形，，，是中点，
所以，
又，所以，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，
所以．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则，，，，
，，
设是的中点，因为，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，，所以，
设，则，
则．
设平面的一个法向量为，
则，
令，可得，，即，
设与平面所成的角为，
所以，
解得舍去，
所以的值为．
由得，
所以点到平面的距离．
19.解：依题，，，
则 ，
，
，得，
即，
．
证明：，，
，
先证：，，
设，，则，
在上单调递增，即当时，，
即，
故，．
，
，
．
综上可得，当且时，．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知半径为的圆上有两点，，，设向量，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
4.若函数是偶函数，则曲线在处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
5.在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的图象关于点对称，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，，若成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的命题是( )
A. 在中，若，则
B. 若，，，则有两个解
C. 若，则是等腰三角形或直角三角形
D. 若，则角
10.已知数列满足，，设，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点包括边界，且平面，则下列说法正确的有( )
A. 动点轨迹的长度为
B. 平面截正方体所得的截面图形的面积为
C. 存在点，使得
D. 若为的中点，以点为球心，为半径的球面与四边形的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则此圆锥的体积是______．
13.已知数列是各项均为正数的等比数列，，则 ______．
14.已知正四面体中，，，，，在线段上，且，过点作平行于直线和的平面，该平面截正四面体的截面面积为，则 ______；若，则数列的最大项为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线与交于点，，，，底面，点是的中点．
求证：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
已知函数，在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求函数在区间上的值域；
求角；
若，求的面积．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求的单调区间和极值；
若，，求的取值范围．
18.本小题分
已知矩形中，，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面．
证明：；
已知在线段上存在点点与点，均不重合，使得与平面所成的角的正弦值是．
求的值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对表示平面向量又称为二维向量，一般地，元有序实数组称为维向量，它是二维向量的推广，类似于二维向量，对于维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度模等：设，则已知向量满足，向量满足．
求的值；
若，其中．
求证：；
当且时，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：四边形为菱形，，又平面，平面，
，又，，平面，
平面，又平面，
平面平面；
由易知，，两两垂直，
以直线为轴，直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题可知，，，且为中点，
，，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，，
，令，则，
，
易知平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
则．
16.解：根据题意，可得，
当时，，
可得的最小值为，最大值，
所以函数在区间上的值域为；
由得，即．
因为，，所以，可得；
由余弦定理得，
若，则，
因为，
所以，可得，即．
由正弦定理，得，，
所以，结合，可得．
所以的面积．
17.解：当时，，
，
令，则，
故在上单调递减，而，
因此是在上的唯一零点，即是在上的唯一零点，
当变化时，，的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减
所以的单调递增区间为，递减区间为，
所以的极大值为，无极小值；
由题意知，即，即，
设，则，
令，解得，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
18.解：证明：依题意矩形，，，是中点，
所以，
又，所以，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，
所以．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则，，，，
，，
设是的中点，因为，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，，所以，
设，则，
则．
设平面的一个法向量为，
则，
令，可得，，即，
设与平面所成的角为，
所以，
解得舍去，
所以的值为．
由得，
所以点到平面的距离．
19.解：依题，，，
则 ，
，
，得，
即，
．
证明：，，
，
先证：，，
设，，则，
在上单调递增，即当时，，
即，
故，．
，
，
．
综上可得，当且时，．
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