2024-2025学年福建省福州市山海联盟校教学协作体高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省福州市山海联盟校教学协作体高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B.
C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( )
A. B. C. D.
4.设直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知在高为的正四棱锥中，，则正四棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.设，，分别是椭圆：的左、右、上顶点，为坐标原点，为线段的中点，过作直线的垂线，垂足为若到轴的距离为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的值域为
B. 在上的递增区间为
C. 的对称中心为，
D. 在上的极值点个数为
10.已知是等差数列的前项和，，且，则( )
A. 公差 B.
C. D. 时，最大
11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于点，，若，则( )
A.
B. 双曲线的渐近线方程为
C.
D. ，面积记为，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.如图，对某市的个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同的着色方法有______种
14.已知是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，已知．
Ⅰ求；
Ⅱ若，点在边上，，且，求．
16.本小题分
已知动点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，动点满足．
求动点的轨迹的方程；
过点的直线交轨迹于，两点，设直线，的斜率为，，求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．
证明：平面；
若，，在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知函数．
若时，求的取值范围；
若，证明：当时，．
19.本小题分
对于数列：，，，定义“变换”：将数列变换成数列：，，，其中，且这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列：，，，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．
写出数列：，，经过次“变换”后得到的数列；
设数列：，，经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ因为，由正弦定理可得，
在三角形中，，
可得，
又，所以，
而，
所以；
Ⅱ因为，且，，在中，
可得，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，
解得或．
经验证，符合锐角三角形的只有．
16.解：设点，，则，
，，
，，，
而，
．
由题意知直线的斜率存在，设为，直线的方程为，设，，
由得得，
，，
，
故的值为．
17.证明：取的中点，连接，，如图所示：
为棱的中点，，，
，，，，
则四边形是平行四边形，得，
又平面，平面，
平面；
解：在线段上存在点，满足，使得点到平面的距离是．
，，，
，则，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又，平面，
，，又，
以点为坐标原点，分别以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
为棱的中点，
，，
，，，
假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是，
设，，则，，
设平面平面的一个法向量为，
由，取，得，
点到平面的距离是，
解得，则，可得．
即在线段上存在点，满足，使得点到平面的距离是．
18.解：因为，函数定义域为，
若，
即，
令，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值也是最小值，最小值，
则的取值范围为；
证明：要证当时，，
即证，
设，函数定义域为，
可得，
令，函数定义域为，
可得恒成立，
所以在上单调递减，
即在上单调递减，
又，
所以，
故在上恒成立，
即在上单调递减，
又．
故，结论得证．
19.解：依题意，次变换后得到的数列依次为
，，；，，；，，；，，；，，
所以，数列：，，经过次“变换”后得到的数列为，，；
数列经过一次“变换”后得到数列：，，，
其结构为，，．
数列经过次“变换”得到的数列分别为：
，，；，，：，，；，，；，，；，，．
所以，经过次“变换”后得到的数列也是形如“，，”的数列，
变化的是，除了之外的两项均减小．
因为，
所以，数列经过次“变换”后得到的数列为，，．
接下来经过“变换”后得到的数列分别为：
，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，，
至此，数列和的最小值为，以后数列循环出现，数列各项和不会更小．
所以经过次“变换”得到的数列各项和达到最小，
即的最小值为．
第1页，共1页