安徽省合肥市合肥市第一中学2025届高三上学期第四次素质拓展数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 安徽省合肥市合肥市第一中学2025届高三上学期第四次素质拓展数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 303.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-27 18:17:48 | ||
图片预览
文档简介
安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期第四次素质拓展数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是( )
A. B.
C. D.
3.已知中，若，则是( )
A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
4.已知直线与曲线相切于点，则的值为( )
A. B. C. D.
5.下列命题中，正确的个数是：( )
若，，为平面向量，则
若，，为非零向量，则向量与垂直
，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是；
记，则向量在向量上的投影向量为．
A. B. C. D.
6.若一元二次不等式，的解集分别为、，、、、、、均不为，、既不是也不是，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知，函数在单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.定义域在上的奇函数若存在，使得成立，则实数的取值范围为．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列不等式一定成立的有( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. B. 函数的图象关于对称
C. 函数的图象关于对称 D. 函数在上单调递增
11.已知实数，满足，则( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是三角形的内角，若，则 ．
13.已知函数在处有极小值，则实数 ．
14.圆与圆半径分别为和，两圆外切于点，点，分别为圆，圆上的动点，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的最小值，及取最小值时的的值
Ⅱ将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值．
16.本小题分
在平面四边形中，，，，．
求的长
若为锐角三角形，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数
讨论的单调性
证明：当时，．
18.本小题分
如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形设．
问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值．
克罗狄斯托勒密所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求．
求面积的最大值．
19.本小题分
意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质平方关系：，倍元关系：．
求曲线在处的切线斜率；
若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：
证明：当时，；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
令，，得，，．
由将图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，
得到，再向右平移个单位，得到，
则，，
又因为，则所以，
所以
．
16.解：在 中， ，
由余弦定理可得 ，
即 ，解得 或 ；
因为 ，所以 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ，解得 ，
在 中，因为 ，
所以
，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ．
17.解：由 且 ，
当 ，即 ，则 ，此时 在 上递减；
当 ，即 ，则在 上 ， 上 ，
此时 在 上递增， 上递减；
综上， 时 在 上递减； 时 在 上递增，在 上递减；
由知： 时 ，
要证 ，即证 ，
只需证 在 上恒成立，
令 且 ，则 ，
当 时 ， 递减；当 时 ， 递增；
所以 ，
即 在 上恒成立，故 时， 得证．
18.解：在中由余弦定理得，
所以，，
于是四边形的面积为
，
当，即时，四边形的面积取得最大值为，
因为，且为等边三角形，，，
所以，所以，
即的最大值为，取等号时，
所以，不妨设，
则，解得，
所以，所以．
设，，所以为锐角，
在中，由正弦定理得到，
当，即时，的面积取得最大值为．
19.解：，则，
所以，
可得在处的切线斜率为；
，
令
，
则
，
下面证明：对任意恒成立，
先证明：对任意，
证明如下：设，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故，故，
继续证明：对任意，
证明如下：令，则，
因此在上单调递增；
所以，故，
当时，对，都有，
函数在上单调递增，
则，解得；
当时，对，
都有，对，都有，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则对，都有成立，不符合题意，舍去．
综上所述，实数的取值范围是．
证明：，
令，
则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以当时，成立；
下面证明：当时，成立，
令，
则，
由前问解答过程，对任意成立，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以当时，成立，
令且，可得，
即，
由题意，
令且，
可得，
因为
所以，
由知，当时，，
所以令且，
可得，
所以，
由前面解答过程得，对任意成立，
令且，
可得，
所以，
又且，所以，
所以 ，
所以可得
，
即可得．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是( )
A. B.
C. D.
3.已知中，若，则是( )
A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
4.已知直线与曲线相切于点，则的值为( )
A. B. C. D.
5.下列命题中，正确的个数是：( )
若，，为平面向量，则
若，，为非零向量，则向量与垂直
，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是；
记，则向量在向量上的投影向量为．
A. B. C. D.
6.若一元二次不等式，的解集分别为、，、、、、、均不为，、既不是也不是，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知，函数在单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.定义域在上的奇函数若存在，使得成立，则实数的取值范围为．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列不等式一定成立的有( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. B. 函数的图象关于对称
C. 函数的图象关于对称 D. 函数在上单调递增
11.已知实数，满足，则( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是三角形的内角，若，则 ．
13.已知函数在处有极小值，则实数 ．
14.圆与圆半径分别为和，两圆外切于点，点，分别为圆，圆上的动点，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的最小值，及取最小值时的的值
Ⅱ将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值．
16.本小题分
在平面四边形中，，，，．
求的长
若为锐角三角形，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数
讨论的单调性
证明：当时，．
18.本小题分
如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形设．
问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值．
克罗狄斯托勒密所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求．
求面积的最大值．
19.本小题分
意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质平方关系：，倍元关系：．
求曲线在处的切线斜率；
若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：
证明：当时，；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
令，，得，，．
由将图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，
得到，再向右平移个单位，得到，
则，，
又因为，则所以，
所以
．
16.解：在 中， ，
由余弦定理可得 ，
即 ，解得 或 ；
因为 ，所以 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ，解得 ，
在 中，因为 ，
所以
，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ．
17.解：由 且 ，
当 ，即 ，则 ，此时 在 上递减；
当 ，即 ，则在 上 ， 上 ，
此时 在 上递增， 上递减；
综上， 时 在 上递减； 时 在 上递增，在 上递减；
由知： 时 ，
要证 ，即证 ，
只需证 在 上恒成立，
令 且 ，则 ，
当 时 ， 递减；当 时 ， 递增；
所以 ，
即 在 上恒成立，故 时， 得证．
18.解：在中由余弦定理得，
所以，，
于是四边形的面积为
，
当，即时，四边形的面积取得最大值为，
因为，且为等边三角形，，，
所以，所以，
即的最大值为，取等号时，
所以，不妨设，
则，解得，
所以，所以．
设，，所以为锐角，
在中，由正弦定理得到，
当，即时，的面积取得最大值为．
19.解：，则，
所以，
可得在处的切线斜率为；
，
令
，
则
，
下面证明：对任意恒成立，
先证明：对任意，
证明如下：设，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故，故，
继续证明：对任意，
证明如下：令，则，
因此在上单调递增；
所以，故，
当时，对，都有，
函数在上单调递增，
则，解得；
当时，对，
都有，对，都有，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则对，都有成立，不符合题意，舍去．
综上所述，实数的取值范围是．
证明：，
令，
则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以当时，成立；
下面证明：当时，成立，
令，
则，
由前问解答过程，对任意成立，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以当时，成立，
令且，可得，
即，
由题意，
令且，
可得，
因为
所以，
由知，当时，，
所以令且，
可得，
所以，
由前面解答过程得，对任意成立，
令且，
可得，
所以，
又且，所以，
所以 ，
所以可得
，
即可得．
第1页，共1页
同课章节目录