广西壮族自治区金“金太阳联考”2025届高三上学期11月联考数学试题（含答案）

广西壮族自治区金“金太阳联考”2025届高三上学期11月联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的虚部为
A. B. C. D.
3.已知，，，则
A. B. C. D.
4.在长方体中，，，，则该长方体外接球的表面积为
A. B. C. D.
5.已知向量，，若，则
A. B. C. D.
6.如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域有公共边所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知函数的定义域为，，且，则
A. B. C. D.
8.已知是双曲线：的左焦点，过原点的直线与相交于，两点，若，，则的离心率为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据，，，，，，下列结论正确的有
A. 若，则该组数据的第百分位数为
B. 该组数据的第百分位数不可能是
C. 若该组数据的极差为，则或
D. 若，则该组数据的平均数为
10.若函数，则下列结论正确的有
A. 为奇函数 B. 若，则
C. 的所有极值点的和为 D.
11.如图，在六面体中，四边形为菱形，四边形为正方形，平面平面，若，则下列说法正确的是
A. 四边形为平行四边形
B. 平面平面
C. 若过的平面与平面平行，则该平面与的交点为棱的中点
D. 三棱锥体积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线：上一点到的焦点的距离比到轴的距离大，则________．
13.已知函数，若，，则的取值范围为________．
14.在中，，且，则的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各个，这些小球除颜色外完全相同．现从盒子中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表．
抽中小球的颜色 红色 黄色 白色 黑色
得分
若有放回地从盒子中抽取次，每次抽取个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于的概率；
若一次性从盒子中抽取个小球，记抽中的小球对应的得分之和为，求的分布列与期望．
16.本小题分
已知数列满足．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，菱形的边长为，，是的中点，将沿着翻折，使点到点处，连接，，得到如图所示的四棱锥．
证明：．
当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知动圆与圆：外切，与圆：内切，记动圆圆心的运动轨迹为曲线．
求的方程；
若，分别是的左、右顶点，是圆：上一点，设和的夹角为，求的取值范围．
19.本小题分
曲率是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲线的曲率定义如下：若是函数的导函数，是．的导函数，则曲线在点处的曲率．
若函数，求曲线在点处的曲率．
若函数，证明：曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为．
已知函数，若在曲线上存在一点，使曲线在点处的曲率，求的取值范围．
参考答案
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15.解：依题意可知，所有不同的抽取方法有种，
记事件“抽中的小球对应的得分之和大于”，
则有三种情况：第一次抽中白球，第二次抽中黑球第一次抽中黑球，第二次抽中白球第一次抽中黑球，第二次抽中黑球．
．
一次性从盒子中抽取个小球，总的事件包括红色，黄色，红色，白色，红色，黑色，黄色，白色，黄色，黑色，白色，黑色，共种情况，
对应的得分之和分别为，，，，，，
故的分布列为
则．
16.解：当时，，
当时，由，
得，
则
则．
因为也满足上式，所以．
由可得，
，
则或
17.解：证明：在题图中，因为四边形为菱形，，且是的中点，
所以，
从而在题图中，，．
因为，、平面．
所以平面．
又平面，所以．
解：以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系设，则，
由，得，解得，
则，，，，
，，．
设平面的法向量为，由
得
令，得．
设平面的法向量为，由
得
令，得．
，，
故平面与平面的夹角的余弦值为．

18.解：由题可知，的半径为，的半径为．
设的半径为，由与外切，与内切，得，，
则．
由椭圆的定义知，曲线是长轴长为，左、右焦点分别为，的椭圆，
故C的方程为．
由可知，，，设，
则，，
则，
所以，则，得
若在轴上，则，从而．
若在不在轴上，则，
且，由，得，
则，得．
因为，所以，则，
由，
解得，
综上所述，的取值范围为
19.解解：因为，，所以，，
则，，
故曲线在点处的曲率．
证明：因为，所以，
．
，
则，
故曲线在其上任意点处的曲率为定值，且该定值为．
解：因为，
所以，，
则，
则，即．
令，，则，
即存在，使得不等式成立．
令，，
则在上恒成立，则在上单调递减，
则，解得或，
故的取值范围为
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