湖北省武汉市江岸区2025届高三上学期11月调考数学试卷（含答案）

湖北省武汉市江岸区2025届高三上学期11月调考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数在复平面内对应的点为，则( )
A. B. C. D.
3.若，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
4.设等差数列的前项和为，已知，则( )
A. B. C. D.
5.若向量，，且，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，，
8.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.近年来，我国持续释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，如图所示，是我国从年到年的国内游客出游花费统计，下列说法正确的是( )
A. 从年到年，这年的国内游客出游花费的第百分位数为
B. 从年到年，这年的国内游客出游花费的中位数为
C. 从年到年，这年的国内游客出游花费的极差为
D. 从年到年，国内游客出游花费呈现上升趋势
10.记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
11.已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则( )
A. 若，则的面积为
B. 使为直角三角形的点有个
C. 的最大值为
D. 若，则的最大、最小值分别为和
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于，需求量为瓶如果最高气温位于区间，需求量为瓶如果最高气温低于，需求量为瓶为了确定月份的订购计划，统计了前三年月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温
天数
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率若月份这种冷饮一天的需求量不超过瓶的概率估计值为，则 ．
13.已知直线倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线的方程为 ．
14.年，英国数学家列科尔德首先使用符号“”表示相等关系，在莱布尼茨和其他数学家的共同努力下，这一符号才逐渐被世人所公认年，英国数学家哈里奥特开始采用符号“”与“”，分别表示“大于”与“小于”，这就是我们使用的不等号以上内容是某校数学课外兴趣小组在研究数学符号发展史时查阅到的资料，并组织小组成员研究了如下函数与不等式的综合问题：已知函数，，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，已知，，，．
求和的值
求三角形边的中线长．
16.本小题分
已知抛物线和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
求抛物线和双曲线标准方程
已知动直线过点，交抛物线于，两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，点为线段的中点．
求证：平面
若，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知函数，
当时，求曲线在处的切线方程
若，求的值
设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数．
设函数，试求的互生向量
记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间
记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：在中，由已知可得，故由，可得．
由已知及余弦定理，有，所以，
由正弦定理，得，
所以，的值为，的值为．
设边的中点为，在中，，由余弦定理得：
．
16.解：设抛物线的方程为，把点代入求得，
抛物线的方程为 ，焦点坐标为．
对于双曲线，一个焦点坐标为，则另一个焦点坐标为，
故，，，．
故双曲线的标准方程为．
由题意可得，的中点为，设，则
设、是圆上的两个点，且垂直于轴，的中点为，点，则，
，，
，
由的任意性可得，当时，，故弦长为 为定值．
故存在垂直于轴的直线即直线，被圆截得的弦长为定值，直线的方程为．
17.解：连接交于，因为侧面为平行四边形，
所以点为的中点，又因为点为线段的中点，所以，
平面，平面
所以平面；
连接，，因为，，
所以为等边三角形，所以，，
因为侧面底面，平面平面，平面，
所以平面，
过点在底面内作，如图以以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，平面中：，，
设平面法向量，则
令，得：，
又因为平面一个法向量，
则，
二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
18.解：当时，，，
所以，所以切线的斜率为，
又因为，
所以曲线在处的切线方程为，
即；
因为，，
当时，，
所以在上单调递增，
又因为，与不符；
当时，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，所以，
设，则，
由，可得，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，且有唯一解，即；
由知当时，，
当且仅当时，．
所以当且时，，则
取，所以，
所以，，，，
所以．
所以，
所以，
于是对于任意正整数，，
只需，又因为，所以，
则的最小值为．
19.解：因为，
所以的互生向量．
由题意可得
，
所以，
令，，
解得，，
因为，所以，
所以函数在上的增区间为
由题得，
则，
若函数在上有四个零点，
则在上有四个实数根，
则函数与在上的图象有四个交点，
因为
所以．
则由三角函数性质作其函数图象如图所示，
由三角函数图象及性质可知的取值范围为．

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