2024-2025学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列满足，，则的前项的和为( )
A. B. C. D.
6.若实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为已知，，若，的余弦距离为，则( )
A. B. C. D.
8.已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正项等比数列中，，，则( )
A. 数列的首项为 B. 数列是公比为的等比数列
C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列的前项和为
10.下列向量运算，一定正确的有( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，函数，，则( )
A. 对任意实数，
B. 存在实数，使得
C. 对任意实数，，
D. 若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，，，则
三、填空题：本题共3小题，共13分。
12.函数的定义域为______．
13.已知点在以为直径的圆上，点为的中点，若，，则的值为______．
14.设等差数列的前项和为，已知，，设，则 ______，数列的前项和为______用表示．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数，．
若函数为偶函数，求实数的值；
当且时，解不等式．
16.本小题分
设函数，，的内角满足．
求的值；
若，且边的长为，求的面积．
17.本小题分
在中，，，，点在边上，为的平分线．
求的长；
若点为线段上一点，且为等腰三角形，求的值．
18.本小题分
已知正项数列的前项和为，且满足，．
求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式；
若数列的前项和为，恒成立，求实数的最大值；
已知数列满足，，求的前项和．
19.本小题分
设函数，．
求的极值；
已知实数，若存在正实数使不等式成立，求的取值范围；
已知不等式对满足的一切实数，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：由于为偶函数，故恒成立，
故，
因此对任意的恒成立，
故恒成立，故；
当时，，
则，
当时，，则，故此时不等式的解为，
当时，，则，故此时不等式的解为，
当时，，则，故此时不等式的解为，
当时，，则，故此时不等式的解为，
综上可知：不等式的解为．
16.解：由题意得，
因为，所以，
即，
因为，所以，
所以，则；
在中，设、、的对边为、、，
由，则，
得，
又，即，由知，
则，
又由余弦定理得，
解得，
所以．
17.解：因为为的平分线，所以，
因为，
所以，
所以，
即，可得：；
由余弦定理可得：，
所以，所以，
由角平分线定理可得：，
又因为，所以，
又因为，，
所以，所以，
又因为为等腰三角形，，
所以为等边三角形，所以，
则为的中点，在中，
由余弦定理可得，
所以，故在中，
由余弦定理可得，
因为，所以，
所以．
18.解：证明：由，，
可得时，，所以，
由可得，
相减可得，
因此，
由于为正项数列，所以，，
故数列是首项为，公差为的为等差数列，
故；
，由等差数列的求和公式，可得，
由可得，化简可得，
因此，
记，则
，
当时，，故，而，
当，时，，
，故，
故为数列的最小项，故，
故的最大值为；
由可得，
故，
又，故，
可得，
，
，
故当，时，
，
当，时，则，
，
当，时，
则，
，
综上可得，即，其中．
19.解：易知的定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以有极小值，无极大值．
若且，
此时，
所以当时，使成立，
令，
可得，
当时，，
当时，，单调递减，对应值域为；
当时，，单调递增，对应值域为，
因为，
所以，
即，
此时，
设，函数定义域为，
可得，
故时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
则，
故的取值范围为；
令，
此时，
所以在，上恒成立，
设，函数定义域为，
令在定义域上单调递增，
此时，
令，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
综上．
则实数的取值范围为．
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