2024-2025学年福建省百校联考高三（上）月考数学试卷（11月份）（含答案）

2024-2025学年福建省百校联考高三（上）月考数学试卷（11月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.若和是两个互不相等的正实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，是两个非零平面向量，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，将角的终边顺时针旋转后经过点，则( )
A. B. C. D.
6.定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则( )
A. B. C. D.
7.数列是首项为，公比为的等比数列，其前项和为，为数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
8.函数的定义域为，为的导函数，满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数最小值为的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，的最小正周期为
B. 函数过定点
C. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则的最小值为
D. 函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为
11.已知正方体的棱长为，，，分别是，，的中点，点为正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是( )
A. 的面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 若平面，则点的轨迹长度为
D. 当点为的中点时，到直线的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数，则 ______．
13.在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则 ______．
14.记数列的前项和为，若对任意的正整数，函数均存在两个极值点，，且满足，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，若，．
求数列的通项公式及前项和；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
如图所示，，分别为半圆锥的底面半圆弧上的两个三等分点，为中点，为母线的中点．
证明：平面；
若为等边三角形，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
函数，其中为整数．
当时，求函数在处的切线方程；
当时，恒成立，求的最大值．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
求；
求的面积；
在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值．
19.本小题分
设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间．
已知函数，求的凹、凸区间；
如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有．
将不等关系转化为对应的不等式；
证明：当，时，恒成立．
参考答案
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15.解：设等差数列的公差为，
由，，
得，且，
联立解得，故；
；
由可知，且，
则，
故，
则，
两式作差可得
，
．
16.解：证明：根据，分别为底面半圆弧上的两个三等分点，可知且，
如果是中点，为母线的中点，那么易知且，
因此且，那么为平行四边形，所以，
根据面，面，所以平面．
作，，连接，如上图所示，
根据题意，面面，面，，面面，
因此面，又因为面，所以，
又因为都在面内，那么面，又因为面，
因此，又由于都在面内，所以面，
根据面，那么，并根据，且面，面，
因此平面与平面的夹角为或其补角，
设的边长为，那么，根据题设易知，所以，，
在三角形中上的高，那么，
因此，所以，
因此平面与平面的夹角余弦值为．
17.解：当时，函数，所以，
而导函数，那么，
因此在处的切线方程为，
所以．
当时，，那么恒成立，
当时，根据函数，得，
所以，那么，
所以对于恒成立，
设函数，，
那么导函数，
当时，令导函数，那么，解得，
此时在上单调递减，
所以，不满足题意．
当时，显然导函数恒成立，那么在上单调递增，
所以，满足题意．
综上所述，的最大值为．
18.解：因为，
所以，
因为，所以，
由正弦定理得，，
所以．
由余弦定理得，，
因为，所以，
两边同时除以，得，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，
又，当且仅当时等号成立，
所以，且，，
由余弦定理得，，即，
所以的面积．
由可知，，所以，
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，
所以，
所以，
即，
不妨设为变量，
则，
所以的最小值为．
19.解：因为的定义域为，，
设，则，
当时，，当时，，
故G在上单调递减，在上单调递增，
所以的凹区间为，凸区间为；
对于凹函数定义域中的任意两个自变量，，
，，，，，
所以，
由，有．
证明：对不等式两边取对数，
问题等价于恒成立，
构造函数，，
即恒成立，
，令，，
令，即，解得，
所以是函数的凹区间，
，所以当时，是凹函数，
由知，，当时，等号成立，
所以，时，恒成立，
即恒成立．
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