2024-2025学年福建省福州市屏东中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省福州市屏东中学高三（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面上三个单位向量，，满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为( )
A. B. C. D.
6.设函数，若无最大值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若数列的前项和为，且满足，，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且满足，，则下列结论正确的是( )
A. B. 方程有解
C. 是偶函数 D. 是偶函数
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响如图，这是，两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．
下列结论正确的是( )
A. 这年上半年地月平均降雨量比地月平均降雨量大
B. 这年上半年地月降雨量的中位数比地月降雨量的中位数大
C. 这年上半年地月降雨量的极差比地月降雨量的极差大
D. 这年上半年地月降雨量的分位数比地月平均降雨量的分位数大
10.已知抛物线：，过的焦点作直线：，若与交于，两点，，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. 或 D. 线段中点的横坐标为
11.如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点点与点，不重合，下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的四个面都是直角三角形
B. 三棱锥的体积最大值为
C. 当时，异面直线与夹角的余弦值为
D. 当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.市高三年级万名男生的身高单位：近似服从正态分布，则身高超过的男生约有______人参考数据：，，
13.设双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，且，则双曲线的离心率为______．
14.已知函数，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，分别是内角，，的对边，且．
若，求；
若，求的面积的最大值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，
，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
17.本小题分
已知函数．
当时，证明：；
若函数有极小值，且的极小值小于，求的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为．
求椭圆的方程．
若椭圆上的两动点，均在轴上方，且，求证：的值为定值．
在的条件下求四边形的的面积的取值范围．
19.本小题分
设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．
若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；
证明：若的通项公式为，则不是数列；
设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由及正弦定理得：，即，
又因为，所以，，
从而．
由余弦定理可知，，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，即，
所以，
当时取等号，即的面积的最大值为．
16.证明：平面平面，且平面平面，
且，平面，
平面，
平面，
，
又，且，、平面，
平面；
解：取中点为，连接，，
，
，
又，
．
平面平面，且平面平面，
且平面，
平面，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则，，，，
则，，
设为平面的法向量，
则由，得，令，则．
设与平面的夹角为，则
；
解：假设存在点使得平面，设，，
由知，，，，，，
则有，可得，
，
平面，为平面的法向量，
，即，解得．
综上，存在点，即当时，点即为所求．
17.解：证明：要证，
需证．
当时，，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值，也是最小值，最小值，
则；
因为，函数定义域为，
可得，
当时，，，单调递增；
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
此时，
即．
设，函数定义域为，且．
可得，
当且仅当时，即时，，
所以，函数在单调递增，
因为，
所以．
则实数的取值范围为．
18.解：由长轴长为，
可得，．
因为点上顶点，直线的倾斜角为，
所以中，，
则，
又，
则．
则椭圆的方程为．
证明：设，，，，
则关于原点的对称点，
即，
由，，
所以，，三点共线，
又≌，
，
设：代入椭圆方程得，
则，，．
，
，
．
解：四边形为梯形，，
，
，
令，
则，，
则，当即时等号成立，
即的取值范围．
19.解：是数列，
理由：由题知，即，
所以，，
当时，，所以是数列．
证明：假设是数列，则对任意正整数，总是中的某一项，
，
所以对任意正整数，存在正整数满足：，
显然时，存在，满足，
取，得，所以，
可以验证：当，，，时，都不成立，
故不是数列．
已知是等比数列，其首项，公比，
所以，
所以，
由题意知对任意正整数，总存在正整数，使得，
即对任意正整数，总存在正整数，使得，
即对任意正整数，总存在正整数，使得，
令，得，且，
因为，，
所以当时， 取到最小值 ，
所以，所以，
又，所以，所以，即；
令，得，
且，所以，
综上，或．
第1页，共1页