必修一数学第四章 指数函数与对数函数 练习（含答案）

必修一数学第四章练习
一、选择题
1．已知则等于（　　）
A． B． C．1 D．
2．已知，，，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．4
3．若对于定义域内的每一个，都有，则称函数为“双倍函数”.已知函数是定义在上的“双2倍函数”，且当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．某种水果的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数的底数）.已知该水果在下的保鲜时间为192小时，在下的保鲜时间为96小时，若要使该水果保鲜时间不低于48小时，则温度不应超过（　　）
A． B． C． D．
5．已知，则（　　）
A． B． C． D．
6．设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．对，不等式恒成立，则（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．定义：若集合满足，存在且，且存在且，则称集合为嵌套集合．已知集合且，，若集合为嵌套集合，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知实数满足，下列选项中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．在上单调递增 B．若，则
C．方程有2个解 D．若，则
11．设函数，则下列说法正确的是（　　）
A．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是
B．若函数有3个零点，则实数a的取值范围是
C．设函数的3个零点分别是，，（），则的取值范围是
D．任意实数a，函数在内无最小值
12．已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知，则　 　.（用表示）
14．设函数，集合，则下列命题正确的有　 　.
①当时，集合；
②当时，；
③当，则的取值范围是；
④若（其中），则.
15．设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围为　 　．
16．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点成中心对称，则　 　.
四、解答题
17．计算下列各式：
（1）；
（2）.
18．已知函数，其中常数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，试比较与的大小.
19．已知函数（其中，且）.
（1）若，求的值.
（2）求关于的方程的解.
20．（1）当时，解关于x的方程；
（2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围；
（3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围
21．对于定义在区间上的函数f(x)，若.
（1）已知试写出、的表达式；
（2）设且函数如果与恰好为同一函数，求a的取值范围；
（3）若存在最小正整数k，使得 对任意的成立，则称函数为上的"k阶收缩函数"，已知，函数是上的“3阶收缩函数”，求b的取值范围.
22．已知函数且函数是偶函数
（1）求的解析式
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围
（3）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点
参考答案
1． A
2． D
3． D
解：由题可知：对，都有，
设，则，
则，
又，
所以，
则，作出函数图象，如图所示：
因为函数恰有4个不同的零点，即方程有4个不同的实数根，
记，则方程必有两个不同的实数根为，
且和都有两个不同实数根，
由图可知，当时，有，且，
此时和都有两个不同实数根，满足题意.
则实数的取值范围为.
4． D
5． C
6． A
7． D
解：由，可得，
A、B、若，令，不等式转化为，
当时，，要使恒成立，则需，即恒成立，
即；
当时，，要使恒成立，则需，即恒成立，
即，所以；
当时，，要使恒成立，则需，即恒成立，
所以，
综上可得，不存在使得不等式恒成立，故A、B错误；
C、D、若，因为，所以，所以，
要使不等式恒成立，则需，
因为函数在为增函数，所以函数有相同的零点，由得，
由，解得，
所以，即，所以，所以，故D正确.
8． A
因为，所有，由，得，
作出函数的图象，如图所示：
由图可知，不等式的解集为，
所以且，
由，得，
当，即时，则，不符题意；
当，即时，则，
由，得，
根据嵌套集合得定义可得，解得；
当，即时，则，
由，得，
根据嵌套集合得定义可得，无解，
综上所述，实数的取值范围为.
9． B,C,D
解：因为实数满足，所以，
A、，则，故A错误；
B、，故B正确；
C、，又，所以，则，故C正确；
D、，故D正确.
10． A,B
11．B,C,D
解：对于A，若函数在上单调递增，则，解得，故A错误；
对于B，若函数有3个零点，则当时，有2个零点，
所以，解得，
当时，有1个零点，则，
所以，故B正确；
对于C，设函数的3个零点分别是，，（），
由选项B知，，，
令，解得，即，
设，，得在上单调递减，
所以，故C正确；
对于D，当时，单调递增，，
当时，，对称轴为直线，
①当，即时，，无最小值；
②当，即时，，
若有最小值，则，解得，与矛盾，故无最小值；
综上所述，任意实数a，函数在内无最小值，故D正确.
12． B,D
13．
14．①④
15．
解：（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上所述，当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
16．
解：由题意为奇函数，
所以，则，
所以，
所以恒成立，
故或，所以.
17．（1）
（2）
18．（1）；
（2）
19．（1）
（2）
20．（1）；（2）或；（3）
21．（1），
（2）
（3）
22．（1）解：将向右平移2个单位得到函数，
因为函数是偶函数，所以函数关于对称，
所以，所以，所以，
所以，函数的解析式为.
（2）解：令，因为，所以，
不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立，
所以，
令，，则，
从而，
所以，当时，取到最大值为，所以.
（3）解：令，则，
方程可化为，
即，也即，
因为函数恰好有三个零点，
所以方程有三个实数根，
因为函数为偶函数，
其图象关于y轴对称，
所以，函数必有零点0，此时，
即方程有一个根为2，所以，
所以，解得或，
由，得，
由，得，
所以该函数的零点为0，，2.
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