2024-2025学年上海市第二中学高三上学期数学期中试卷及答案（2024.11）（含答案）

市二中学2024学年第一学期高三年级数学期中
2024.10
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，，则集合________．
2．复数（为虚数单位）的虚部是________．
3．若，，，则的最大值是________．
4．在平面向量中，已知是单位向量，向量满足，则的最大值为________．
5．已知角的终边在直线上，则的值为________．
6．设函数，其中，则曲线在点处的切线方程
为________．
7．记等差数列的前项和为，已知，则________．
8．已知函数为奇函数，则________．
9．已知函数，其中对任意的，，且，总满足不等关系，则实数的取值范围是________．
10．对于任意，用表示、中的较小者，记，设函数，，且，．若对于任意，都有，则的取值范围是________．
11．如图所示，已知满足，，为所在平面内一点．定义点集．若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为________．
12．已知，，且，则的取值范围是________．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．若、、，，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．记函数在区间上的最大值为，最小值为，则（ ）
A．2 B． C． D．
15．设函数在在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知数列是公差不为零的等差数列，且函数是定义在上的严格增函数且为奇函数，数列的前项和为．对于命题：
①若数列为严格增数列，则对一切，，有；
②若对一切，，有，则数列为严格增数列；
③若存在，，使得，则存在，，使得；
④若存在，，使得，则存在，，使得．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
集合，集合．
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设是实数，在复数范围内，关于的方程有两根、．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值集合．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满8分）
已知，，设，其中．
（1）求函数的单调减区间和对称轴；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分）
已知函数，其中，无穷数列的首项．
（1）如果，写出数列的通项公式．
（2）如果（且），要使得数列是等差数列，求首项的取值范围．
（3）如果（且），求出数列的前项和．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数，其中．
（1）设函数，，求函数的极值；
（2）若不等式当且仅当在区间上成立（其中为自然对数的底数），求的最大值；
（3）实数、满足，求证：．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．如图所示，已知满足，，为所在平面内一点．定义点集．若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为________．
【答案】
【解析】延长到满足,取的靠近的三等分点,连接,如图,
所以三点共线,又存在点,使得对任意,满足恒成立,
则的长表示到直线的距离,即的边上的高，设，
由得公用,因此,
所以,
中,设,由正弦定理得记为角,
所以,
所以
若不是钝角，则
又,所以,即
所以设,则,
它是减函数，所以时,,
若是钝角,则
设,则,
令,则
令,得,所以时,递减,时递增,
所以时,,此时故答案为:3.
二、选择题
13.C 14.D 15.A 16.C
15．设函数在在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设,则,函数为奇函数.
时,,
故函数在上是减函数,故函数在上也是减函数,
若,则,
即,,解得:,故选:.
16．已知数列是公差不为零的等差数列，且函数是定义在上的严格增函数且为奇函数，数列的前项和为．对于命题：
①若数列为严格增数列，则对一切，，有；
②若对一切，，有，则数列为严格增数列；
③若存在，，使得，则存在，，使得；
④若存在，，使得，则存在，，使得．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】①取,则,故①错误;
②对一切,则,
又因为是上的单调递增函数,所以,若递减,
设且
且,所以
因为函数是定义在R上的单调递增的奇函数,所以
所以,,......
所以,,与题设矛盾,
所以递增,故②正确;
③取,则,令,所以,
但是,故③错误;
④因为,所以
所以
因为是定义在R上的奇函数,
所以
则,
则存在,使得,故④正确.故选：C.
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分）
已知函数，其中，无穷数列的首项．
（1）如果，写出数列的通项公式．
（2）如果（且），要使得数列是等差数列，求首项的取值范围．
（3）如果（且），求出数列的前项和．
【答案】（1） （2）或
（3）
【解析】（1）函数=
又且
（2）如果是等差数列，则
由知一定有,公差.当时,符合题意.
当时,,由得,得.
当时,,由得,得,此时.
综上所述，可得的取值范围是或
（3）当时,数列是以为首项,公差为3的等差数
列,
当时,时,时,
时,
又也满足上式,
当时,时时,
时,
又也满足上式,
综上所述：
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数，其中．
（1）设函数，，求函数的极值；
（2）若不等式当且仅当在区间上成立（其中为自然对数的底数），求的最大值；
（3）实数、满足，求证：．
【答案】（1）极小值,无极大值. （2） （3）见解析
【解析】（1）由函数,得
求导得
当时,,当时,,则函数在上单调递减，
在上单调递增，所以当时,函数取得极小值,无极大值.
（2）函数,
求导得,函数在上单调递增,
依题意,,即,解得,
于是,当且仅当时取等号,所以的最大值是.
（3）证明:依题意,
令,由,得,令,求导得,
函数在上单调递增,,因此,即,于是;
令,求导得,函数在上单调递减,
,因此,即,则,
所以.