4.5.2用二分法求方程的近似解（二）四维限时练（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.2用二分法求方程的近似解(二)--四维限时练
(考察范围： 二分法的定义和应用)
【1】知识总览（1-2分钟，快速阅读，重点查看不熟悉的知识点）
① 区间的中点：一般地，我们把称为区间的中点.
② 二分法的概念：对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
③用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
第一步，确定区间，验证，给定精确度.
第二步，求区间的中点
第三步，计算
（1）若，则就是函数的零点；
（2）若，则令 (此时零点）
（3）若，则令(此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值（或），否则重复第二至四步。
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【2】限时练习（约30分钟，全心投入，旨在检测自己的解题能力）
单选题
1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（ ）
A． B．
C． D．
3.用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下：
x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875
-0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647
根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（ ）
A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125
4.用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（ ）
A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算
5.下列方程中，不能用二分法求近似解的为（ ）
A． B． C． D．
6.用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上不一定有零点
B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度，应该接着计算
D．没有达到精确度，应该接着计算
多选题
7.在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（ ）
A． B．
C． D．
8.教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表
1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5
0.02 0.33
分析表中数据，则下列说法正确的是：（ ）
A．
B．方程有实数解
C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375
D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375
三、填空题
9．在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ．
10．已知函数，在区间内存在一个零点，在利用二分法求函数近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ．
【四、解答题
11. 一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测多少次？
12. 求方程的一个近似解（精确度0.1）
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【3】核对解析（5-10分钟，筛选需看题目，变“不会”为“会”）
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B C C D AC BC
1．【详解】由二分法的定义，可知只有当函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点时，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合，
因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
故选：C.
2．【详解】由，且在定义域上递增，
所以区间、、对应函数都为正，只有区间中函数值有正有负.
故选：A
3.【详解】已知，，则函数的零点的初始区间为[0.09375，0.125]，所以零点在区间[0.09375,0.125]上，，
所以可以作为的一个零点近似值， 故选：B
4.【详解】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，时的区间长度为，
故没有达到精确的要求，应该接着计算的值.
故选：C
5.【详解】对于A，在上单调递增，且，
可以使用二分法，故A错误；对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法，故B错误；对于C，，故不可以使用二分法，故C正确；对于D，在上单调递增，且，可以使用二分法，故D错误. 故选：C
6.【详解】对于A，由，且连续，则根据函数零点存在定理知，在上一定有零点，故A错误；对于B，C，D，，没有达到精确度的要求，应该接着计算，故B错误，C错误，D正确． 故选：D．
7.【详解】由题意，根据二分法取值，即判断或的符号，所以第二次所取区间可能是或. 故选：AC
8.【详解】∵与都是R上的单调递增函数，
∴是R上的单调递增函数，
∴在R上至多有一个零点，由表格中的数据可知：，，
∴在R上有唯一零点，零点所在的区间为，
∴，A错误；方程有实数解，B正确；，即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C正确；
，即精确度为0.01，则近似解不可取为1.4375，D错误. 故选：BC.
9．【答案】7
【详解】设至少需要计算次，则满足，即，
由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次.
10．【答案】
【详解】由函数为单调递增函数，且在内存在一个零点，
又由，则，
第一次用二分法，由，
因为，可得，即，可得，所以，
所以确定函数的零点所在区间为；
第二次用二分法，由，
因为，可得，即
所以，所以确定函数的零点所在区间为，
所以第二次求得的区间的中点值为.
11. 【详解】第一次，可去掉50个结果，从剩余的50个中继续二分法；
第二次，可去掉25个结果，从剩余的25个中继续二分法；
第三次，可去掉12或13个结果，考虑至多的情况，所以去掉12个结果，从剩余的13个中继续二分法；
第四次，可去掉6或7个结果，考虑至多的情况，所以去掉6个结果，从剩余的7个中继续二分法；
第五次，可去掉3或4个结果，考虑至多的情况，所以去掉3个结果，从剩余的4个中继续二分法；
第六次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；
第七次，可去掉1个结果，得到最终结果.
所以最多需要检测7次.
12. 【详解】设.因为
在区间内单调递增，
所以在区间内，方程有唯一的实数根为取2与3的平均数
因为，所以，再取2与2.5的平均数2.25，
因为，所以；如此继续下去，有
，所以；
，所以；因为，
所以方程的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375
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【4】反思总结（3-5分钟，重在做好错因分析和查漏补缺，但不一定都写出来）
解题点睛:① 注意（1）用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点（曲线通过零点时函数值的符号改变）适用，对函数的不变号零点（曲线通过零点时函数值的符号不变）不适用。如函数的零点就不能用二分法求解.（2）用二分法求函数的零点时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的较小区间，这样可以减少二分法的次数，减少计算量。
②方法技巧：中值计算两边看；同号去，异号算；零点落在异号间,
周而复始怎么办；精确度上来判断.
个人感悟：