4.5.2用二分法求方程的近似解（一）四维限时练（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.2用二分法求方程的近似解(一)--四维限时练
(考察范围： 二分法的定义和应用)
【1】知识总览（1-2分钟，快速阅读，重点查看不熟悉的知识点）
① 区间的中点：一般地，我们把称为区间的中点.
② 二分法的概念：对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
③用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
第一步，确定区间，验证，给定精确度.
第二步，求区间的中点
第三步，计算
（1）若，则就是函数的零点；
（2）若，则令 (此时零点）
（3）若，则令(此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值（或），否则重复第二至四步。
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【2】限时练习（约30分钟，全心投入，旨在检测自己的解题能力）
单选题
1．下列方程中，不能用二分法求近似解的为（ ）
A． B． C． D．
2．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．用二分法求方程的近似解，精确度为，则终止条件为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分（ ）
A．8次 B．9次 C．10次 D．11次
5．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示：
0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875
1 0.1719 0.01245
若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（ ）
A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65
多选题
7．如图，函数的图像与轴交于，，，四点，则能用二分法求出的零点近似值的是（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数，其中，为某确定常数，运用二分法研究函数的零点时，若第一次经计算且，则（ ）
A．可以确定的一个零点，满足
B．第二次应计算，若，第三次应计算
C．第二次应计算，若，第三次应计算
D．第二次应计算，若，第三次应计算
三、填空题
9．函数有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 ，函数的零点是 （用a表示）.
10．在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称 次就可以发现假币.
四、解答题
11.若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，求实数和分别等于多少？
12. 函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需要进行多少次函数值的计算．
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【3】核对解析（5-10分钟，筛选需看题目，变“不会”为“会”）
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B D B C ACD AB
1．【详解】对于A，在上单调递增，且，
可以使用二分法，故A错误； 对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法，故B错误； 对于C，，故不可以使用二分法，故C正确；对于D，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故D错误.
故选：C
2．【详解】因为，由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即. 故选：B.
3．【详解】根据题意，用二分法求方程的近似解，若要求的精确度为，
当时，即表示满足精度要求，可以确定近似解． 故选：B
4．【详解】设对区间至少二等分n次，此时区间长度为2，
则第n次二等分后区间长为，依题意得，所以
，，
所以. 故选：D
5．【详解】因为函数的零点在区间内，设真实零点为，那么.
已知，那么，.
由于，所以，.
所以近似值与真实零点的误差的取值范围是. 故选：B.
6．【详解】由题意可知，对区间内，设零点为，
因为，，，所以，精确度为，
又，，，精确度为，
又，，，精确度为
又，，，精确度为，需要求解的值，
然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次.
故选：C
7．【详解】由题图，可知在两侧，函数的值均大于0，故的近似值不能用二分法求出.其他零点两侧函数值符号均相反，可以用二分法求解近似值. 故选:ACD.
8.【详解】对于A选项：由题意第一次经计算且，因此由零点存在定理可知存在满足，故A选项符合题意.
对于B选项：第二次应计算，若，又，所以有，满足零点存在定理，所以第三次应计算，故B选项符合题意.
对于C选项：第二次应计算，若，又，所以有，满足零点存在定理，所以第三次应计算，故C选项不符题意.
对于D选项：第二次应计算，而不是计算，故D选项不符题意.
故选：AB.
三、填空题
9．答案】
【详解】解析因为函数有零点，但不能用二分法求出，
所以函数的图象与x轴相切，所以，所以，
令，解得.
【答案】3
【详解】将12枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚金币里面，将这6枚平均分成两份，
则假币一定在轻的那3枚金币里面，将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，
若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币．
依据上述分析，最少称3次就可以发现这枚假币．
11.【详解】由函数，
根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数在上为单调递增函数，
所以函数在至多有一个零点，
又由依次确定了零点所在区间为，
可得，即，解得.
12. 【详解】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：
，
，取区间的中点，
且，所以.
，取区间的中点，
且，所以.
，取区间的中点，
且，所以.
因为，所以区间的中点，
即为零点的近似值，即函数的零点，
所以至少需进行3次函数值的计算.
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【4】反思总结（3-5分钟，重在做好错因分析和查漏补缺，但不一定都写出来）
解题点睛:① 注意（1）用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点（曲线通过零点时函数值的符号改变）适用，对函数的不变号零点（曲线通过零点时函数值的符号不变）不适用。如函数的零点就不能用二分法求解.（2）用二分法求函数的零点时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的较小区间，这样可以减少二分法的次数，减少计算量。
②方法技巧：中值计算两边看；同号去，异号算；零点落在异号间,
周而复始怎么办；精确度上来判断.
个人感悟：