第1章 集合与常用逻辑用语 章末检测卷（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第1章 集合与常用逻辑用语 章末检测卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．已知集合，且，则等于（ ）
A．或 B． C． D．
2．集合的子集个数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
5．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知集合，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知集合，，则下列说法正确的是（ ）
A．有2个子集 B．中任意两个元素差的最小值为
C． D．或
8．下列说法正确的有（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．“”是“”的必要条件
C．命题“，”是假命题
D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
三、填空题
9．已知集合，，若，则实数 .
10．已知集合，，若，则实数的取值范围是
11．对于集合，，我们把集合，叫做集合A与B的差集，记作，若，，则 ．
12．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 .
四、解答题
13．设数集A由实数构成，且满足：若且，则.
(1)若，试证明A中还有另外两个元素；
(2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由；
(3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A.
（提示：）
14．对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2．
(1)①求所有非空子集的“递嬗和”的总和；
②求所有非空子集的“递嬗积”的总和．
(2)集合．
①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和；
②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和．
15．设全集为，，，
(1)求及
(2)若集合，，求的取值范围.
16．已知集合，集合，
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C D D C ABD CD
1．C
【分析】根据元素与集合的关系，分两种情况讨论属于集合的情况，再根据集合元素的互异性进行检验.
【详解】当时，得. 此时. 此时集合.
因为不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去.
当时，解方程，即，可得或.
若，则，此时集合.
不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去.
若，则，此时集合. 符合集合元素的互异性.
故选：C.
2．B
【分析】先求出集合，再由子集定义求其个数即得.
【详解】由题意得，则集合的子集个数为.
故选：B.
3．C
【分析】根据图形即可得解.
【详解】由维恩图可知，阴影部分为在A中且不在B中的元素构成的集合，
故集合为，
故选：C
4．D
【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，当时，，故A不符题意；
对于B，当时，，故B不符题意；
对于C，当时，，故C不符题意；
对于D，因为，所以，
若，则，
所以“”的一个充分不必要条件可以是，故D符合题意.
故选：D.
5．D
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.
【详解】命题“”为全称量词命题，
其否定为：.
故选：D
6．C
【分析】列出方程组，求出方程组的解后写出解集即可.
【详解】由，解得，
所以，
故选：C
7．ABD
【分析】根据集合的交并补运算及子集的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，，所以有2个子集，故A正确；
对于B，，
则中任意两个元素差的最小值为，故B正确；
对于C，或，所以，故C错误；
对于D，且，
所以或，故D正确.
故选：ABD.
8．CD
【分析】根据命题的否定，命题的充分必要性直接判断各选项.
【详解】A选项：命题“，”的否定是“，”，A选项错误；
B选项：当，时，满足，但不成立，B选项错误；
C选项：当时，满足，此时，不满足，所以命题“，”是假命题，C选项正确；
D选项：当时，对于方程，有，且，，即方程有一正一负根；
当方程有一正一负根时，，解得，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，D选项正确；
故选：CD.
9．
【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值.
【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求；
若，则，此时，符合要求；
若，则，此时集合违背互异性，不符合要求；
综上所述，.
故答案为：.
10．
【分析】根据集合的包含关系，讨论、求对应参数范围，即可得答案.
【详解】若时，满足，此时只需；
若时，则，可得；
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
11．
【分析】根据求出的值，进而根据集合的定义求解即可.
【详解】因为,
所以，即，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
12．
【分析】首先写成充要条件，再证明即可.
【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件，
证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根，
设两根为，所以，且，所以.
充分性：由可推出，
从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、，
则，由知：，即两根异号，
所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根.
因此是方程有两个异号实根的充要条件.
故答案为：
13．(1)证明见解析；
(2)不是，理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据集合的性质代入3计算可得集合中还含有两个元素；
（2）根据集合中元素的互异性，易证明集合中至少含有三个元素；
（3）利用（2）中的结论可知集合中的元素个数需为3的倍数，再由元素个数不超过8个以及所有元素的积可确定A中的元素个数必为6个，再由所有元素的和为即可得出结论.
【详解】（1）证明：根据题意若，则，
若，则，
若，则，
因此可得集合，
即可知集合中除了含有3之外，还含有两个元素.
（2）由且，可得，
由可得，
由可得，且，易知方程均无解；
所以；
即可得集合中至少含有3个元素，
所以集合A不可能为只含有两个元素的集合.
（3）由（2）可知，若，则，
易知集合中的元素个数需为3的倍数，
若A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，
由可知集合A中不可能只有3个元素，则集合A中的元素个数必为6个；
因此6个元素的积必为1，不妨取，解得或(舍)；
可知，
又所有元素的和为，不妨设，
根据提供解析式可解得或或,
所以.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据集合A中的元素性质，证明得出集合A中的元素个数必是3的倍数，再由元素个数以及所有元素的和及其积的性质计算即可得出集合A.
14．(1)①12; ②-1
(2)①13184; ②-1
【分析】（1）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，找出符合条件的元素，再求和即可.
（2）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，结合集合子集概念和结论，运用组合一起求和即可.
【详解】（1）①的所有非空子集为，
其“递嬗和”分别是，
则所有非空子集的“递嬗和”的总和为．
②的所有非空子集为，
，
其“递嬗积”分别是，
则所有非空子集的“递嬗和”的总和为．
（2）因为，
所以集合．
①集合的子集中，除去外还有个非空子集，
把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗和”的和，
组合原则是设，集合的元素为集合中去掉103的所有元素，
把和结合为一组，显然每组的“递嬗和”的和为103，共有组，
所以所有“递嬗和”的总和为．
②集合的子集中，其中除去外还有个非空子集，
把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗积”的和，
组合原则是设，集合的元素为集合中去掉的所有元素，
把和结合为一组，显然每组的“递嬗积”的和为0，共有组，
所以所有“递嬗积”之和应该为．
15．(1)，或
(2)
【分析】（1）根据并集运算计算出，先求，然后根据交集运算可求；
（2）根据包含关系列出不等式，由此可求的取值范围.
【详解】（1）因为，所以或，
所以，或.
（2）因为，所以，解得，
所以的取值范围是.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据补集、交集的定义计算可得；
（2）依题意可得真包含于，分与两种情况讨论，分别求出参数的取值范围.
【详解】（1）当时，
所以，又，
所以；
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，
所以真包含于，
当，即，此时，符合题意；
当，即，即，
此时要使真包含于，则，解得，
当时，符合题意；
当时，符合题意；
综上可得的取值范围为.