第5章 三角函数 同步练习卷（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第5章 三角函数 同步练习卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．若为方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x的程恰有三个解，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数图象的一条对称轴为直线，则（ ）
A． B． C． D．
6．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在（单位：s）时相对于平衡位置（图中处）的高度（单位：cm）由关系式确定，其中，，，.小球从最高点出发，经过0.5s后，第一次到达最低点，经过的路程为10cm，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．小球在内经过的路程为10cm D．时，小球正在向上运动
8．已知函数，则（ ）
A．函数的最小值为-1
B．函数的一个对称中心为
C．函数在区间单调递减
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
三、填空题
9．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，．若，则的值为 ．
10．以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间.例如，当，时，，.
给出下列命题：
①“函数”的充要条件是“，关于的方程都有实数解”；
②“函数”的充要条件是“既有最大值，也有最小值”；
③若函数，的定义域相同，且，，则；
④若函数，的定义域相同，且，，则.
其中，正确命题的序号是 .
11．若角的终边过点，则 ．
12．若角的终边经过点，则 .
四、解答题
13．在平面直角坐标系中，点在角α的终边上．
(1)求的值；
(2)求的值．
14．（1）化简求值：.
（2）已知扇形的半径为3cm，圆心角为，求此扇形的弧长和面积.
15．已知函数，
(1)若，，求的值;
(2)若，求的值.
16．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求在上的值域．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A D C A ABD ACD
1．C
【分析】作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案.
【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥，
则，所以，则，
，
故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为，
而，
所以该封闭图形的面积为.
故选：C
2．D
【分析】由韦达定理可得，，进而可得，进而切化弦即可得结果.
【详解】因为是方程的两根，
则，，
且，则，
可得
，
所以.
故选：D.
3．A
【分析】利用诱导公式可求值.
【详解】.
故选：A.
4．D
【分析】设，证明及的图象关于对称，结合条件证明，，由此即可求解.
【详解】设，
由已知有3个零点，且为其零点，
因为，
，
所以，所以函数的图象关于点对称，
又，
因为有3个零点，且为其零点，，
所以，且，所以.
故选：D.
5．C
【分析】借助辅助角公式与正弦型函数的对称轴计算即可得.
【详解】由题意可得，，
，其中，，
由函数图象的一条对称轴为直线，
即有，即，
又，故，故.
故选：C.
6．A
【分析】根据函数图象的平移可得，即可根据对称得求解.
【详解】由题意可得，
由于的图象关于点对称，故，
故,解得，
取，为最小值，
故选：A
7．ABD
【分析】根据题意，由函数周期可得，由时，小球位于最高点，可得，再由条件可得，然后结合正弦型函数的性质逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题意，，，，
当时，小球位于最高点，则，，，故A，B正确；
对于C，由题意，当，小球经过一个周期，则其路程为，故C错误；
对于D，当时，由周期性，等价于，
此时，
由正弦函数的图像可知，图像自下而上穿过轴，小球正在向上运动，故D正确，
故选：ABD.
8．ACD
【分析】化简得，逐项验证即可解决.
【详解】由题知，
，
对于A，函数取最小值为，正确；
对于B，，所以函数的一个对称中心为，故B错误；
对于C，，
所以单调减区间应满足，解得，
所以单调减区间为，当时，得
因为，所以函数在区间单调递减，故C正确；
对于D，的图像向左平移个单位长度，得，故D正确
故选：ACD
9．/0.8
【分析】根据三角函数的定义可得，进而由图可得，利用二倍角公式即可化简求解
【详解】由于的坐标为，故，故在单位圆上，设终边所对角为，
由于，故,，
所以，故，
，
故答案为：
10．①④
【分析】①中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；
②中举反例保证函数的值域为集合的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；③根据反例可判断；④中根据函数的值域，可以发现，从而发现命题正确；
【详解】对①，“”即函数值域为，
“，关于的方程都有实数解”表示的是函数可以在中任意取值，
命题①是真命题；
对②，若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．
．例如：函数满足，则有，
此时，无最大值，无最小值．命题②是假命题；
对③，设函数，的定义域相同，且，，符合题意，但,故命题③是假命题．
对④，若函数，的定义域相同，且，，
则值域为，即，并且存在一个正数，使得，
，则．命题④是真命题．
故答案为：①④
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.
11．/0.8
【分析】根据三角函数的定义求得，再利用诱导公式即可求得.
【详解】依题意，，
则.
故答案为：.
12．
【分析】根据三角函数的定义，即可求解.
【详解】由三角函数的定义可知，.
故答案为：
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义求得正确答案.
（2）利用同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】（1）由于点在角α的终边上，
所以.
（2）.
14．（1）；（2）弧长，面积为.
【分析】（1）应用指数幂、对数的运算性质化简求值；
（2）根据扇形弧长和面积公式求结果.
【详解】（1）原式；
（2）由，则扇形的弧长为，扇形的面积为.
15．(1)；
(2)3.
【分析】（1）根据题设及平方关系可得，再应用诱导公式求目标函数值；
（2）由题设得，利用平方关系、商数关系求目标函数值.
【详解】（1）因为，，
又，可得，
由于，
所以．
（2）由题设，易得，
两边平方，得，可得，
．
16．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出解析式.
（2）求出指定区间对应的相位范围，再结合正弦函数性质求出值域.
【详解】（1）观察图象知，，，即，又，且0在的递增区间内，
则，，由，得，
解得，又且，解得，因此，
所以函数的解析式是.
（2）由（1）知，，当时，，
而正弦函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，，
所以在上的值域为.