第二章 直线和圆的方程 单元检测（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第二章 直线和圆的方程 单元检测（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 625.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-28 07:16:23 | ||
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文档简介
第二章直线和圆的方程单元检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
一、单选题
1．已知点，，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．圆心为，一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知动直线与圆（圆心为）交于点，，则弦最短时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．若圆上恰好有两点到点的距离为3，则整数的取值个数共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
二、多选题
7．已知点A是圆上任意一点，点是直线与轴的交点，为坐标原点，则（ ）
A．以线段为直径的圆周长最小值为
B．面积的最大值为
C．以线段为直径的圆不可能过坐标原点
D．的最大值为25
8．下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C．点关于直线的对称点为
D．过，两点的直线方程为
三、填空题
9．若直线和垂直，则实数 .
10．若直线经过，则直线的斜率为 .
11．原点到动直线距离的最大值为 .
12．在平面直角坐标系中，，若点P满足，则面积的最大值为 .
四、解答题
13．已知的三个顶点分别是
(1)求边上的中线所在直线方程；
(2)求的面积.
14．已知的三个顶点分别是，，.
(1)求边上的高所在的直线方程；
(2)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程；
15．已知坐标平面内三点．
(1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；
(2)若是线段上一动点，求的取值范围．
16．已知圆.
(1)若直线与圆相交，求实数的取值范围；
(2)若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和.
①求四边形面积的最小值；
②当点横坐标为4时，求直线的方程.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C D B ABD AC
1．D
【分析】由倾斜角的坐标公式计算即可.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
由于，所以.
故选：D.
2．C
【分析】设所求直线的横截距为，分和讨论，设出直线方程，将点代入，求出即可得出答案.
【详解】设所求直线的横截距为，
当时，可设直线为，将点代入，可得，
所以直线方程为，
当时，可设直线为，将点代入，可得，
所以直线方程为，
综上，直线的方程为或.
故选：C.
3．B
【分析】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，求得的坐标，可得的面积的表达式，然后把各选项代入，根据方程解的个数即可判断.
【详解】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，
令，得；令，得，则，
所以的面积为，
当时，有，
当时，得，解得；
当时，得，此方程无解，
所以满足条件的直线有2条，故A错误；
当时，有，
当时，得，解得；
当时，得，解得，
所以满足条件的直线有3条，故B正确；
当时，有，
当时，得，解得；
当时，得，解得，
所以满足条件的直线有4条，故C错误；
当时，有，
当时，得，解得；
当时，得，解得，
所以满足条件的直线有4条，故D错误.
故选：B.
4．C
【分析】由中点坐标公式求出直径落在两坐标轴上的点的坐标，再由两点间距离公式求出半径即可得到结果.
【详解】设直径落在两坐标轴上的坐标为，
则，解得，
所以半径长为，
所以圆的标准方程为.
故选：C.
5．D
【分析】确定动直线过圆内一定点，求出圆心的坐标和半径，由时，弦最短求解．
【详解】根据题意，圆可化为，其圆心为，半径，
动直线，即，恒过点.
设，又由，则点在圆的内部，
动直线与圆（圆心为）交于点，
当为的中点，即与垂直时，弦最短，
此时，弦的长度为，
此时的面积，
故选：D.
6．B
【分析】先根据条件证明，然后即可得到答案.
【详解】命题等价于到的距离属于，即，从而.
故的所有可能取值为，共个.
故选：B.
7．ABD
【分析】当三点共线，，可判断；，当时，面积最大，可判断；设以线段为直径的圆过坐标原点，利用直径所对的圆周角为直角科判断；设点，利用数量积的坐标运算可判断.
【详解】由题意得圆圆心，半径，点，
对于：如图所示，易知，
当且仅当三点共线，且点在线段上时，等号成立，
故线段为直径的圆周长最小值为，故正确；
对于：，
，
所以当时，面积的最大，最大值为，故正确；
对于：若以线段为直径圆过坐标原点，
由直径所对的圆周角为直角可得，
易知当点在轴上时，满足题意，
所以以线段为直径的圆可能过坐标原点，故错误；
对于：设点，易知，，
则，
所以，
即的最大值为25，故正确；
故答案为：.
8．AC
【分析】选项A，分别令和，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；选项B，特殊情况不成立；选项C，求出对称点坐标即可判断；选项D，利用两点式的前提条件可判断.
【详解】A，令得，令得，
则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，故A正确；
B，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线还有过原点的直线，故B错误；
C，设关于直线对称点坐标为，
则，解得，故C正确；
D，两点式使用的前提是，故D错误；
故选：AC.
9．3
【分析】由直线垂直得到方程，求出答案.
【详解】由题意得，解得.
故答案为：3
10．/
【分析】利用两点斜率公式即可得解.
【详解】因为直线经过，
所以直线的斜率为.
故答案为：.
11．
【分析】先证明距离不超过，再说明当时距离为，即可说明距离的最大值是.
【详解】设原点到直线的距离为，则.
当时，.
所以原点到直线的距离的最大值为.
故答案为：.
12．
【分析】设，由题设可得，即点P的轨迹是以为圆心，半径的圆，进而结合三角形的面积公式求解即可.
【详解】设，由，
得，整理得，
即，即点P的轨迹是以为圆心，半径的圆，
则面积的最大值为.
故答案为：.
13．(1)
(2)8
【分析】（1）根据题意，由直线的点斜式方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由两点间距离公式可得，再由点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再结合三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）中点，
由点斜式可得，化简可得，
所以中线方程为.
（2）因为，且，
由点斜式可得直线的方程为，化简可得，
又点到直线的距离为，
所以，
即的面积为8.
14．(1)；
(2).
【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.
（2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程.
【详解】（1）直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3，
所以边上的高所在的直线方程为，即.
（2）依题意，设直线的方程为，
而直线过点，则，解得，
所以直线的方程为.
15．(1)；
(2)．
【分析】（1） 设，根据求解即可；
（2） 因为表示直线的斜率，求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率，由此即可得答案．
【详解】（1）如图，当点在第一象限时，，
设，则，解得，
故点的坐标为.
（2）由题意得为直线的斜率，如图，
当点与点重合时，直线的斜率最小，；
当点与点重合时，直线的斜率最大，．
故直线的斜率的取值范围为，
即的取值范围为．
16．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用距离公式即可得到答案.
（2）①利用面积的公式即可求出最小值；②利用切点弦方程的公式即可得到答案.
【详解】（1）命题等价于到直线的距离小于，
即，解得的取值范围是.
（2）①易知，
所以，
等号对成立，故最小值是；
②因为，所以四点共圆，圆心为的中点，
因为，所以圆的半径为，
方程为，即，
直线为两圆公共弦所在直线方程，两圆方程相减整理得直线的方程为.
一、单选题
1．已知点，，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．圆心为，一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知动直线与圆（圆心为）交于点，，则弦最短时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．若圆上恰好有两点到点的距离为3，则整数的取值个数共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
二、多选题
7．已知点A是圆上任意一点，点是直线与轴的交点，为坐标原点，则（ ）
A．以线段为直径的圆周长最小值为
B．面积的最大值为
C．以线段为直径的圆不可能过坐标原点
D．的最大值为25
8．下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C．点关于直线的对称点为
D．过，两点的直线方程为
三、填空题
9．若直线和垂直，则实数 .
10．若直线经过，则直线的斜率为 .
11．原点到动直线距离的最大值为 .
12．在平面直角坐标系中，，若点P满足，则面积的最大值为 .
四、解答题
13．已知的三个顶点分别是
(1)求边上的中线所在直线方程；
(2)求的面积.
14．已知的三个顶点分别是，，.
(1)求边上的高所在的直线方程；
(2)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程；
15．已知坐标平面内三点．
(1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；
(2)若是线段上一动点，求的取值范围．
16．已知圆.
(1)若直线与圆相交，求实数的取值范围；
(2)若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和.
①求四边形面积的最小值；
②当点横坐标为4时，求直线的方程.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C D B ABD AC
1．D
【分析】由倾斜角的坐标公式计算即可.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
由于，所以.
故选：D.
2．C
【分析】设所求直线的横截距为，分和讨论，设出直线方程，将点代入，求出即可得出答案.
【详解】设所求直线的横截距为，
当时，可设直线为，将点代入，可得，
所以直线方程为，
当时，可设直线为，将点代入，可得，
所以直线方程为，
综上，直线的方程为或.
故选：C.
3．B
【分析】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，求得的坐标，可得的面积的表达式，然后把各选项代入，根据方程解的个数即可判断.
【详解】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，
令，得；令，得，则，
所以的面积为，
当时，有，
当时，得，解得；
当时，得，此方程无解，
所以满足条件的直线有2条，故A错误；
当时，有，
当时，得，解得；
当时，得，解得，
所以满足条件的直线有3条，故B正确；
当时，有，
当时，得，解得；
当时，得，解得，
所以满足条件的直线有4条，故C错误；
当时，有，
当时，得，解得；
当时，得，解得，
所以满足条件的直线有4条，故D错误.
故选：B.
4．C
【分析】由中点坐标公式求出直径落在两坐标轴上的点的坐标，再由两点间距离公式求出半径即可得到结果.
【详解】设直径落在两坐标轴上的坐标为，
则，解得，
所以半径长为，
所以圆的标准方程为.
故选：C.
5．D
【分析】确定动直线过圆内一定点，求出圆心的坐标和半径，由时，弦最短求解．
【详解】根据题意，圆可化为，其圆心为，半径，
动直线，即，恒过点.
设，又由，则点在圆的内部，
动直线与圆（圆心为）交于点，
当为的中点，即与垂直时，弦最短，
此时，弦的长度为，
此时的面积，
故选：D.
6．B
【分析】先根据条件证明，然后即可得到答案.
【详解】命题等价于到的距离属于，即，从而.
故的所有可能取值为，共个.
故选：B.
7．ABD
【分析】当三点共线，，可判断；，当时，面积最大，可判断；设以线段为直径的圆过坐标原点，利用直径所对的圆周角为直角科判断；设点，利用数量积的坐标运算可判断.
【详解】由题意得圆圆心，半径，点，
对于：如图所示，易知，
当且仅当三点共线，且点在线段上时，等号成立，
故线段为直径的圆周长最小值为，故正确；
对于：，
，
所以当时，面积的最大，最大值为，故正确；
对于：若以线段为直径圆过坐标原点，
由直径所对的圆周角为直角可得，
易知当点在轴上时，满足题意，
所以以线段为直径的圆可能过坐标原点，故错误；
对于：设点，易知，，
则，
所以，
即的最大值为25，故正确；
故答案为：.
8．AC
【分析】选项A，分别令和，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；选项B，特殊情况不成立；选项C，求出对称点坐标即可判断；选项D，利用两点式的前提条件可判断.
【详解】A，令得，令得，
则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，故A正确；
B，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线还有过原点的直线，故B错误；
C，设关于直线对称点坐标为，
则，解得，故C正确；
D，两点式使用的前提是，故D错误；
故选：AC.
9．3
【分析】由直线垂直得到方程，求出答案.
【详解】由题意得，解得.
故答案为：3
10．/
【分析】利用两点斜率公式即可得解.
【详解】因为直线经过，
所以直线的斜率为.
故答案为：.
11．
【分析】先证明距离不超过，再说明当时距离为，即可说明距离的最大值是.
【详解】设原点到直线的距离为，则.
当时，.
所以原点到直线的距离的最大值为.
故答案为：.
12．
【分析】设，由题设可得，即点P的轨迹是以为圆心，半径的圆，进而结合三角形的面积公式求解即可.
【详解】设，由，
得，整理得，
即，即点P的轨迹是以为圆心，半径的圆，
则面积的最大值为.
故答案为：.
13．(1)
(2)8
【分析】（1）根据题意，由直线的点斜式方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由两点间距离公式可得，再由点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再结合三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）中点，
由点斜式可得，化简可得，
所以中线方程为.
（2）因为，且，
由点斜式可得直线的方程为，化简可得，
又点到直线的距离为，
所以，
即的面积为8.
14．(1)；
(2).
【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.
（2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程.
【详解】（1）直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3，
所以边上的高所在的直线方程为，即.
（2）依题意，设直线的方程为，
而直线过点，则，解得，
所以直线的方程为.
15．(1)；
(2)．
【分析】（1） 设，根据求解即可；
（2） 因为表示直线的斜率，求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率，由此即可得答案．
【详解】（1）如图，当点在第一象限时，，
设，则，解得，
故点的坐标为.
（2）由题意得为直线的斜率，如图，
当点与点重合时，直线的斜率最小，；
当点与点重合时，直线的斜率最大，．
故直线的斜率的取值范围为，
即的取值范围为．
16．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用距离公式即可得到答案.
（2）①利用面积的公式即可求出最小值；②利用切点弦方程的公式即可得到答案.
【详解】（1）命题等价于到直线的距离小于，
即，解得的取值范围是.
（2）①易知，
所以，
等号对成立，故最小值是；
②因为，所以四点共圆，圆心为的中点，
因为，所以圆的半径为，
方程为，即，
直线为两圆公共弦所在直线方程，两圆方程相减整理得直线的方程为.