第六章 统计 达标检测（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第六章统计 达标检测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．样本的数据如下:3,4,4,,5,6,6,7,若该样本平均数为5，则样本方差为
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
2．（2017-2018学年贵州省遵义市遵义四中高三第三次月考）一支田径队有男运动员40人,女运动员30人,要从全体运动员中抽取一个容量为28的样本来研究一个与性别有关的指标,则抽取的男运动员人数为
A．20 B．18
C．16 D．12
3．某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（ ）
A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少
B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14
D．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456
4．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n＝(　　)
A．860 B．720
C．1 020 D．1 040
5．为了调查全国人口的寿命，抽查了11个省（市）的2500 名城镇居民，这2500名城镇居民的寿命的全体是（ ）
A．总体 B．个体 C．样本 D．样本容量
6．已知一组样本数据，，…，的均值和方差分别为2和0.25，则，，…，的均值和方差分别为（ ）
A．6和0.75 B．8和0.75 C．8和2.25 D．6和2.25
二、多选题
7．一组数据，，…，的平均数是3，方差为4，关于数据，，…，，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是3 B．平均数是8
C．方差是11 D．方差是36
8．根据下列数据：16，20，22，25，24，25，下列说法正确的是（ ）
A．这些数据的平均数为22 B．这些数据的平均数为23
C．这些数据的中位数为22 D．这些数据的中位数为23
三、填空题
9．某班的全体学生参加年级数学竞赛，成绩的频率分布直方图如下图所示，数据的分组依次为，，，.已知低于40分的有5人，则该班学生总人数是 ．
10．菲尔兹奖(Fields Medal)被视为数学界的诺贝尔奖，每次在国际数学大会上颁给2~4位有卓越贡献的年轻数学家.于1936年首次颁发，截至2020年，世界上共有60位数学家获得过菲尔兹奖，其中2位为华裔数学家，分别是1982年获奖的数学家丘成桐和2006年获奖的数学家陶哲轩.从年龄的维度统计，菲尔兹奖获奖者人数的折线图如下图所示，则获奖者年龄数据的中位数为 .
11．有一个简单的随机样本，，，，，则这个样本的方差 .
12．某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在的学生人数为，且有个女生的成绩在中，则 ；现由成绩在的样本中随机抽取2名学生作指导工作，记所抽取学生中女生的人数为，则的数学期望是 ．
四、解答题
13．给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第位古董的位次编号，记，那么与的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强．
(1)当时，求的所有可能取值；
(2)当时，求满足的的个数；
(3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值的差异量为，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值的差异量是否可能为？请说明理由．
（注：实数满足：，当且仅当时取“”号）
14．某市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按的比例随机抽取人进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图（如图所示），由于操作失误，导致第一组和第二组的数据丢失，但知道第二组频率是第一组的倍．
(1)求和的值；
(2)若次数在以上（含次）为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？
(3)估计全市学生跳绳次数的中位数和平均数？
15．为了调查一款电视机的使用时间，研究人员对该款电视机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：
并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：
愿意购买这款电视机 不愿意购买这款电视机 总计
40岁以上 800 1000
40岁以下 600
总计 1200
（1）根据图中的数据，试估计该款电视机的平均使用时间；
（2）根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；
（3）若按照电视机的使用时间进行分层抽样，从使用时间在和的电视机中抽取5台，再从这5台中随机抽取2台进行配件检测，求被抽取的2台电视机的使用时间都在内的概率．
附： 0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
16．一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：
岗位 业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值 合计分值
会计（1） 2 1 5 4 12
业务员（2） 5 2 3 5 15
后勤（3） 2 3 5 3 13
管理员（4） 4 5 4 4 17
对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标.
(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录.
（i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；
（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C D C C BD AD
1．D
【详解】，得，则故选D．
2．C
【详解】因为田径队男运动员40人,女运动员30人,所以这支田径队共有40+30=70人,用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28的样本,所以每个个体被抽到的概率是,因为田径队有男运动员40人,所以男运动员要抽取人,故选C．
3．C
【分析】由频率分布直方图比较各区间的频率大小，由此确定各区间的频数大小，由此判断A，再计算样本数据的中位数和平均数，判断B，C，再求锻炼天数超过15天的频率，由此估计概率，判断D.
【详解】频率分布直方图中，面积最小的矩形条所在的区间为，即样本中区间内的数据频率最小，频数也最小，故选项错误，
由频率分布直方图可得，前三个小矩形的面积之和为，所以估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数小于15，故选项错误；
由频率分布直方图可得，，故选项C正确；
由频率分布直方图可得，该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的频率为，故锻炼天数超过15天的概率为，
故选项错误.
故选：C.
4．D
【详解】分层抽样是按比例抽样,可得,可得.故本题选.
5．C
【分析】由样本的概念即知.
【详解】由题意可知，这2500名城镇居民的寿命的全体是样本.
6．C
【分析】根据均值和方差的定义和性质进行计算.
【详解】由题意得，故，
则
即，，…，的均值为，
又，
故，
解得，
故
故，，…，的方差为.
故选：C
7．BD
【详解】代入平均数和方差公式，即可求解.
【分析】，，，…，的平均数为，方差为，则，，
所以数据，，…，的平均数为，
方差为.
故选：BD.
8．AD
【解析】根据数据的平均数和中位数的求法可得选项．
【详解】由已知得：这些数据的平均数为，这些数据的中位数为，
故选：AD．
9．50
【详解】根据频率分布直方图，得低于分的频率是，又因为低于分的有 人，样本容量是人，故答案为.
10．36
【分析】列举出获奖者的年龄，即得解.
【详解】解：由题得获奖年龄为：27，27，29，29，29，31，31，31，31，31，32，32，32，32，33，33，33，33，34，34，34，34，35，35，35，35，35，36，36，36，36，36，37，37，37，37，37，37，37，37，38，38，38，38，38，38，38，38，39，39，39，39，39，39，40，40，40，40，40，40，40，共60人. 第30位和第31位都是36岁，所以获奖者年龄数据的中位数为36.
故答案为：36
11．
【分析】根据所给的样本，先算出这组数据的平均数，再把所求的平均数和数据代入求出这组数据的方差，得到结果.
【详解】解：由样本数据，，，，，
所以这组数据的平均数是.
这组数据的方差为.
故答案为：.
【点睛】本题考查一组数据的方差的求法，属于基础题.
12．
【分析】先利用频率和为求得的值.根据的学生人数及频率，计算出的值.根据的频率计算出该组的总人数，利用超几何分布概率计算公式求得分布列，由此求得的数学期望.
【详解】由，解得.依题意，则.成绩在的人数为，其中个为女生，个为男生.的可能取值为.，故.
【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识，考查超几何分布的概率计算公式，考查分布列的期望求法.属于中档题.对于频率分布直方图，要注意的有以下两点：一个是小长方形的面积和为，二个是频率分布直方图的纵坐标为.超几何分布的计算公式，类似于古典概型的计算公式.
13．(1)0，2，4
(2)12
(3)不可能，理由见详解
【分析】（1）利用列举法求的所有可能性结果，结合的定义运算求解；
（2）分析可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解；
（3）由题意可得：，，结合绝对值不等式的运算求解.
【详解】（1）若时，则，且，
可得，
所以的所有可能取值为0，2，4.
（2）若对调两个位置的序号之差大于2，则，
可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，
若调整两次两个连续序号：则有，共有3种可能；
若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：，共3组，
由（1）可知：每组均有3种可能满足，可得共有种可能；
所以的个数为.
（3）不可能，理由如下：
设专家甲的排序为，记；
专家乙的排序为，记；
由题意可得：，，
因为，
结合的任意性可得，
所以专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量不可能为.
【点睛】方法点睛：1，对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论；
2，对于（3）：结合绝对值不等式分析证明.
14．(1)
(2)，人
(3)，平均数
【分析】（1）根据频率之和为列方程，结合已知条件求得.
（2）根据频率分布直方图计算出优秀率，并计算出全市优秀学生的人数.
（3）根据中位数、平均数的求法求得正确答案.
【详解】（1）由题意得，
解得．
（2）由图可知，超过分的组的频率分别为，，，
优秀率为．
全市优秀学生的人数约为（人）．
（3）第组的频率分别为，，，，
前三组的频率和为，
中位数约为．
平均数约为
．
15．（1）7.76；（2）见解析；（3）.
【分析】(1)利用频率分布直方图求出平均数；
(2)依题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
(3)依题意用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值
【详解】（1）依题意，所求平均数为
；
（2）依题意，完善表中的数据如下所示：
愿意购买该款电视机 不愿意购买该款电视机 总计
40岁以上 800 200 1000
40岁以下 400 600 1000
总计 1200 800 2000
故；
故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；
（3）依题意，使用时间在内的有1台，记为A，使用时间在内的有4台，记为；
则随机抽取2台，所有的情况为，，，，，，，，，共10种；
其中满足条件的为，，，，，共6种，
故所求概率为.
【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题
16．(1)
(2)（i）小刚最适合业务员岗位；（ii）小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为
【分析】（1）将合计分值从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求出结果；
（2）（i）根据条件，先求出各个岗位的样本点，再根据题设定义即可求出结果；（ii）先根据条件得到的相关方程组，利用，，得到，再根据题设列出方程，利用，得出，再对三种情况分析讨论，即可求出结果.
【详解】（1）将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据，
又，所以这组数据的第三四分位数为.
（2）（i）由图表知，会计岗位的样本点为，则，
业务员岗位的样本点为，则，
后勤岗位的样本点为，则，
管理员岗位的样本点为，则，
所以，故小刚最适合业务员岗位.
（ii）四种职业的推荐率分别为，且，
所以，得到，
又均小于20，所以，且，
故可得到，
设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为，且，，
依题有①，
②，
③，
④，
由①③得，
，
整理得：，
故有三组正整数解，
对于第一组解，代入④式有，不成立；
对于第二组解，代入①式有，
解得或，代入②④式均不成立；
对于第三组解，代入②式有，
解得，代入①②③④均成立，故；
故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为.
【点睛】关键点点晴：本题第（2）问的（ii）问的解决关键在于，根据题设定义列出的相关方程组，分析得，进而选择合适的式子得到，从而分析得解.