第三章 函数的概念与性质 单元测试卷（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章函数的概念与性质单元测试卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数的定义域为（ ）
A．或 B．或
C． D．
3．已知函数，若，则（ ）
A． B．2 C．3 D．4
4．已知，则( )
A．是偶函数
B．是奇函数
C．是非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
5．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
6．对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（ ）
A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物
C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物
8．设a，b，c为实数，记集合若，分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论可能的是（ 　）
A．{S}=1且{T}=0 B．{S}=1且{T}=1
C．{S}=2且{T}=3 D．{S}=2且{T}=2
三、填空题
9．已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是 .
10．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 .
11．设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，则 .
12．写出满足的函数的一个解析式： .
四、解答题
13．近几年打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本12万元，生产（千件）手办，需另投入成本（万元），且由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完.
(1)求出2024年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式；
(2)2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？
14．已知幂函数是奇函数.
(1)求的解析式；
(2)若不等式成立，求的取值范围.
15．用定义证明函数的单调性，并求函数的值域.
16．设函数的定义域为集合A，集合
(1)求集合A；
(2)求的值；
(3)若，求的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C B A A AC ABD
1．B
【分析】先计算出的值，再计算出的值.
【详解】因为，所以，
故选：B.
2．B
【分析】根据偶次根式被开方数大于等于、分式分母不为求解出定义域.
【详解】由题意可知，，解得或，
所以定义域为或，
故选：B.
3．C
【分析】先分析的奇偶性，然后根据奇偶性计算出的值.
【详解】因为，定义域为关于原点对称，
且，
所以为偶函数，所以，
故选：C.
4．B
【分析】根据化简函数解析式，利用奇偶性的定义可得结论.
【详解】由得，∴，
∴，
∴函数的定义域为，关于原点对称.
∵，∴是奇函数.
故选：B.
5．A
【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性一一分析即可.
【详解】根据幂函数奇偶性知和为奇函数，故BD错误；
对C，，当时，，此时单调递增，故C错误；
对A，根据幂函数的性质知其为偶函数且在上单调递减，故A正确.
故选：A.
6．A
【分析】则原问题转化为方程：在上有解问题，结合对称轴和根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】设为奇函数，且当时，，
则时，，
则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题.
由在有解得：
.
故选：A
7．AC
【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可.
【详解】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场，
所以选项A正确；
当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，
，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误；
当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为
，因为，所以
故，所以应进乙商场，所以选项C正确；
假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为，
所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误.
故选：AC
8．ABD
【分析】就和分类讨论后可得正确的选项.
【详解】当时，与均无零根，
因为与等价，
且与等价，
故，故C不成立， 取，则，此时，即，
故B能成立，
取，，此时，即，
故D能成立，
当，无零根，
若有解，设为的解，则，
此时即，
故为的解，故，故C错误，
取，则，此时无解即，
此时，，故A能成立.
故选：ABD.
9．或
【分析】由题意得到，求出，，从而得到不等式，求出答案.
【详解】，，满足不等式，
故只需，
其中，当且仅当时，等号成立，
关于的函数，
当且仅当时，等号成立，
所以，解得或，
综上，实数m的取值范围是或，
故答案为：或
10．
【分析】令，将函数写成分段函数，即可求出，从而求出参数的取值范围.
【详解】令，则，
所以，
因为不等式对一切恒成立，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：
11．1
【分析】求出函数的图象的对称点，对称直线，周期，求出，求出.
【详解】因为函数的定义域为为奇函数，为偶函数，
所以函数的图象关于点对称，也关于直线对称，
所以，，
所以，
则，
所以函数是周期为8的周期函数，
当时，，
则，，，，，，，，
所以，
又因为，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出函数的图象的对称点，对称直线，周期.
12．（答案不唯一）
【分析】根据幂函数的性质写出一个满足条件的函数即可.
【详解】对于，显然有，故满足题设.
故答案为：（答案不唯一）
13．(1)
(2)年产量为10（千件）时工厂所获利润最大，最大利润是8万元.
【分析】（1）分和两种情况，得到函数解析式；
（2）当时，利用二次函数的性质得到当时，万元，当时，利用基本不等式求出最大值，比较后得到结论.
【详解】（1）当时，；
当时，，
所以
（2）若，即，
当时，万元；
若，
当且仅当时，即时，万元，
因为，
所以2024年年产量为10（千件）时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元.
14．(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数的概念及奇函数即可求解；
（2）由函数单调性即可求解.
【详解】（1）因为是幂函数，所以，即，
所以，解得或.
当时，，此时，所以是奇函数，则符合题意；
当时，，此时，所以是偶函数，则不符合题意.
故.
（2）由（1）可知，所以不等式，即不等式，
因为为增函数，
所以，即，
所以，解得或，即的取值范围是.
15．证明见解析，值域为
【分析】先取值，然后将的结果因式分解，根据条件判断出的大小关系，从而单调性可知，再根据单调性可求的值域.
【详解】的定义域为，，且，
则，
因为，所以，
当时，，则，
所以，所以在上单调递减，
当时，，则，
所以，所以在上单调递增；
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以，当（或）时，，
所以的值域为.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由解析式列不等式组求解；
（2）代入求值即可；
（3）分为，两种情况讨论，列出不等式求解.
【详解】（1）由，解得，
则函数的定义域为集合.
（2）.
（3）当时，满足，此时，解得；
当时，若，则，解得，
综上，的取值范围是.