第四章 数列 章末检测（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章数列章末检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册
一、单选题
1．已知数列，，，，，，，则是这个数列的（ ）
A．第项 B．第项 C．第项 D．第项
2．将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（ ）

A．59 B．60 C．61 D．62
3．将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ）
A．55 B．77 C．91 D．113
4．为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小张11月1日运动了2分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为（ ）
A．3.5小时 B．246分钟
C．4小时 D．250分钟
5．设为等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
6．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
二、多选题
7．高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
8．若正整数，只有1为公约数，则称，互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．，
三、填空题
9．数列的一个通项公式 ．
10．对于任意给定的一个正整数，将分母小于或等于的既约（最简）真分数按照自左至右递增排列，并在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，该数列称为阶Farey数列，记为，其项数记为，各项的和记为．如下，给出，，…，，在中，有，．
，
，，
，，，，
，，，，，，
，，，，，，，，，，
已知，则 ， ．
11．对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中，称为数列的阶差分数列，其中．已知数列满足，且为的二阶差分数列，则数列的前项和 ．
12．利用数学归纳法证明“，，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 ．
四、解答题
13．已知数列的前项和为，，，求数列的通项公式．
14．已知是等差数列的前n项和，且，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前100项和.
15．已知数列是公差为的等差数列，且，数列是等比数列，且，．
(1)求和的通项公式；
(2)设（），求数列的前项和；
(3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围．
16．已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C C C D BCD AC
1．C
【分析】令，解出即可得.
【详解】令，解得，
所以是这个数列的第项.
故选：C.
2．C
【分析】根据已知对数列用后项减前项，归纳出性质：，，然后由计算可得．
【详解】由题意得，，，…，所以，．
因此．
故选：C．
3．C
【分析】先根据题中规律，并采用累加法找到拐弯数的通项公式，即可求解.
【详解】不妨设第n（）个“拐角数”为，
不难发现，
所以，
得，
当时，也符合上式，
所以，
第9个“拐角数”是，故C对；
其他都不是拐角数，
故选：C
4．C
【分析】根据等差数列求和公式计算可得结果.
【详解】依题意可得，小张从11月1日开始，第1天 第2天 第15天的运动时长依次成等差数列，
且首项为2，公差为2，所以从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为分钟小时.
故选：C
5．C
【分析】设等比数列的公比为，易得，再根据等比数列的性质可得，，进而结合等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，显然，
由，，得，则，即，
所以.
故选：C.
6．D
【分析】分别分析当与时等号左边的项，再分析增加项即可
【详解】由题意知当时，左边为，
当时，左边为，
增加的部分为，共项．
故选：D
7．BCD
【分析】根据与的关系，化简可得，判断A，B；再由裂项相消法求判断C；利用放缩法判断D.
【详解】对于A，B，，
所以当时，，
又，则，
所以，故A错，B对；
对于C，，
，
，故C对；
对于D，，
，
当时，，
，
，故D对；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是正确理解高斯函数，根据递推式，从而可归纳出通项公式，进而可求得答案.
8．AC
【分析】对于AC：利用欧拉函数定义求解判断；对于BD：举反例说明即可.
【详解】对于选项A：小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，，
小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，，
因为，故A正确；
对于选项B：因为当时，，故B错误；
对于选项C：小于或等于的正整数中与互质的正整数为
，，，，，，，，，，，，，，，，
共有个，所以，故C正确；
对于选项D：当时，因为，故D不正确；
故选：AC
9．
【分析】根据题意，观察数列项的特点，即可得到其通项公式.
【详解】由题意可知，数列的奇数项为负，偶数项为正，分母为的指数幂，分子为项数的倍，
则通项公式为.
故答案为：
10． 23
【分析】结合题意根据阶Farey数列的定义及性质分析即可求解.
【详解】分母为6的既约真分数有，共2个；
分母为7的既约真分数有，共6个；
分母为8的既约真分数有，共4个，
由题意得，所以，
与100互质的数是不含有2和5的数，即个位是1,3,7,9的数都与100互质，
所以与100互质的数共有40个，即分母为100的既约真分数有个，
又，所以，
由题意可知阶Farey数列，每一阶最中间的数都为，且关于对称的两数之和为1，
所以利用倒序相加法可得，所以.
故答案为：23；.
【点睛】解答与数列有关的新定义问题的策略：
（1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
（2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决.
（3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.
11．
【分析】根据题意得到，变形得到是首项为，公差为的等差数列，
从而求出，利用错位相减法求和，得到答案.
【详解】因为为的二阶差分数列，即，
由，故，
可知，即，
得，
所以，又，
故数列是首项为，公差为的等差数列，
因此，，
所以①，
得②，
得，
故．
故答案为：
12．
【分析】分别写出和左边的式子，两对照可得答案.
【详解】当时，左边式子为，
当时，左边式子为，
故左边增乘的因式是．
故答案为：．
13．
【分析】根据题意，当时，，作差化简得，利用累乘法，即可求得答案。
【详解】因为，所以当时，，
两式作差可得，
整理得，
因为，，
令，则，所以，
所以，所以，
则，
当时，也符合上式，综上，.
14．(1)
(2)200
【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；
（2）求出，利用分组求和公式得到答案.
【详解】（1）设公差为d，结合题设有，
解得，
则
故的通项公式为.
（2），
所以
.
15．(1)，；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据等差数列与等比数列的基本量求解首项、公比即可得和的通项公式；
（2）根据数列的通项，奇数部分通项进行裂项，然后分奇偶求和即可得数列的前项和；
（3）根据等差数列的性质可得，利用含参不等式孤立参数可得对恒成立，令，判断其单调性得最值即可得实数的取值范围．
【详解】（1）由题可知数列是公差为的等差数列，
且，则，
解得，
所以，
设等比数列的公比为，且，，
则，解得，
所以，
所以和的通项公式为，．
（2）由（1）得为，，
所以，
因为当为奇数时，则，
所以求数列的前项和为
故；
（3）由题意可得，
由，得，
所以对恒成立，
令，则
当时，，当时，，当时，，
所以最大，
所以．
16．；证明见解析
【分析】根据递推关系先求前四项，再猜想数列的通项，验证基础成立，证明递推成立即可.
【详解】因，当时，由可得，因，故；
当时，，即，即，故；
当时，即，即，故；
当时，，即，
即，故.
由，，，，可猜测.
证明如下：
当时，猜想成立；
设当（）时，猜想成立，即；
则当时，依题意，①，②
由①-②，可得，，即，
即，因，故得，即猜想也成立.
综上，由数学归纳法就可以断定对任何正整数都成立，这就是该数列的通项公式．