第四章 指数函数和对数函数 单元练习（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数和对数函数 单元练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．若，，则（ ）
A．24 B．12 C． D．
2．不论取何正实数，函数 恒过点（　　）
A． B． C． D．
3．①，则；
②“”是“”一个必要非充分条件；
③若，则；
④若且，，，且则.
以上四个命题，其中真命题的数量是（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．若函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且函数在内仅有一个零点，则的符号是（ ）
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定
6．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知函数，，，，下列选项中正确的有（ ）
A．函数、、都是偶函数
B．若且，则
C．若且，则+=1
D．若，则
8．（多选），下列运算（化简）中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
9．设x、y均为正实数，且，则的最小值为 .
10．大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则 .
11．函数的定义域为
12．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
13．已知关于的不等式的解集为．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)关于的方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围．
14．已知函数为奇函数.
(1)求a的值；
(2)求满足的x的取值范围.
15．（1）设，求的解集.
（2）已知，.求的值.
16．已知是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求的解析式.
(2)若，求的取值范围.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B B D C CD ABD
1．A
【分析】利用分数指数幂运算法则得到答案.
【详解】.
故选：A
2．A
【分析】令指数部分为，计算出对应以及，则定点坐标可知.
【详解】令，则，，
所以恒过定点，
故选：A.
3．B
【分析】根据不等式性质判断①，根据充分不必要条件定义判断②，根据集合间关系判断③，根据对数的概念判断④.
【详解】，则,①正确；
“可以得出“”， “”不可以得出“,则“”是“”的一个充分不必要条件，则②错误；
若，则，③正确；
若且，，，且，取则没有意义，④错误；
故选：B.
4．B
【分析】用对数函数的单调性比大小即可.
【详解】因为在定义域上都是单调递增函数，
所以，即.
故选：B
5．D
【分析】利用零点存在定理、特例法判断即可得出结论.
【详解】因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线，
且函数在内仅有一个零点，
若函数在上单调，则；
不妨取，则函数在只有唯一的零点，但；
取，则函数在只有唯一的零点，但.
因此，的符号不能确定.
故选：D.
6．C
【分析】借助指数函数与对数函数的单调性借助中间量比较即可得.
【详解】，，，
故，故.
故选：C.
7．CD
【分析】首先求出、、的解析式，再对各选项一一计算即可判断；
【详解】因为，，，，
所以，，，
所以的定义域为，不关于原点对称，故不具有奇偶性，故A错误；
当时，，即，即，
同理可得，所以，
当时，，故B错误；
当，即，
所以或，解得，（且），
，故C正确；
设，
因为，
所以，当时，则，，，，
所以，，，则
当时，同理可知，，故D正确.
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：解决本题D选项的关键在于，解出、、、的值进行求解.
8．ABD
【分析】根据分数指数幂的运算法则，对四个选项分别计算、求值，从而得解．
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：ABD．
9．25
【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性及基本不等式求出最小值.
【详解】正数满足，则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为25.
故答案为：25
10．
【分析】利用对数的运算法则计算即可.
【详解】根据题意可得，，
两式相减得，所以，
所以，所以.
故答案为：.
11．
【分析】根据对数函数以及根式的性质即可求解.
【详解】由题可得，解得，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
12．且.
【分析】因式分解得到或，画出，数形结合得到且，求出答案.
【详解】，
解得或，
画出及，的图象，如下：
其中，随着的增大，无限接近于直线，
故要想有4个不同的实根，
则需且，解得且.
故答案为：且.
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）解一元二次不等式得解.
（2）分，两类讨论，当时，利用二次不等式恒成立列出不等式组求解.
（3）根据一元二次方程的根的分布列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）当时，原不等式为，即，
可得，解得，
即x的取值范围为.
（2）当时，解得或，
若，则的解为，不符合题意，
若时，原不等式为，解为，符合题意.
当时，不等式的解集为，则需满足，
化简可得，解得或.
综上，实数k的取值范围.
（3）依题意，关于的方程有一个正根和一个负根，
设，
则，即，
解得，所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：
二次不等式的因式分解：利用因式分解的方法，结合符号讨论来求解不等式.
根的分布与参数讨论：通过二次方程的根的正负性，结合函数符号来确定参数范围.
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）先求出函数的定义域，再结合对数的运算性质及对数函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，
则，
即，
则.
（2）由（1）知，，
由，解得，即函数的定义域为，
由，，
即，
即，
即，
则，解得，
又，则，
即x的取值范围为.
15．（1）；（2）
【分析】（1）利用零点分段法分类讨论，将绝对值符号去掉，转化为关于的一元一次方程，分别计算可得；
（2）根据指数与对数的关系、对数的运算性质及换底公式计算可得.
【详解】（1）当时，方程可化为，解得（舍去）；
当时，方程可化为，即恒成立；
当时，方程可化为，解得（舍去）；
当时，方程可化为，解得（舍去）；
综上可得方程的解集为.
（2）因为，，
所以，，
则
.
16．(1)
(2)
【分析】（1）先分析，当时，可知，根据时的函数解析式以及奇偶性可求的解析式；
（2）先分析的单调性，然后将函数值关系转化为自变量关系，由此可求解出结果.
【详解】（1）当时，，满足的情况，
当时，，则，因为是奇函数，所以，
综上所述，.
（2）当时，，显然在上单调递增，
当时，，因为在上单调递减，所以在上单调递增，
又因为时，与的取值均为，
所以为上的单调递增函数，
又因为，所以，解得，
所以不等式的解集为.