第五章一元函数的导数及其应用 单元检测（含解析）-2024-2025学年高二上学期人教A版（2019）选择性第一册

第五章 一元函数的导数及其应用 单元检测-2024-2025学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一、单选题
1．若函数在处的导数等于，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．2a
2．已知函数关于点中心对称，则曲线在点，处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．，若，则等于（ ）
A． B．1 C． D．
4．函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列选项正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知函数在上有且仅有4个零点，则（ ）
A．
B．令，存在，使得为偶函数
C．函数在上可能有3个或4个极值点
D．函数在上单调递增
三、填空题
9．设曲线在处的切线与直线垂直，则
10．已知：当无穷大时，的值为，记为.运用上述结论，可得 .
11．设函数，其中.若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为 .
12．已知且，设函数的导函数为，且，当时，实数的取值范围是 .
四、解答题
13．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2).
（i）当时，求的最小值；
（ii）若在上恒成立，求的取值范围.
14．函数的导数记作，即；同时，在区间上的导数为.若在区间上，，则称函数具有性质.若函数的导数为，且函数具有性质，则对于，有，等号当且仅当是线性函数时成立.若函数具有性质，且存在常数m，，使得.
(1)证明：具有性质.
(2)证明：（i）；
（ii）.
(3)当，时，函数具有性质，求证：
15．若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线.
(1)判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；
(2)若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由；
(3)对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由.
16．若变量满足：，且，其中且，则称是的“型函数”.
(1)已知是的“2型函数”，求该函数在点处的切线方程；
(2)已知是的“型函数”.
（i）求的最小值；
（ii）求证：.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B D B B ABC ABD
1．D
【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解.
【详解】.
故选：D.
2．D
【分析】由题意结合函数图象变换整理新函数，利用对称性可得其奇偶性，根据导数与切线斜率的关系，可得答案.
【详解】因为关于点中心对称，
所以函数为奇函数，
则，即，且为奇函数，所以，解得，
故，且，故切线斜率为.
故选：D.
3．B
【分析】求函数的导函数，由条件列方程求.
【详解】由题意可得：，
若，即，
则，解得．
故选：B．
4．D
【分析】设切点P的横坐标为（），先根据导数几何意义列方程组，可得，再根据导数求其单调性，根据单调性确定其解，最后根据点斜式求切线方程.
【详解】由，，
则，，
设切点P的横坐标为（），则根据题意可得，
得，即，
设，，
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，又，
所以方程有唯一解，
所以切点P坐标为，切线斜率，
则切线方程为.
故选：D.
5．B
【分析】求导，根据在区间上有极值，由在区间上有不等根求解.
【详解】解：因为，
所以，
因为函数在区间上有极值，
所以在区间上有变号根，
即在区间上有变号根，
令，则，
令，得或（舍去），
当时，，递减；
当时，，递增；
所以当时，取得极小值，又，，
所以，则，
又当时，，
递增，无极值，
所以实数的取值范围是，
故选：B
6．B
【分析】由题设易得，整理题设为，设，，结合导数分析函数的单调性，进而转化问题为在上恒成立，设，，进而结合导数分析的单调性，进而求解即可.
【详解】由题设，显然，由，
即，即，
设，，则，
而，则函数在上单调递减，所以，
即在上恒成立，即在上恒成立，
设，，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，
又，所以a的取值范围是.
故选：B.
7．ABC
【分析】对于ABC，由基本初等函数的导数公式即可判断；对于D，由复合函数的求导法则即可求出函数的导函数，从而得解.
【详解】对于A，，则，故A正确；
对于B，，则，故B正确；
对于C，，则，故C正确；
对于D，，则，故D错误.
故选：ABC.
8．ABD
【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到，根据在上有且仅有4个零点，可确定，进而解得，再根据其范围结合函数图象和平移知识等逐一判断即可.
【详解】
对于A， ，， 因为在上有且仅有4个零点，
所以，解得，∴，故A正确；
对于B，，
为偶函数，则，即，
∵∴取，为偶函数,满足题意，故B正确；
对于C，，，
∵，，
∴函数在上可能有4个或5个极值点， 故C不正确；
对于D，若，则，
∵，∴，
∴函数在上单调递增. 故D正确；
故选：ABD.
9．1
【分析】由直线的斜率求出切线的斜率，导函数在切点处的值即为切线斜率，建立等式，求得的值.
【详解】直线的斜率，
∵切线与直线垂直，∴切线的斜率，
，当时，，∴，
故答案为：1.
10．.
【分析】利用换元法和对数运算性质将所求式子化简为的结构，即可求得.
【详解】令，则，，则，
因为，
则.
故答案为：.
11．
【分析】根据不等式恒成立的等价形式，先求得的最小值，然后分离常数得恒成立，令求其最大值，从而得到的取值范围，进而求得最小值.
【详解】依题意，当时，不等式恒成立，等价于，
对于，当时，，，，
当时，，，，
当且仅当时，，
当时，，即，
令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
，
，的最小值为.
故答案为：
12．
【分析】根据已知求导函数，再构造新函数，应用，两种情况分类讨论求出参数即可.
【详解】，且，
令，，
若时，单调递增，则若，则单调递减，单调递增，
因为存在，所以单调递增，单调递减，单调递增，
因为所以分别为的极大值点和极小值点，不合题意；
若时，单调递减，若，则，单调递增，单调递减，
因为存在，所以，，
即，故，所以，
单调递减，单调递增，单调递减，
因为所以分别为的极小值点和极大值点，符合题意；
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是分类讨论后求解，得出，对的计算求解.
13．(1)在上单调递减，在上单调递增.
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）求出，就、分类讨论后可得函数的单调性.
（1）（i）求出，讨论其符号可得函数的最小值；
（ii）求出函数的三阶导数得该函数恒为正，从而就、分类讨论二阶导数的符号可得的增减性，故可得时不等式恒成立.
【详解】（1），
若，则，
故当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若，则，而，
若在上恒成立，
故同理可得在上单调递减，在上单调递增；
综上，在上单调递减，在上单调递增.
（2）,
当时，，
则，其中，
因在上为增函数，且当时，，
故当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
故.
（ii），
设，则，
设，
则当时，，
故在为增函数，故，
若，则即在上恒成立，
故即在上为增函数，故，
故在上为增函数，故恒成立.
若，，
而，故在上有且只有一个零点，
且当时，，
故在为减函数，故时，，
故在为减函数，故时，，
这与题设矛盾，
综上，.
【点睛】思路点睛：含参数的不等式恒成立问题，注意结合端点效应分类讨论，有时需要多次求导讨论各阶导数的符号，从而得到上阶导数的单调性，注意两者之间的对应性.
14．(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）构造函数，再求导，结合新概念证明即可；（2）运用前问的证明结论，记函数，其导数为.结合新概念，逐个计算证明即可；
（3）构造辅助函数，求导，
得到具有性质.
记函数，其导数为，
证明得到，
取，，，，可得结论.
【详解】（1）因为，
所以，
（因为），
故具有性质.
（2）由（1）得，具有性质.
记函数，其导数为.
（i）由得，
，
可得，，
得.
（ii）由得，，
得.
（3）构造辅助函数，
则，
（因为），
故具有性质.
记函数，其导数为，
由得，
，
得，
又，所以，
取，，，，可得，.
15．(1)存在，理由见解析；
(2)是，；
(3)答案见解析.
【分析】（1）由定义结合三角函数图像得到“双夹线”；
（2）利用导函数等于斜率，求出的切点坐标，验证切点个数，在用作差法得出函数图像在两直线之间，由定义得出；
（3）由（2）的思路可知令即可找到切线方程及切点坐标，再由作差法验证函数在这两条直线之间，由定义得出及其范围.
【详解】（1）曲线：，由正弦函数的图像可知：和为曲线的一对“双夹线”，故曲线是存在“双夹线”.
（2）曲线：，
，令，即，
时，，点是曲线与的一个切点；
时，，点是曲线与的一个切点；
∴直线与曲线至少存在两个切点，
同理可得时，，点是曲线与的一个切点；
时，，点是曲线与的一个切点；
∴直线与曲线至少存在两个切点，
令，，
则，，
∴和是函数的一对“双夹线”，
.
（3），则，
∵，当时，，则过点的切线方程为：，
当时，，过点的切线方程也为：，
∴直线与至少存在两个切点；
同理可得，直线与相切于点和，
∴直线与至少存在两个切点；
令，，
则，
，
∴在两条直线之间，
故对于任意的正实数，函数都存在“双夹线”，
，
的所有取值构成的集合.
【点睛】方法点睛：本题出现的一个新的定义，根据定义先通过导函数与直线斜率相等找到至少两个切点坐标，再由作差法判定曲线一点在两条直线之间.
16．(1)
(2)（i）（ii）证明见解析
【分析】（1）根据函数的新定义可得到结果；
（2）（i）根据函数的新定义以及基本不等式可求得最值；（ii）根据以及得到有关的一个函数，根据导函数判断单调区间，求最值，可证明不等式.
【详解】（1）由题意，有，得，
有，有，
则，
有，故该函数在点处的切线方程为，
即；
（2）因为是的“型函数”，所以，
由，有.
（i），
当且仅当
即时“”成立.
（ii）由，有，
记
由，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
因此，有
这也就证明了.
【点睛】本题考查了新定义函数，结合基本不等式以及函数的导函数求解：
（1）对得到的函数求导，得到导函数；
（2）令导函数为零，可得到极值点；
（3）根据极值点以及定义域判断单调性的区间，求得最值.