第一章 空间向量与立体几何 同步练习卷（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修一

第一章空间向量与立体几何同步练习卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
一、单选题
1．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A．5 B． C． D．
2．在正方体中，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知空间向量，若向量共面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点，则点到平面AEF的距离为（ ）
A． B．2
C． D．
5．已知，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．若空间向量满足，则与夹角为钝角
D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为
8．在平行六面体中，与向量相等的向量有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ．
10．在四面体中，空间的一点满足．若，，，四点共面，则 ．
11．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当 时，的长最小.
12．如图所示，在几何体中，平面，平面，，，又，，则平面与平面夹角的余弦值为 ．

四、解答题
13．如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，，分别为，的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
14．如图，，坐标原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，．

(1)求向量的坐标；
(2)求与的夹角的余弦值．
15．如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且.若，，.

(1)用，，表示；
(2)用，，表示.
16．在平行六面体中，，，是的中点.
(1)求的长；
(2)求.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A A A D ABD BD
1．C
【分析】根据及数量积的运算律求出，即可得解.
【详解】因为，
所以
，
所以，即线段的长为.
故选：C
2．B
【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.
【详解】.
故选：B
3．A
【分析】利用空间向量基本定理求解.
【详解】显然不共线，故可设，即，
从而，，，故.
故选：A.
4．A
【分析】建系标点，求平面AEF的法向量，利用空间向量求点到面的距离.
【详解】如图所示，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面AEF的法向量为，则，
令，则，可得，
所以点到平面AEF的距离.
故选：A.
5．A
【分析】根据三向量共面，设，从而得到方程组，求出答案.
【详解】三向量共面，设，
故，
即，解得.
故选：A
6．D
【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于基向量、、的表达式
【详解】连接，因为为的重心，则，如下图所示：
因为为的中点，则，
所以，，
所以，
.
故选：D.
7．ABD
【分析】A项由空间向量的模为实数可知；B项由系数和为，整理变形为，由平面向量基本定理可知共面；C项由两向量共线且反向情况可判断；D由单位向量与投影向量的定义可得.
【详解】A项，空间向量不能比较大小，
而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确；
B项，由可得，
则，
即，故四点共面，故B正确；
C项，若与为两非零向量，共线且反向时，，
此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误；
D项，方向上与方向相同的单位向量为 ，
由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确.
故选：ABD.
8．BD
【分析】根据平行六面体的结构特点直接判断出结果.
【详解】如图，在平行六面体中，与相等的向量有，
故选：BD.

9．
【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得.
【详解】在四面体中，不共面，
因为，所以，
若、、、四点共面，则,
所以.
故答案为：.
10．3
【分析】根据空间向量的基本定理建立方程，解之即可.
【详解】由题意知，，
根据四点共面的充要条件可得，解得．
故答案为：
11．
【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，求出，两点的坐标，再利用空间两点间的距离公式，即可求出结果.
【详解】因为面面，又面面，
，面，
所以面，又，
如图，以为原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系，
则，
又，则，得到，
同理可得，
所以，
又，所以当时，的长最小，最小值为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：立体几何中的距离问题，一般的思路是建立空间直角坐标系，利用向量法来求解.
12．
【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，进而求出两个面所成角的余弦值.
【详解】如图，平面内，过点作的垂线交于，
以为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵，∴，又，
∴点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为，
则有，，，，
设平面的法向量为，
∵，，
∴，取，得平面的一个法向量为，
又，设平面SAB的法向量为，
，即令，则，
∴.
故平面与平面夹角的余弦值是.
故答案为：.
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明，结合线面平行判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到线面角的正弦值．
【详解】（1）连接，

在中，因为，分别为，的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）建立空间直角坐标系，

则，，，，，
因此，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
所以．
14．(1)
(2)
【分析】（1）过点作于点，根据题意求出点的坐标，从而能求的坐标；
（2）求出的坐标，根据公式计算即可求解.
【详解】（1）过点作于点，由题意，，
则，
，
所以，

因为，是的中点，所以，
所以.
（2），所以，
，所以，，
所以，
则与的夹角的余弦值为.
15．(1)
(2)
【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算计算即可.
【详解】（1）；
（2）因为，所以，
因为，所以，
则.
16．(1)
(2)4
【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解；
（2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解.
【详解】（1）连接，
，
，
，
，
，
∴，即的长为.
（2），
∴
.