第一章 预备知识 综合测试（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章《预备知识》综合测试-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册
一、单选题
1．设是全集的两个子集，，则下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列关系中错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．“或”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知都是实数，则下列命题中，真命题是（ ）
A．若，则． B．若，则．
C．若，则． D．若，则．
5．下列不等式：①；②；③；④；解集为的不等式的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品浓度随时间的变化关系为，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
二、多选题
7．下面表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列四个结论中正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．若“，”为假命题，则
C．设，，则“”的充分不必要条件是“”
D．{是无理数}，是无理数
三、填空题
9．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ．
10．“”是“”的 条件．
11．已知，则的最小值为 .
12．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ．
四、解答题
13．求下列不等式或不等式组的解集：
(1)；
(2)
14．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求，的最小值；解：利用平均值不等式，得到，于是，且等号当且仅当时成立；所以当且仅当时取到最小值；
(1)请你模仿例题，研究，的最小值；（提示：）
(2)研究，的最小值；
(3)求出当时，，的最小值.
15．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16．设全集为，集合，集合.
(1)求.
(2)求.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D D C D BD AD
1．C
【分析】根据子集、补集、并集、交集的知识来求得正确答案.
【详解】依题意，是全集的两个子集，，
A选项，，所以A选项错误.
B选项，，所以B选项错误.
C选项，，所以C选项正确.
D选项，，所以D选项错误.
故选：C
2．C
【分析】由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断4个选项即可.
【详解】空集是任何非空集合的真子集，所以，A正确；
有理数集的补集为无理数集，所以，B正确；
正整数集不包括元素0，所以，C错误；
表示自然数集，表示整数集，所以，D正确．
故选:C．
3．D
【分析】根据集合的关系即可判断.
【详解】解：因为集合是集合或的真子集，其余均不满足，
所以“”是“或”的一个充分不必要条件.
故选：D
4．D
【分析】特殊值验证A，B，C；不等式性质验证D.
【详解】对于A，若时，不成立，故A错误；
对于B，若时，不成立，故B错误；
对于C，若时，无意义，不成立，故C错误；
对于D，因为，所以，所以成立，故D正确.
故选：D
5．C
【分析】根据时即可判定①，根据二次的性质即可求解②，根据绝对值三角不等式的性质即可求解③，根据分式的性质即可求解④.
【详解】对于①，当时，，当且仅当时取等号，
但当时，无意义，故的解集不是，错误，
对于②，，当取到等号，解集为不是，故错误，
对于③，，当时取等号，解集为，故正确；
对于④，由于恒成立，故等价于恒成立，故解集为，正确，
故正确的有③④，
故选：C
6．D
【分析】利用基本不等式可求的最大值.
【详解】由题设，从而，当且仅当时等号成立，
故的最大值为5.
故选：D.
7．BD
【分析】根据元素与集合的关系判断A，根据空集是任何集合的子集判断B，由集合的概念判断C，由空集的概念判断D.
【详解】由元素与集合的关系为属于或不属于，可知错误，故A错误；
由空集是任何集合的子集知，故B正确；
集合不能比较大小，错误，故C错误；
由空集中没有任何元素知，故D正确.
故选：BD
8．AD
【分析】根据含有量词的命题的否定形式，即可判断A，转化为命题的否定，根据命题为真命题，即可求解，判断B，举例说明，并判断CD.
【详解】A.根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可知A正确；
B.由题意可知，命题“”为真命题，即，即，故B错误；
C.，不能推出，例如，，反过来，也不能推出，例如，，是的既不充分也不必要条件，故C错误；
D.是无理数，也是无理数，故D正确.
故选：AD
9．
【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案.
【详解】当时，，符合题意.
当时，.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
10．充分不必要条件
【分析】利用充分条件、必要条件的概念判断即可
【详解】因为，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件
11．27
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】，
当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为27.
故答案为：
12．
【分析】由不等式的解集求出的关系，再把不等式化为可以解答的一元二次不等式，求出解集即可．
【详解】因为不等式的解集为，
所以 和是的两根，且，
所以即，
所以可化为，
所以，
解得.
故答案为：
13．(1)或
(2)或
【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式的求解，解一元二次不等式求得结果.
（2）分别求解绝对值不等式和一元二次不等式，取交集即可.
【详解】（1）由
得等价于，解得或，
故不等式的解集为或，
（2），
由不等式得，解得
由不等式得或，
所以不等式组的解集为或，
14．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据例题，将变形为，再利用求解即可；
（2）根据例题，将变形为，再利用求解即可；
（3）根据例题，将变形为，再利用求解即可；
【详解】（1）因为，模仿例题，利用，
得到，
于是，，
当且仅当时，取得最小值.
（2）因为，利用，
得到，
于是，，
当且仅当时，取得最小值.
（3）因为，且，利用，
得到，
于是，，
当且仅当时，取得最小值.
15．(1)或.
(2)
【分析】（1）根据题意，由集合的运算代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化为是的真子集，然后分与讨论，列出不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）当时，，则或，
且，则或.
（2）由题可知“”是“”成立的充分不必要条件，
则是的真子集，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，实数的取值范围是.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据并集的定义计算可得；
（2）根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】（1）因为集合，集合，
所以；
（2）因为，所以，
则