河北省沧州市献县2024—2025学年高三上学期周考数学试卷11.24（含解析）

高三数学周考试卷 11.24
时间：120分钟 分数：150分
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B.2 C. D.5
3.已知函数是R上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则( )
A.， B.，
C.， D.，
5.五一放假期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻且农场主站在中间，则不同的站法有( )
A.240种 B.192种 C.144种 D.48种
6.已知函数，则，，的大小关系为( )
A. B.
C. D.
7.如图所示，正方体的棱长为1，点E，F，G分别为BC，，的中点，则下列说法正确的是( )
A.直线与直线AF垂直 B.直线与平面AEF平行
C.三棱锥的体积为 D.直线BC与平面AEF所成的角为
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M是双曲线C上一点，点，且，，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知平面内两个单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有( )
A. B.的取值范围为
C.若，则 D.在上的投影向量为
10.（多选）已知函数，则下列说法正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象的一条对称轴方程为
C.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D.函数在区间上单调递增
11.（多选）已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则( )
A.当P为底面的中心时，
B.当时，长度的最小值为
C.当时，长度的最大值为6
D.当时，为定值
12.（多选）已知数列的各项均为负数，其前n项和满足，则( )
A. B.为递减数列
C.为等比数列 D.存在大于的项
13.已知点是圆上任意一点，则的最大值是______________.
14.已知角，为锐角，，，则的值为_________________.
15.已知抛物线的焦点为F，A，B为C上的两点.若直线的斜率为，且，延长，分别交C于P，Q两点，则四边形的面积为____________.
16.已知数列为等差数列，且满足.
(1)若，求的前n项和；
(2)若数列满足，且数列的前n项和，求数列的通项公式.
17.全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为，，，在实践技能考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格互不影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？
(2)这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.
18.如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，Q为棱的中点，
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为，所以故选：D
2.答案：A
解析：，
3.答案：D
解析：函数是R上的奇函数，且当时，，当时，则，又，即，又，，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递增，的图象如下所示：
函数在区间上单调递增，，，即，，，.故选：D.
4.答案：A
解析：根据题意，在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，由于因为，则在更正数据之后，数据的平均数不变，即平均数，不妨设其他48个数据依次为，，…，，所以，
，即，解得.故选：A.
5.答案：B
解析：2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；第二步：相邻女生排在一起有种；
第三步：4名男生排在剩下的位置有种.因此2名女生相邻且农场主站在中间共有种站法.故选：B.
6.答案：B
解析：是偶函数，在上单调递增，令，，则，函数在上单调递减，故，即，而，所以，.故选：B
7.答案：B
解析：A选项：为正方体，所以，直线AF与直线不垂直，所以直线AF与直线不垂直，故A错误；如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
对于B，设平面AEF的法向量为，则，
令，则，因为，所以，所以，
因为在平面AEF外，所以直线与平面AEF平行，所以B正确，
对于C，，所以三棱锥的体积为，所以C错误，
对于D，，，，直线BC与平面AEF所成的角为，，所以D错误，故选：B.
8.答案：A
解析：如图，过点作，延长交于点P，
因为，，，所以，设，则，，因为，所以，所以，在直角三角形中，，所以，即，所以.在三角形中，由余弦定理得，，所以，整理得，所以.
故选：A.
9.答案：AB
解析：A选项，由于，所以，所以A选项正确.
B选项，，，，，所以B选项正确.
C选项，，解得，，所以，所以C选项错误.
D选项，在上的投影向量为，所以D选项错误.故选：AB
10.答案：AC
解析：，
函数的最小正周期为，故A正确；
由，得，故B错误；
由的图象向左平移个单位长度，得，故C正确；
因为，，函数在上不单调，故D错误.故选：AC.
11.答案：BCD
解析：对于A，当P为底面的中心时，由，则，，，故，故A错误；
对于B，当时，
，当且仅当，，取最小值为，故B正确；
对于C，当时，，则点P在及内部，而是以A为球心，以为半径的球面被平面所截图形在四棱柱及内的部分，
当，时，，当，，时，，可得最大值为6，故C正确；
对于D，，，而，所以
，则为定值，故D正确.故答案选：BCD.
12.答案：ABD
解析：对于A选项，当时，由题意可得，因为，所以，，当时，由可得，整理可得，因为，解得，A对；
对于B选项，当时，由可得，上述两个等式作差可得，
因为，即，所以，数列为递减数列，B对；
对于C选项，若数列为等比数列，则，因为，，，则，设等比数列的公比为q，则，解得，不合乎题意，所以，数列不是等比数列，C错；
对于D选项，假设对任意的，，则，
此时，，与假设矛盾，假设不成立，D对.故选：ABD.
13.答案：
解析：由题意可知：圆的圆心为，半径为1，设，可知直线与圆有公共点，则，解得，所以的最大值是为.故答案为：.
14.答案：
解析：因为角、为锐角，所以，又，所以，所以，又，所以.
故答案为：.
15.答案：50
解析：由题可知，抛物线的焦点坐标为.因为直线的斜率为，所以直线的方程为，与抛物线C的方程联立，得，所以.
设，，则，，故.因为，所以，
所以直线的斜率为-2，直线的方程为，与抛物线C的方程联立，得.所以.设，，则，，
故.所以四边形的面积为.故答案为：50.
16.答案：(1)
(2)
解析：(1)当时，由，则，由，则，
所以等差数列的公差为，
即通项公式，
所以前n项和.
(2)当时，，可得，
当时，
，
将代入上式，则，
综上所述，，.
，可得，
由(1)可知，则，
由方程，可得，解得，
由，则等差数列的公差为3，所以，
由，，则.
17.答案：(1)乙的可能性最大
(2)
解析：(1)记甲乙丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件，，，在实践考试中合格依次为，，，则甲乙丙获得执业医师证书依次为，，，并且与，与，与相互独立，
则，，
由于，故乙获得执业医师证书的可能性最大.
(2)由于事件，，彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：，
概率为.
18.答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）连接，再连接，
因为底面是正方形，所以O是的中点，
又Q为棱的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，底面是正方形，即，
故以点A为原点，以向量，，为x，y，z轴的方向向量，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，故，，，设平面的法向量为，则，
令，则，，故，设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.