黑龙江省哈尔滨2024-2025学年高二上学期期中数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省哈尔滨2024-2025学年高二上学期期中数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 631.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-28 07:29:36 | ||
图片预览
文档简介
2023级高二上期中考试
数学试题
一、单选题：本题共8道小题<每个小题5分<共40分．在每小题给出的选项中<只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．直线将圆：平分<且与直线：平行<则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．AA．48 B．24 C．20 D．16
4．如图<圆的半径为定长<是圆内一个定点<是圆上任意一点<线段的垂直平分线与直线相交于点<当点在圆上运动时<点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．圆
5．3D打印是快速成型技术的一种<它是一种以数字模型文件为基础<运用粉末状金属或塑料等可粘合材料<通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒<该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的<已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为<下底直径为<喉部（中间最细处）的直径为<则该塔筒的高为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆<则椭圆上的点到点的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的方程为<过其焦点的直线交抛物线于两点<若<则（ ）
A． B．3 C． D．2
8．已知双曲线：（<）的离心率为<右顶点为<以为圆心<为半径作圆<圆与双曲线的一条渐近线交于<两点<则有（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3道小题<每小题6分<共18分．在每小题给出的选项中<有多项符合题目要求<全部选对的得6分<部分选对的得2分或4分<有选错的得0分．
9．已知方程表示的曲线为C<则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时<曲线C是椭圆
B．当或时<曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆<则
D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线<则
10．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．两圆与的公共弦所在的直线方程为
B．圆：与圆：恰有三条公切线
C．为圆：上的点<则的最大值为25
D．若圆：上有且仅有两个不同点到直线：的距离为1<则的取值范围是
11．已知点是抛物线：上一点<过点P作抛物线：的两条切线PMA．若<则直线MN经过点F B．直线轴
C．点H的轨迹方程为 D．
三、填空题：本题共3道小题<每小题5分<共15分．
12．有4封不同的信投入3个不同的信箱<可有_____________种不同的投入方法．
13．已知是椭圆上的一点<且在轴上方<分别是椭圆的左、右焦点<直线的斜率为<则的面积为_____________．
14．已知点是双曲线左支上一点<是双曲线的左、右两个焦点<且与两条渐近线相交于两点（如图）<点恰好平分线段<则双曲线的离心率是___________．
四、解答题：本题共5道小题<共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知直线<直线<与交于点点．
（1）求线段的垂直平分线的方程；
（2）求过两点<且圆心在直线上的圆的标准方程．
16．（本小题满分15分）
已知是双曲线的一条渐近线<点在上．
（1）求的方程．
（2）已知直线的斜率存在且不经过原点<与交于两点<的中点在直线上．若<的面积为<求的方程．
17．（本小题满分15分）
已知椭圆<四点、、、中恰有三点在椭圆上．
（1）求的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于<两点<若直线与直线的斜率的和为0<求证：的斜率为定值．
18．（本小题满分17分）
已知动圆过定点<且截轴所得的弦长为4．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）过点的直线交的轨迹于两点．
（ⅰ）若点<求的最小值；
（ⅱ）为在轴上的投影<连接与分别交抛物线于<问：直线是否过定点<若存在<求出该定点；若不存在<请说明理由．
19．（本小题满分17分）
如图<已知椭圆<曲线与轴的交点为<过坐标原点的直线与曲线相交于两点<直线<分别与交于点<．
（1）求；
（2）证明：以为直径的圆经过点；
（3）记、的面积分别为、<若<求的取值范围．
2023级高二上期中考试
数学试题答案
1-8．CDAACCCB 9．BD 10．ABC 11．ABD
12．81 13． 14．
15．（1）
因为，所以中点坐标为且．
所以的垂直平分线方程为．
（2）圆心坐标为，半径为．
所以圆的标准方程为．
16．（1）由题可得，
所以的方程为．
（2）（ⅰ）证明：设，
由得，
由题意得，
设中点的坐标为，则
所以．
因为的中点在直线上，所以，即，
因为，所以，故的斜率为定值．
（ⅱ）由（ⅰ）得的方程为，
且，
又点到的距离，
所以，
解得，所以的方程为．
17．（1）由对称性可知和在椭圆C上．
所以
因为
所以不在上，进而在上．
所以．即的方程为．
（2）设し的方程为
则
所以
所以．
所以
所以
所以
因为直线し不经过点
所以
所以．
18．【详解】（1）设动圆圆心为，
到轴距离为，动圆截轴所得半弦长为2，
则，化简得；
所以动圆圆心的轨迹方程为．
（2）
设，当直线斜率存在时，由题易知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，
与的轨迹方程联立得
消去得，
由在抛物线内部，故，所以．
由（1）知，为轨迹的焦点，由抛物线定义得，
所以当时，的最小值为；
当直线斜率不存在时，．
由抛物线定义知．
综上，的最小值为．
（3）情况1、直线斜率不存在时，直伐的方程为．
情况2、直线斜率存在时，设直线的方程为．
设直线的方程为．
所以．则，所以．即
同理．
所以直线CD的方程为
令．则
所以定点为．
19．（1）证明：若直线的斜率不存在，则该直线与轴重合，此时直线与曲线只有一个交点，不合乎题意．
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为．
由得，
设，则是上述方程的两个实根，
于是．
又因为点，
所以，
所以，即，所以为直径的圆经过点．
（2）解：由已知，设的斜率为，则的方程为，
由解得或，则点A的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．
所以，
由得，解得或，
则点的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得点的坐标，
于是，
因此，
当时，即当时，等号成立，
所以，所以的取值范围为．
数学试题
一、单选题：本题共8道小题<每个小题5分<共40分．在每小题给出的选项中<只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．直线将圆：平分<且与直线：平行<则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．A
4．如图<圆的半径为定长<是圆内一个定点<是圆上任意一点<线段的垂直平分线与直线相交于点<当点在圆上运动时<点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．圆
5．3D打印是快速成型技术的一种<它是一种以数字模型文件为基础<运用粉末状金属或塑料等可粘合材料<通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒<该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的<已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为<下底直径为<喉部（中间最细处）的直径为<则该塔筒的高为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆<则椭圆上的点到点的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的方程为<过其焦点的直线交抛物线于两点<若<则（ ）
A． B．3 C． D．2
8．已知双曲线：（<）的离心率为<右顶点为<以为圆心<为半径作圆<圆与双曲线的一条渐近线交于<两点<则有（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3道小题<每小题6分<共18分．在每小题给出的选项中<有多项符合题目要求<全部选对的得6分<部分选对的得2分或4分<有选错的得0分．
9．已知方程表示的曲线为C<则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时<曲线C是椭圆
B．当或时<曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆<则
D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线<则
10．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．两圆与的公共弦所在的直线方程为
B．圆：与圆：恰有三条公切线
C．为圆：上的点<则的最大值为25
D．若圆：上有且仅有两个不同点到直线：的距离为1<则的取值范围是
11．已知点是抛物线：上一点<过点P作抛物线：的两条切线PM
C．点H的轨迹方程为 D．
三、填空题：本题共3道小题<每小题5分<共15分．
12．有4封不同的信投入3个不同的信箱<可有_____________种不同的投入方法．
13．已知是椭圆上的一点<且在轴上方<分别是椭圆的左、右焦点<直线的斜率为<则的面积为_____________．
14．已知点是双曲线左支上一点<是双曲线的左、右两个焦点<且与两条渐近线相交于两点（如图）<点恰好平分线段<则双曲线的离心率是___________．
四、解答题：本题共5道小题<共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知直线<直线<与交于点点．
（1）求线段的垂直平分线的方程；
（2）求过两点<且圆心在直线上的圆的标准方程．
16．（本小题满分15分）
已知是双曲线的一条渐近线<点在上．
（1）求的方程．
（2）已知直线的斜率存在且不经过原点<与交于两点<的中点在直线上．若<的面积为<求的方程．
17．（本小题满分15分）
已知椭圆<四点、、、中恰有三点在椭圆上．
（1）求的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于<两点<若直线与直线的斜率的和为0<求证：的斜率为定值．
18．（本小题满分17分）
已知动圆过定点<且截轴所得的弦长为4．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）过点的直线交的轨迹于两点．
（ⅰ）若点<求的最小值；
（ⅱ）为在轴上的投影<连接与分别交抛物线于<问：直线是否过定点<若存在<求出该定点；若不存在<请说明理由．
19．（本小题满分17分）
如图<已知椭圆<曲线与轴的交点为<过坐标原点的直线与曲线相交于两点<直线<分别与交于点<．
（1）求；
（2）证明：以为直径的圆经过点；
（3）记、的面积分别为、<若<求的取值范围．
2023级高二上期中考试
数学试题答案
1-8．CDAACCCB 9．BD 10．ABC 11．ABD
12．81 13． 14．
15．（1）
因为，所以中点坐标为且．
所以的垂直平分线方程为．
（2）圆心坐标为，半径为．
所以圆的标准方程为．
16．（1）由题可得，
所以的方程为．
（2）（ⅰ）证明：设，
由得，
由题意得，
设中点的坐标为，则
所以．
因为的中点在直线上，所以，即，
因为，所以，故的斜率为定值．
（ⅱ）由（ⅰ）得的方程为，
且，
又点到的距离，
所以，
解得，所以的方程为．
17．（1）由对称性可知和在椭圆C上．
所以
因为
所以不在上，进而在上．
所以．即的方程为．
（2）设し的方程为
则
所以
所以．
所以
所以
所以
因为直线し不经过点
所以
所以．
18．【详解】（1）设动圆圆心为，
到轴距离为，动圆截轴所得半弦长为2，
则，化简得；
所以动圆圆心的轨迹方程为．
（2）
设，当直线斜率存在时，由题易知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，
与的轨迹方程联立得
消去得，
由在抛物线内部，故，所以．
由（1）知，为轨迹的焦点，由抛物线定义得，
所以当时，的最小值为；
当直线斜率不存在时，．
由抛物线定义知．
综上，的最小值为．
（3）情况1、直线斜率不存在时，直伐的方程为．
情况2、直线斜率存在时，设直线的方程为．
设直线的方程为．
所以．则，所以．即
同理．
所以直线CD的方程为
令．则
所以定点为．
19．（1）证明：若直线的斜率不存在，则该直线与轴重合，此时直线与曲线只有一个交点，不合乎题意．
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为．
由得，
设，则是上述方程的两个实根，
于是．
又因为点，
所以，
所以，即，所以为直径的圆经过点．
（2）解：由已知，设的斜率为，则的方程为，
由解得或，则点A的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．
所以，
由得，解得或，
则点的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得点的坐标，
于是，
因此，
当时，即当时，等号成立，
所以，所以的取值范围为．