湖南省永州市祁阳2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖南省永州市祁阳2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-28 07:34:23 | ||
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文档简介
2024-2025学年祁第一学期期中考试试题
高三数学
2024.11.13
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则复数的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3. 已知和的夹角为，且，则（ ）
A. 9 B. C. 3 D. 9
4.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知，都是锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
6. 设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（ ）
A. 的周期为2 B. 图象关于直线对称
C. 为偶函数 D. 为奇函数
8. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时在区间上的零点个数为（ ）
A. 466 B. 467 C. 932 D. 933
二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．不共线，且，则.
B．若向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是
C．已知，则在上的投影的坐标为
D．已知点为的垂心，则
10．某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（ ）
A．第一次投篮的人是甲的概率为
B．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为
C．第二次投篮的人是甲的概率为
D．设第次投篮的人是甲的概率为，则
11. 如图，圆锥的底面直径和母线长均为6，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（ ）
A. 当时，直线与所成角余弦值为
B. 当时，四面体的体积为
C 当且面时，
D. 当时，
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：，则这组数据的第75百分位数是 .
13．已知，且，则 .
14．设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为______．
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（本题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形且垂直于底面.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
16．（本题满分15分）
在中，内角，，的对边分别为，，，．
（1）求；
（2）若角的平分线交边于点，，求面积的最小值．
17．（本题满分15分）
在数列中，，其前n项和为，且（且）.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
18．（本题满分17分）
己知函数．
（1）当时，判断在上的单调性，并说明理由；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）设，在的图像上有一点列，直线的斜率为，求证：．
19．（本题满分17分）
已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程：
（2）设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．
（i）若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标：
（ii）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．
2024-2025学年祁阳第一学期期中考试试题 2024.11
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．C 7．D 8．B
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9． BD 10．BCD 11．ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．87.5 13．2或64 14．2
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
解：（1）证明：如图所示，取中点，为等边三角形，， …………..2分
又面垂直于底面，交线为，
得面， …………..3分
又面. …………..4分
底面为直角梯形，，，
，，，
所以，，，
所以，得， …………..5分
又，得面，面，所以. …………..6分
（2）由（1）知面，
不妨设，则，
以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系， …………..7分
得，，，… …………..8分
，，； …………..9分
设平面的一个法向量为，
则，，
可取； …………..10分
设平面的一个法向量为，
则，即，
可取. …………..11分
设平面与平面夹角为，
则， …………..12分
所以平面与平面夹角的正弦值为. …………..13分
16．（本小题满分15分）
解：（1）因为，
由正弦定理得， …………..2分
则，
即， …………..4分
又，所以，所以，
又，所以， …………..6分
所以，所以； …………..7分
（2）如图，由题意及第（1）问知，，
且， …………..8分
∴，
∴，化简得，
∵，，∴由基本不等式得， …………..10分
∴， …………..11分
当且仅当时，等号成立， …………..12分
∴， …………..13分
∴， …………..14分
故的面积的最小值为. …………..15分
17．（本小题满分15分）
（1）因为，代入，
整理得， …………..2分
所以， …………..4分
以上个式子相乘得，
. …………..6分
当时，，符合上式，所以. …………..7分
（2）. …………..9分
所以，① ………….10分
，② ………….11分
①②得，
， …………..12分
所以. …………..13分
由得：，
因为，当且仅当时，等号成立， …………..14分
所以，即的取值范围是. …………..15分
18．（本小题满分17分）
解：（1）在上单调递减，理由如下：
当时，， …………..1分
，，…..2分
所以函数在上单调递减，
当时，，所以， …………..3分
所以，所以在上单调递减. …………..4分
（2）当时，恒成立①，
当时，②，
，设， …………..5分
时，
，设， …………..6分
当时，，
， …………..7分
要使①恒成立，由于②，则需恒成立，
所以恒成立，所以，. …………..8分
此时，
在上单调递增，，
在上单调递增，，
在上单调递增， …………..9分
使得恒成立.
综上所述，的取值范围是. …………..10分
（3）由（2）可知，当，时，恒成立，
即时，恒成立， …………..12分
下证：，
时，
， …………..13分
由上述分析可知，，即，则，
所以
， …………..15分
，即得证. ...17分
19．（本小题满分17分）
解：（1）由题意得，解得…………3分
椭圆的标准方程为… ………4分
（2）（i）由（1）可得，
连接，因为，，
所以，
， …………5分
，所以， …………6分
所以直线的方程为， …………7分
联立，解得或（舍去），
. …………8分
（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为：， ……9分
又，，直线的方程为，
由，解得，
所以…………11分
由，得，
由，
则，所以， …………12分
则，
， …………13分
依题意、不重合，所以，即，
所以，
直线的方程为， …………14分
令即，解得，
， …………15分
， …………16分
为定值. …………17分
高三数学
2024.11.13
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则复数的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3. 已知和的夹角为，且，则（ ）
A. 9 B. C. 3 D. 9
4.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知，都是锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
6. 设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（ ）
A. 的周期为2 B. 图象关于直线对称
C. 为偶函数 D. 为奇函数
8. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时在区间上的零点个数为（ ）
A. 466 B. 467 C. 932 D. 933
二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．不共线，且，则.
B．若向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是
C．已知，则在上的投影的坐标为
D．已知点为的垂心，则
10．某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（ ）
A．第一次投篮的人是甲的概率为
B．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为
C．第二次投篮的人是甲的概率为
D．设第次投篮的人是甲的概率为，则
11. 如图，圆锥的底面直径和母线长均为6，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（ ）
A. 当时，直线与所成角余弦值为
B. 当时，四面体的体积为
C 当且面时，
D. 当时，
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：，则这组数据的第75百分位数是 .
13．已知，且，则 .
14．设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为______．
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（本题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形且垂直于底面.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
16．（本题满分15分）
在中，内角，，的对边分别为，，，．
（1）求；
（2）若角的平分线交边于点，，求面积的最小值．
17．（本题满分15分）
在数列中，，其前n项和为，且（且）.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
18．（本题满分17分）
己知函数．
（1）当时，判断在上的单调性，并说明理由；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）设，在的图像上有一点列，直线的斜率为，求证：．
19．（本题满分17分）
已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程：
（2）设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．
（i）若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标：
（ii）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．
2024-2025学年祁阳第一学期期中考试试题 2024.11
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．C 7．D 8．B
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9． BD 10．BCD 11．ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．87.5 13．2或64 14．2
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
解：（1）证明：如图所示，取中点，为等边三角形，， …………..2分
又面垂直于底面，交线为，
得面， …………..3分
又面. …………..4分
底面为直角梯形，，，
，，，
所以，，，
所以，得， …………..5分
又，得面，面，所以. …………..6分
（2）由（1）知面，
不妨设，则，
以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系， …………..7分
得，，，… …………..8分
，，； …………..9分
设平面的一个法向量为，
则，，
可取； …………..10分
设平面的一个法向量为，
则，即，
可取. …………..11分
设平面与平面夹角为，
则， …………..12分
所以平面与平面夹角的正弦值为. …………..13分
16．（本小题满分15分）
解：（1）因为，
由正弦定理得， …………..2分
则，
即， …………..4分
又，所以，所以，
又，所以， …………..6分
所以，所以； …………..7分
（2）如图，由题意及第（1）问知，，
且， …………..8分
∴，
∴，化简得，
∵，，∴由基本不等式得， …………..10分
∴， …………..11分
当且仅当时，等号成立， …………..12分
∴， …………..13分
∴， …………..14分
故的面积的最小值为. …………..15分
17．（本小题满分15分）
（1）因为，代入，
整理得， …………..2分
所以， …………..4分
以上个式子相乘得，
. …………..6分
当时，，符合上式，所以. …………..7分
（2）. …………..9分
所以，① ………….10分
，② ………….11分
①②得，
， …………..12分
所以. …………..13分
由得：，
因为，当且仅当时，等号成立， …………..14分
所以，即的取值范围是. …………..15分
18．（本小题满分17分）
解：（1）在上单调递减，理由如下：
当时，， …………..1分
，，…..2分
所以函数在上单调递减，
当时，，所以， …………..3分
所以，所以在上单调递减. …………..4分
（2）当时，恒成立①，
当时，②，
，设， …………..5分
时，
，设， …………..6分
当时，，
， …………..7分
要使①恒成立，由于②，则需恒成立，
所以恒成立，所以，. …………..8分
此时，
在上单调递增，，
在上单调递增，，
在上单调递增， …………..9分
使得恒成立.
综上所述，的取值范围是. …………..10分
（3）由（2）可知，当，时，恒成立，
即时，恒成立， …………..12分
下证：，
时，
， …………..13分
由上述分析可知，，即，则，
所以
， …………..15分
，即得证. ...17分
19．（本小题满分17分）
解：（1）由题意得，解得…………3分
椭圆的标准方程为… ………4分
（2）（i）由（1）可得，
连接，因为，，
所以，
， …………5分
，所以， …………6分
所以直线的方程为， …………7分
联立，解得或（舍去），
. …………8分
（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为：， ……9分
又，，直线的方程为，
由，解得，
所以…………11分
由，得，
由，
则，所以， …………12分
则，
， …………13分
依题意、不重合，所以，即，
所以，
直线的方程为， …………14分
令即，解得，
， …………15分
， …………16分
为定值. …………17分