江苏省无锡市2024-2025学年高二上学期第12周阶段性训练数学模拟练习（含解析）

江苏无锡市2024-2025学年高二（上）数学第12周阶段性训练模拟练习
一．选择题（共5小题）
1．点P（﹣2，﹣1）到直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ为任意实数）的距离的最大值为（　　）
A． B． C．4 D．
2．已知点P在圆O：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4上，点A（﹣3，0），B（0，4），则满足AP⊥BP的点P的个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．如图是一平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1，E为BC延长线上一点，，则＝（　　）
A． B．
C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C的右支上一点，PF1⊥PF2，PF1与y轴交于点M．若|F1O|＝3|OM|（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．y＝±3x
5．椭圆＝1的一个焦点为F，过原点O作直线（不经过焦点F）与椭圆交于A，B两点，若△ABF的面积是20，则直线AB的斜率为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
（多选）6．下列结论正确的是（　　）
A．若直线y＝k（x﹣1）和以M（2，4），N（0，3）为端点的线段有公共点，则k的取值范围为﹣3≤k≤4
B．已知P（a，b）是圆x2+y2＝r2外一点，直线l方程是ax+by＝r2，则l与圆相交
C．圆x2+y2＝4上有且仅有2个点到直线l：2x﹣y+2＝0的距离等于1
D．已知点P（x，y）在圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2上，则可能是2
（多选）7．已知方程（m为实数）表示的曲线C，则（　　）
A．曲线C不可能表示一个圆
B．曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆
C．曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆
D．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线
（多选）8．已知空间三点A（0，x，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则下列结论正确的有（　　）
A．存在唯一的实数x使
B．对任意实数x，A，B，C三点都不共线
C．当x＝1时，与夹角的余弦值是
D．当x＝1时，是平面ABC的一个法向量
（多选）9．关于曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|，下列说法正确的是（　　）
A．曲线C围成图形的面积为4π+8
B．曲线C所表示的图形有且仅有2条对称轴
C．曲线C所表示的图形是中心对称图形
D．曲线C是以（1，1）为圆心，2为半径的圆
（多选）10．已知点P在双曲线C：﹣＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有（　　）
A．点P到x轴的距离为
B．|PF1|+|PF2|＝
C．△PF1F2为钝角三角形
D．∠F1PF2＝
三．填空题（共5小题）
11．已知圆，圆，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为直线x﹣y﹣7＝0上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 　 　．
12．已知正四面体ABCD的每条棱长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则 的值为 　 　．
13．设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若△FOH的内切圆与x轴切于点B，且，则C的离心率为 　 　．
14．已知＝（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，则5a+b＝　 　．
15．已知F1，F2是双曲线C：﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点，点P是双曲线C上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为H，O是坐标原点．若|F1F2|＝6|OH|，则双曲线C的方程为 　 　．
四．解答题（共4小题）
16．已知椭圆的左右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆过点，直线l：y＝kx+m（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若l不过原点且不平行于坐标轴，记线段AB的中点为M，求证：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（3）若OA⊥OB，求△AOB面积的取值范围．
17．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BC＝4，∠ABC＝60°，△PAB是边长为2的等边三角形，PB⊥AC，E是线段PD的中点．
（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）若（0＜λ＜1），是否存在λ，使得平面BEF和平面PAD夹角的余弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知椭圆的长轴AB长为4，离心率为，过点P（﹣4，0）作直线l交椭圆于x轴上方两点M，N，点M在点N左侧，直线AN和BM交于点G．
（1）求点G的横坐标；
（2）若△AGM和△BGN的面积分别记为S1和S2，求的取值范围．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E的焦点为F1（﹣，0），F2（，0），且过点（，），椭圆E的上、下顶点分别为A，B，右顶点为D，直线l过点D且垂直于x轴．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若点Q在椭圆E上（且在第一象限），直线AQ与l交于点N，直线BQ与x轴交于点M，试问：|OM|+2|DN|是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．【解答】解：直线l的方程化为：（3x+y﹣4）λ+x+y﹣2＝0，
令，解得x＝1，y＝1，所以直线过定点A（1，1），
当PA⊥l时，点P（﹣2，﹣1）到直线l的距离的最大值为d＝|PA|＝＝，
故选：B．
2．【解答】解：方法一：由AP⊥BP，知点P在以AB为直径的圆上，
故点P的轨迹为一个圆心为，半径为的圆（不含A，B两点），
则两圆的圆心距为，半径和为 ，半径差为，
则，所以两圆相交，满足这样的点P有2个．
方法二：设点P（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
且，，
由AP⊥BP，得4）＝x2+y2+3x﹣4y＝0，
即，
故点P的轨迹为一个圆心为，半径为 的圆（不含A，B两点）．
则两圆的圆心距为，半径和为 ，半径差为，
则，所以两圆相交，满足这样的点P有2个．
故选：B．
3．【解答】解：如图所示，取BC的中点F，连接A1F，
则A1D1∥FE，且A1D1＝FE，
∴四边形A1D1EF是平行四边形，
∴A1F∥D1E，且A1F＝D1E，
∴＝；
又＝++＝﹣++，
∴＝+﹣．
故选：B．
4．【解答】解：由题意双曲线的图形如图，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，点P是C的右支上一点，
连接PF1与y轴交于点M，若|F1O|＝3|OM|（O为坐标原点），PF1⊥PF2，
可得：，所以m＝3n，
又|PF1|﹣|PF2|＝2a，
所以m＝3a，n＝a，
可得9a2+a2＝4c2＝4a2+4b2，
解得，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±x．
故选：A．
5．【解答】解：椭圆＝1，a＝3，b＝2，c＝5，则的焦点分别为F1和（﹣5，0），F2（5，0），
不妨取F（5，0）．
①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝0，此时AB＝4，
＝AB 5＝×5＝10，不符合题意；
②可设直线AB的方程y＝kx，
联立方程，可得（4+9k2）x2＝180，
∴xA＝6，yA＝，
∴△ABF2的面积为S＝2＝2××5×＝20，
∴k＝±．
故选：A．
二．多选题（共5小题）
6．【解答】解：对于A，因为直线y＝k（x﹣1）恒过定点P（1，0），M（2，4），N（0，3），
＝4，＝﹣3，
直线y＝k（x﹣1）和以M（2，4），N（0，3）为端点的线段有公共点，
所以k≤﹣3或k≥4，故A错误；
对于B，因为点P（a，b）是圆x2+y2＝r2外一点，所以x2+y2＞r2，
直线l方程是ax+by＝r2，圆心到直线l的距离d＝＜r，则l与圆相交，故B正确；
对于C，圆心到直线l的距离d＝＞r＝2，
所以有4个点到直线l的距离等于1，故C错误；
对于D，令k＝，即kx﹣y﹣2＝0，
因为点P（x，y）在圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2上，
所以圆心（1，1）到直线kx﹣y﹣2＝0的距离d＝，即k2+6k﹣7≥0，
解得k≤﹣7或k≥1，所以k＝2符合，故D正确．
故选：BD．
7．【解答】解：对A，若曲线表示圆，则有m＝2m+5＞0，无解，A对；
对BC，若曲线表示椭圆，则有 m＞0，此时2m+5＞m，则曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，C对B错；
对D，若曲线表示双曲线，则有m（2m+5）＜0 ﹣＜m＜0，此时m＜0＜2m+5，此时曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，D对．
故选：ACD．
8．【解答】解：根据题意，A（0，x，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），
则＝（2，2﹣x，0），＝（﹣1，3﹣x，1），＝（﹣3，1，1），
依次分析选项：
对于A，若，则 ＝﹣2+（2﹣x）（3﹣x）＝x2﹣5x+4＝0，解可得x＝1或4，有两解，A错误；
对于B，若A，B，C三点共线，则有＝k，即（2，2﹣x，0）＝k（﹣3，1，1），不存在x满足题意，
即对任意实数x，A，B，C三点都不共线，B正确；
对于C，当x＝1时，＝（2，1，0），＝（﹣3，1，1），则||＝，||＝，
则cos＜，＞＝＝＝﹣，C错误；
对于D，当x＝1时，＝（2，1，0），＝（﹣3，1，1），
，有，故是平面ABC的一个法向量，D正确．
故选：BD．
9．【解答】解：曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|，画出图形，
如图所示：
对于A：S＝4（×2×2+×π×2）＝4π+8，故A正确；
结合图像，显然B错误，C正确，D错误；
故选：AC．
10．【解答】解：由双曲线方程得a＝4，b＝3，则c＝5，
由△PF1F2的面积为20
得 2c |yP|＝10|yP|＝20，得|yP|＝4，即点P到x轴的距离为4，故A错误，
将|yP|＝4代入双曲线方程得|xP|＝，根据对称性不妨设P（，4），
则|PF2|＝＝，
由双曲线的定义知|PF1|﹣|PF2|＝2a＝8，
则|PF1|＝8+＝，
则|PF1|+|PF2|＝+＝，故B正确，
在△PF1F2中，|PF1|＝＞2c＝10＞|PF2|＝，
则＝＝＞0，
则△PF1F2为钝角三角形，故C正确，
cos∠F1PF2＝＝＝
＝1﹣＝1﹣，
则∠F1PF2＝错误，
故正确的是BC，
故选：BC．
三．填空题（共5小题）
11．【解答】解：圆，圆心C1（0，0），半径为1，圆，圆心C2（2，5），半径为2，
设C1（0，0）关于直线x﹣y﹣7＝0的对称点为C3，设C3（x，y），
则，解得，
∴C3（7，﹣7），
∴|PM|+|PN|≥|PC3|﹣1+|PC2|﹣2≥|C2C3|﹣3＝10，
则|PM|+|PN|的最小值为10．
故答案为：10．
12．【解答】解：已知正四面体ABCD的每条棱长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，
如图所示：
取CD的中点，所以AG⊥CD，BG⊥CD，故CD⊥平面ABG，所以CD⊥AB；
故，
所以＝＝＝．
故答案为：﹣．
13．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为：，即bx±ay＝0，
∴F（c，0）到渐近线的距离为，
∴，则直角三角形FOH的内切圆的半径，
如图，设三角形的内切圆与FH切于M，
则，可得，
∴，
即5b＝5a+c，则25b2＝25c2﹣25a2＝c2+10ac+25a2，
所以25a2+5ac﹣12c2＝0，
由，∴12e2﹣5e﹣25＝0，
∵e＞1，∴．
故答案为：．
14．【解答】解：∵l⊥α，
∴，
∴，解得，
∴．
故答案为：36．
15．【解答】解：延长F1H与PF2，交于K，连接OH，
由题意可得PH为边KF1的垂直平分线，
则|PF1|＝|PK|，
且H为KF1的中点，|OH|＝|KF2|，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝|PK|﹣|PF2|＝|F2K|＝2a，
则|OH|＝a，又|F1F2|＝6|OH|，所以2c＝6a，
即c＝3a，b＝＝2a，
又双曲线C：﹣y2＝1，知b＝1，
所以a＝，所以双曲线的方程为8x2﹣y2＝1．
故答案为：8x2﹣y2＝1．
四．解答题（共4小题）
16．【解答】解：（1）因为椭圆C的左右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），
所以c＝2，
此时a2＝b2+4，①
因为椭圆C过点，
所以，②
联立①②，
解得b2＝4或b2＝﹣2（舍去），
则椭圆C的方程为；
（2）证明：不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，
此时Δ＝16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣4）＝8（4+8k2﹣m2）＞0，
解得4+8k2＞m2，
由韦达定理得，，
所以，
因为线段AB的中点为M，
所以点M的坐标为，
即，
此时直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为＝＝﹣，
故直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（3）易知y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝
＝，
若OA⊥OB，
此时，
即，
整理得3m2＝8（k2+1），
即，
而，
易知点O到直线AB的距离，
因为，
所以＝＝
＝＝
＝，
不妨令，
因为k2＞0，
所以，
此时S△AOB＝，
不妨设f（t）＝，函数定义域为（1，2），
由对勾函数和复合函数的单调性可知函数f（t）在上单调递增，在上单调递减，
所以f（t）≤f（）＝2，f（t）＞min{f（1），f（2）}＝min{}＝．
故△AOB面积的取值范围为（，2）．
17．【解答】（1）证明：在△ABC中，由余弦定理知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB BCcos∠ABC＝4+16﹣2×2×4×＝12，
所以AC2+AB2＝BC2，即AC⊥AB，
因为PB⊥AC，且AB∩PB＝B，AB、PB 平面PAB，
所以AC⊥平面PAB，
又AC 平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD．
（2）解：以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，作Az⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，2，0），P（1，0，），E（﹣，，），
所以＝（1，0，），＝（﹣2，2，0），＝（﹣，，），＝（﹣1，0，），＝（﹣1，2，﹣），
所以＝＝＝（﹣1，0，）+λ（﹣1，2，﹣）＝（﹣1﹣λ，2λ，﹣λ），
设平面BEF的法向量为＝（x，y，z），则，即，
取z＝4λ﹣1，则x＝（2λ﹣1），y＝3λ﹣2，所以＝（（2λ﹣1），3λ﹣2，4λ﹣1），
设平面PAD的法向量为＝（a，b，c），则，即，
取c＝1，则a＝﹣，b＝﹣1，所以＝（﹣，﹣1，1），
因为平面BEF和平面PAD夹角的余弦值为，
所以|cos＜，＞|＝＝＝，
整理得，8（26λ2﹣11λ﹣1）＝0，即8（2λ﹣1）（13λ+1）＝0，
解得或，
因为0＜λ＜1，所以，
故存在λ，使得平面BEF和平面PAD夹角的余弦值为，此时．
18．【解答】解：（1）因为椭圆的长轴AB长为4，离心率为，
所以a＝2，e＝＝，所以c＝，
b2＝a2﹣c2＝4﹣3＝1，
所以椭圆的方程为．
设M（x1，y1），N（x2，y2），（x2＞x1，y1＞0，y2＞0），直线l的方程为x＝my﹣4，
由，得（m2+4）y2﹣8my+12＝0，Δ＝64m2﹣4×12（m2+4）＞0，
y1+y2＝，y1y2＝，
x1+x2＝m（y1+y2）﹣8＝﹣8＝﹣，x1x2＝（my1﹣4）（my2﹣4）
＝m2y1y2﹣4m（y1+y2）+16＝﹣+16＝；
直线AN的方程为：y＝（x+2），
因为点M在椭圆上，所以，即4＝4﹣＝（2+x1）（2﹣x1），
所以x1﹣2＝﹣，
直线BM的方程为：y＝（x﹣2）＝﹣（x﹣2），
联立直线AN和BM的方程得：（x+2））＝﹣（x﹣2），
所以（+）x＝2×（﹣），
所以x＝2×＝2﹣，
而4y1y2+（2+x1）（2+x2）＝x1x2+2（x1+x2）+4＝4×+﹣2×+4
＝，所以x＝2﹣＝2﹣＝2﹣3＝﹣1，
即点G的横坐标为﹣1．
（2）＝＝＝＝﹣，
＝＝
＝，
令t＝∈（0，1），
则＝＝＝＝1﹣∈（﹣1，﹣），
∴＝﹣ ∈（，），即的取值范围为（，）．
19．【解答】解：（1）由焦点坐标可知，椭圆的焦点在x轴上，设椭圆C：（a＞b＞0），
记P（，），则|PF1|＝＝，|PF2|＝＝，
于是2a＝|PF1|+|PF2|＝4，则a＝2，
又c＝，所以b ＝a ﹣c ＝4﹣3＝1，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）设Q（x0，y0），由椭圆的方程可知（x0＞0，y0＞0），D（2，0），直线l：x＝2，
则直线AQ：y＝x+1，令x＝2得yN＝+1，
直线BQ：y＝x﹣1，令y＝0得xM＝，
因为点Q在第一象限，所以|DN|＝+1，|OM|＝，
则|OM|+2|DN|＝++2＝+2，
又因为，即x0 +4y0 ﹣4＝0，所以|OM|+2|DN|＝2．