2024-2025学年上海川沙中学高三上学期数学期中试卷及答案（2024.10）（含答案）

川沙中学2024学年第一学期高三年级数学期中
2024.10
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，，则__________．
2．不等式的解集为__________．
3．已知，（其中为虚数单位），则__________．
4．已知二项式展开式中，项的系数为80，则__________．
5．已知一组数据6，7，8，9，的平均数是8，则这组数据的方差是__________．
6．若数列是首项为3，公比为2的等比数列，则该数列前6项的和__________．
7．某船在海平面处测得灯塔在北偏东方向，与相距6.0海里，船由向正北方向航行8.1海里到达处，这时灯塔与船相距__________海里（精确到0.1海里）．
8．已知函数为偶函数，则不等式的解集为__________．
9．在中，三个内角、、所对的边分别为、、，若的面积，，且，则__________．
10．双曲线的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则该双曲线的离心率是__________．
11．已知，，是平面向量，与是单位向量，且，若，则的最小值为__________．
12．已知定义在上的函数存在导数，对任意的实数，都有，且当时，恒成立是，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）
13．若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．设这等差数列，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
16．在正方体中，点，分别是线段，上的点（不为端点），给出如下两个命题：
①对任意点，均存在点，使得；
②存在点，对任意的，均有，则（ ）
A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
三、解答题（本大题共5题，共分）
17．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
（1）求证：；
（2）若，，，求导面直线与所成的角的大小．
18．设，函数，．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，求的值．
19．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足是，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
（i）用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布与数学期望；
（ii）设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率．
20．设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（，），与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点．
（1）用表示点到点的距离；
（2）设，，线段的中点在直线上，求的面积；
（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由．
21．已知函数，．
（1）当时，求的严格增区间；
（2）若恒成立，求的值；
（3）对于任意正整数，是否存在整数，使得不等式成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知，，是平面向量，与是单位向量，且，若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】建立平面直角坐标系，
由已知可设，
因为,所以,
整理得，，所以点在以点为圆心,以1为半径的圆上,又由圆的性质，
得的最小值为
故答案为:.
12．已知定义在上的函数存在导数，对任意的实数，都有，且当时，恒成立是，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由,得,
记,则有,即为偶函数,
又当时,恒成立,所以在上单调递增,
所以由,得,即,
所以,所以,即,解得:,故答案为
二、选择题
13.A 14. A 15.C 16.D
15．设这等差数列，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】依题意,是等差数列不妨设：前三项为
,则故错误
,则故错误
设公差为则:故错误，排除
综上所述,答案选择:
16．在正方体中，点，分别是线段，上的点（不为端点），给出如下两个命题：
①对任意点，均存在点，使得；
②存在点，对任意的，均有，则（ ）
A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
【答案】D
【解析】对于①,如图,连接
在正方体中,有正方形,所以,
又,所以四边形为平行四边形,故确定唯一的平面,
又平面平面,所以
又平面,所以平面
因为平面,所以对任意点,都有,只有与重合才符合题意,与不为端点矛盾,故对任意点,不存在点,使得,故①不正确;
对于②,如图,连接交于,连接由①得平面,
又,,所以四边形为平行四边形,所以,
则平面,因为平面,所以又因为正方形,
所以,又平面平面,所以,
因为平面,所以平面,又平面,
所以,因为平面,所以平面,
又平面,所以于是当点与重合时,存在点,对任意的,均有,故②正确.故选：D.
三．解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）（i） （ii）
20．设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（，），与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点．
（1）用表示点到点的距离；
（2）设，，线段的中点在直线上，求的面积；
（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1） （2） （3）存在，
【解析】(1)方法一:由题意可知：设,则,
方法二：由题意可知：设,由抛物线的性质可知:,
(2),则,,设的中点,,
,则直线方程:,联立,
整理得:解得:(舍去),的面积;
(3)存在,设,
则
直线方程为,
,
根据,
则,解得:
存在以为邻边的矩形,使得点在上,且.
21．已知函数，．
（1）当时，求的严格增区间；
（2）若恒成立，求的值；
（3）对于任意正整数，是否存在整数，使得不等式成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）存在，最小值为3
【解析】(1)当时,,定义域为
,得,所以的严格增区间为.
(2),
①当时,,所以在上单调递增,
又,所以当时,,不符合题意;
②当时,令,得,令,得,
所以在上单调递减,在上单调递增,所以
又所以当时,,不符合题意，所以.综上,.
(3)存在整数m,使得不等式成立.
由(2)知,当时,,即,当且仅当时取等号,
令,得,所以
所以
所以,又,
且m为整数，所以的最小值为3.