人教版九年级数学下名师点拨与训练第26章反比例函数26.1.2 反比例函数图象的性质

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名称 人教版九年级数学下名师点拨与训练第26章反比例函数26.1.2 反比例函数图象的性质
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科目 数学
更新时间 2024-11-28 07:38:21

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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第26章 反比例函数
26.1.2 反比例函数图象的性质
学习目标
1. 能根据解析式画出反比例函数的图象,初步掌握反比例函数的图象和性质.
2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式,进一步理解反比例函数的图象和性质.
3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题.
老师告诉你
反比例函数图像的性质易错点主要包括以下几点:
1.忽视隐含条件 :
错误地认为函数是反比例函数,而实际上它可能不满足反比例函数的定义(即 y = k/x,其中 k ≠ 0)。
2.不区分象限 :
错误地认为反比例函数图像只位于一个象限,而实际上反比例函数的图像是两个分支,分别位于第一、第三象限(当 k > 0)或第二、第四象限(当 k < 0)。
3.函数值的增减性描述错误 :
笼统地说,当 k > 0 时,y 随 x 的增大而减小,忽略了在每一象限内 y 随 x 的增大而减小这一性质。
一、知识点拨
知识点1 、反比例函数的图象画法:
1.反比例函数的图象特征
反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限;反比例函数的图象关于原点对称,永远不会与轴、轴相交,只是无限靠近两坐标轴.
注意
若点()在反比例函数的图象上,则点()也在此图象上,所以反比例函数的图象关于原点对称;
在反比例函数(为常数,) 中,由于,所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴.
2.画反比例函数的图象
(1)列表:自变量的取值应以0为中心,在0的两侧取三对(或三对以上)互为相反数的值,填写值时,只需计算右侧的函数值,相应左侧的函数值是与之对应的相反数;
(2)描点:描出一侧的点后,另一侧可根据中心对称去描点;
(3)连线:按照从左到右的顺序连接各点并延伸,连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交;
【新知导学】
【例1-1】(1)画出函数的图象.
①列表:
x … …
y … …
②描点并连线.
(2)从图象可以看出,曲线从左向右______(填“上升”或“下降”),当由小变大时随之______.(填“变大”或“变小”)
【对应导练】
1.在同一平面直角坐标系中,分别画出函数与的图象.
(1)填写表格:
__ __
__ __
(2)根据表格中的对应值为点坐标,在下图中画出函数图象.
2.在同一坐标系中画两个函数的图象,并回答相关问题:

(1)画出函数的图象;
①由分式有意义可知,函数中自变量x取除_______以外的全体实数,可列如下表,请你填剩余的空.
x 1 1.5 2 3 4 6
y 6 4 3 2 1.5 1
②在坐标系中描点、连线,画函数的大致图象(描上表中剩余的点并连线).
(2)画出函数的图象;
(3)当取x何值时,对于其中x的每一个值,函数的值大于函数的值,直接写出x的取值范围.
知识点2、反比例函数的图象的性质
1 .反比例函数图象的分布是由的符号决定的:当时,两支曲线分别位于第一、三象限内,当时,两支曲线分别位于第二、四象限内.
2 .(1)当时,双曲线的两个分支分别位于第一、三象限,在每个象限内,值随值的增大而减小;
(2当时,双曲线的两个分支分别位于第二、四象限,在每个象限内,值随值的增大而增大;
注意:反比例函数的增减性不是连续的,它的增减性都是在各自的象限内的增减情况,反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的;反过来,由双曲线所在的位置和函数的增减性,也可以推断出的符号.
【新知导学】
【例2-1】.对于反比例函数,下列结论中错误的是( )
A.图象必经过点 B.y随x的增大而减小
C.图象在第二、四象限 D.若,则
【例2-2】.关于反比例函数的图象,下列说法不正确的是( )
A.图象经过点 B.图象关于直线对称
C.当时,随的增大而减小 D.当,则
【例2-3】.一次函数与反比例函数(a,b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象不可能是( )
A. B. C. D.
【例2-4】.如图,同一平面直角坐标系中,抛物线与双曲线的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【例2-5】.反比例函数的图象经过、两点,当时,,则k的取值范围是 .
【对应导练】
1.如图是反比例函数的图象,下列说法正确的是( )

A.常数
B.在每个象限内,随的增大而增大
C.若,在图象上,则
D.若在图象上,则也在图象上
2.对于反比例函数,下列说法正确的是( )
A.图象经过点 B.图象位于第一、三象限
C.y随x的增大而增大 D.当时,
3.已知反比例函数,点和是反比例函数图象上的两点.若对于,,都有,则的取值范围是(  )
A.或 B.且,
C.或 D.且,
4.二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.如图为反比例函数的图象,请写出满足图象的一个的值 .

6.如图,它是反比例函数(为常数,且)图象的一支.
(1)的取值范围为 ;画出图象另一支的示意图;
(2)在这个函数图象上任取点和.若,判断和的大小关系,并说明.
二、题型训练
1.判断函数图像位置
1.函数与在同一坐标系内的图象可能是( )
A. B.
C. D.
2.二次函数(是常数)的图象如图,则双曲线和直线的位置可能为( )
A. B.
C. D.
2.比较函数值大小
3 .关于反比例函数,下列说法正确的是( )
A.图象分布在第二、四象限
B.当时,随的增大而减小
C.图象经过点
D.若点,在图象上,且,则
4.已知反比例函数的图象经过点.
(1)求与之间的函数表达式;
(2)这个函数的图象在哪个象限?在每个象限内,随的增大怎样变化?
(3)点、在这个函数的图象上吗?
5.在平面直角坐标系中,已知反比例函数的图象经过点,当时,求的取值范围.
3.由自变量(函数)取值范围确定函数(自变量取值范围)
6.已知点,是反比例函数图象上两点.请用“”“”或“”填空.
(1)若,,,则_____;
(2)若,,,则______;
(3)若,,,则______;
(4)若,,则______;
变式 反比例函数中,若,,请讨论,的大小情况.
7.反比例函数中,若,,请讨论,的大小情况.
8.已知是的反比例函数,当时,.
(1)求关于的函数解析式;
(2)若,,,是,,,分别是2,8,,时的函数值,请比较大小: , (填“”“”或“”);
(3)若,分别是,的函数值,当时,比较与的大小关系.
三、课堂达标
一、单选题(每小题4分,共32分)
1.关于反比例函数,下列说法中错误的是( )
A.时,y随x的增大而减小 B.当时,
C.当时,y有最大值为 D.它的图象位于第一、三象限
2.若反比例函数的图象在第一、三象限,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知点、都在反比例函数的图像上,那么、的大小关系是( )
A. B. C. D.无法确定
4.已知三个点、、在反比例函数的图象上,下列结论正确的是(  )
A. B. C. D.
5.对于函数,下列说法错误的是( )
A.它的图象分布在一、三象限
B.它的图象与坐标轴没有交点
C.它的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形
D.当时,的值随的增大而增大
6.如图,反比例函数(k是常数且)的图象经过点,则下列说法错误的是( )
A. B.该函数图象经过点
C.当时,y随x的增大而减小 D.当,
7.如图所示,一次函数与反比例函数的图象在第二象限内有两个交点,如图所示,则二次函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
8.若反比例函数的图象上有三点,则下列说法正确的是( )
A.当时, B.当且时,
C.当时, D.当且时,
二、填空题(每小题4分,共20分)
9.请写出一个y是x的反比例函数的表达式,使其图象分布二、四象限,其表达式为 .
10.若点在反比例函数的图象上,则的大小关系是 .(用“”号连接)
11.已知,是反比例函数图象上的两点.若,则 (填“”、“”或“”)
12.在平面直角坐标系中,直线与双曲线的一个交点是.则k的值为 .
13.在平面直角坐标系中,P是双曲线上的一点,点P绕着原点O顺时针旋转的对应点落在直线上,则代数式的值是 .
三、解答题(每小题8分,共48分)
14.已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点.
(1)求这两个函数的表达式;
(2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象,观察图象:当时,直接写出自变量x的取值范围.
15.已知y与x成反比例,且其函数图象经过点.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)当时,求x的值.
16.已知反比例函数的图象经过点,试判断点,是否在此函数的图象上.
17.小光根据学习函数的经验,探究函数的图象与性质.
(1)刻画图象
①列表:下表是,的几组对应值,其中   ,   ;
… …
… …
②描点:如图所示;
③连线:请用平滑的曲线顺次连接.
(2)认识性质
观察图象,完成下列问题:
①当时,随的增大而   ;
②函数的图象的对称中心是   .(填写点的坐标)
(3)类比探究
①小光发现,函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到.请结合图象说明平移过程;
②函数的图象经平移可以得到函数的图象,请说明平移过程.
18.反比例函数的图像与直线相交于点A,A点的横坐标为.
(1)求k的值.
(2)试判断,是否在反比例函数的图像上.
19.如图,一次函数与反比例函数的图象交于,两点.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)根据图象,直接写出满足时x的取值范围.
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第26章 反比例函数
26.1.2 反比例函数图象的性质
2024-2025人教版九年级数学下 点拨*训练
第26章 第02讲 反比例函数图象性质(解析版)
学习目标
1. 能根据解析式画出反比例函数的图象,初步掌握反比例函数的图象和性质.
2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式,进一步理解反比例函数的图象和性质.
3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题.
老师告诉你
反比例函数图像的性质易错点主要包括以下几点:
1.忽视隐含条件 :
错误地认为函数是反比例函数,而实际上它可能不满足反比例函数的定义(即 y = k/x,其中 k ≠ 0)。
2.不区分象限 :
错误地认为反比例函数图像只位于一个象限,而实际上反比例函数的图像是两个分支,分别位于第一、第三象限(当 k > 0)或第二、第四象限(当 k < 0)。
3.函数值的增减性描述错误 :
笼统地说,当 k > 0 时,y 随 x 的增大而减小,忽略了在每一象限内 y 随 x 的增大而减小这一性质。
一、知识点拨
1.知识导航
2.知识点梳理
知识点1 、反比例函数的图象画法:
1.反比例函数的图象特征
反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限;反比例函数的图象关于原点对称,永远不会与轴、轴相交,只是无限靠近两坐标轴.
注意
若点()在反比例函数的图象上,则点()也在此图象上,所以反比例函数的图象关于原点对称;
在反比例函数(为常数,) 中,由于,所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴.
2.画反比例函数的图象
(1)列表:自变量的取值应以0为中心,在0的两侧取三对(或三对以上)互为相反数的值,填写值时,只需计算右侧的函数值,相应左侧的函数值是与之对应的相反数;
(2)描点:描出一侧的点后,另一侧可根据中心对称去描点;
(3)连线:按照从左到右的顺序连接各点并延伸,连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交;
【新知导学】
【例1-1】(1)画出函数的图象.
①列表:
x … …
y … …
②描点并连线.
(2)从图象可以看出,曲线从左向右______(填“上升”或“下降”),当由小变大时随之______.(填“变大”或“变小”)
【答案】(1)①见解析;②见解析;(2)上升;变大
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质,画反比例函数图象,解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质.
(1)先列表,然后描点,最后连线即可得出反比例函数图象;
(2)根据反比例函数的性质进行求解即可.
【详解】解:(1)列表:
x … …
y … 1 2 3 6 …
函数图象如答图:
(2)从图象可以看出,曲线从左向右上升,当x由小变大时随之变大.
故答案为:上升;变大.
【对应导练】
1.在同一平面直角坐标系中,分别画出函数与的图象.
(1)填写表格:
__ __
__ __
(2)根据表格中的对应值为点坐标,在下图中画出函数图象.
【答案】(1)填表见解析
(2)画图见解析
【分析】()根据函数解析式求出对应的函数值后填写表格即可;
()以表格中的对应值为点的坐标,描出点连线即可画出函数图象;
本题考查了画反比例函数图象,掌握画反比例函数图象的步骤是解题的关键.
【详解】(1)解:当时,;当时,;
当时,,当时,;
∴填写表格如下:
(2)解:画函数图象如下:
2.在同一坐标系中画两个函数的图象,并回答相关问题:

(1)画出函数的图象;
①由分式有意义可知,函数中自变量x取除_______以外的全体实数,可列如下表,请你填剩余的空.
x 1 1.5 2 3 4 6
y 6 4 3 2 1.5 1
②在坐标系中描点、连线,画函数的大致图象(描上表中剩余的点并连线).
(2)画出函数的图象;
(3)当取x何值时,对于其中x的每一个值,函数的值大于函数的值,直接写出x的取值范围.
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)或.
【分析】本题考查了画反比例函数图象以及一次函数与反比例函数交点问题,正确掌握相关性质内容是解题的关键.
(1)根据图象性质以及列表数值,先描点再连线,即可作答.
(2)根据图象性质以及列表数值,先描点再连线,即可作答.
(3)观察(2)的图象,易得两个函数交于点,运用数形结合思想得x的取值范围为或.
【详解】(1)解:①由分式有意义可知,函数中自变量x取除0以外的全体实数,可列如下表,请你填剩余的空.
x 1 1.5 2 3 4 6
y 6 4 3 2 1.5 1
②在坐标系中描点、连线,画函数的大致图象,如图所示:

(2)解:关于函数,先列表:
x 1 2 4
y 3 6
如图所示:

(3)解:由(2)得出,两个函数交于点,当函数的值大于函数的值,则x的取值范围为或.
知识点2、反比例函数的图象的性质
1 .反比例函数图象的分布是由的符号决定的:当时,两支曲线分别位于第一、三象限内,当时,两支曲线分别位于第二、四象限内.
2 .(1)当时,双曲线的两个分支分别位于第一、三象限,在每个象限内,值随值的增大而减小;
(2当时,双曲线的两个分支分别位于第二、四象限,在每个象限内,值随值的增大而增大;
注意:反比例函数的增减性不是连续的,它的增减性都是在各自的象限内的增减情况,反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的;反过来,由双曲线所在的位置和函数的增减性,也可以推断出的符号.
【新知导学】
【例2-1】.对于反比例函数,下列结论中错误的是( )
A.图象必经过点 B.y随x的增大而减小
C.图象在第二、四象限 D.若,则
【答案】B
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质,以及反比例函数图象上点的坐标特点,解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质:反比例函数的图象是双曲线;当,双曲线两支分别位于第一、第三象限,在每一象限内y随x的增大而减小;当,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每一象限内y随x的增大而增大.
【详解】解:A、当 时, ,即图象必经过,故本选项正确,不符合题意;
B、因为 ,所以在每一象限内,随的增大而增大,故本选项错误,符合题意;
C、因为 ,图象在第二、四象限,故本选项正确,不符合题意;
D、若,图象位于第四象限内,随的增大而增大,此时,故本选项正确,不符合题意.
故选:B.
【例2-2】.关于反比例函数的图象,下列说法不正确的是( )
A.图象经过点 B.图象关于直线对称
C.当时,随的增大而减小 D.当,则
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质.根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.
【详解】解:A、,则图象经过点,本选项不符合题意;
B、图象关于直线对称,本选项不符合题意;
C、当时,随的增大而减小,本选项不符合题意;
D、当,,又当时,随的增大而减小,所以当,则,本选项符合题意;
故选:D.
【例2-3】.一次函数与反比例函数(a,b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象不可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质,熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键.先根据一次函数图象确定a、b的符号,进而求出的符号,由此可以确定反比例函数图象所在的象限,看是否一致即可.
【详解】解:A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限,
∴,
∴,
∴反比例函数的图象应该过第二、四象限,这与图形符合,故A不符合题意;
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限,
∴,
∴,
∴反比例函数的图象应该过第一、三象限,这与图形符合,故B不符合题意;
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限,
∴,
∴,
∴反比例函数的图象应该过第一、三象限,这与图形符合,故C不符合题意;
D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限,
∴,
∴,
∴反比例函数的图象应该过第一、三象限,这与图形不符合,故D符合题意;
故选:D.
【例2-4】.如图,同一平面直角坐标系中,抛物线与双曲线的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和双曲线的图象,先根据抛物线图象确定a与0的大小,再判断双曲线图象是否满足条件即可.
【详解】解:,
∴对称轴为,
A、由抛物线图象可知,对称轴,所以双曲线的图象应该在第一、三象限,故选项A符合题意;
B、由抛物线图象可知,所以双曲线的图象应该在第二、四象限,故选项B不符合题意;
C、由抛物线图象可知,对称轴,故选项C不符合题意;
D、由抛物线图象可知,所以双曲线的图象应该在第一、三象限,故选项D不符合题意;
故选:A.
【例2-5】.反比例函数的图象经过、两点,当时,,则k的取值范围是 .
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征,熟知反比例函数的性质是解题的关键.
先根据已知条件判断出函数图象所在的象限,再根据系数k与函数图象的关系解答即可.
【详解】解:∵反比例函数的图象经过、两点,当时,,
∴此反比例函数的图象在二、四象限,
∴.
故答案为:.
【对应导练】
1.如图是反比例函数的图象,下列说法正确的是( )

A.常数
B.在每个象限内,随的增大而增大
C.若,在图象上,则
D.若在图象上,则也在图象上
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质,解题的关键是结合反比例函数的性质以及函数图象逐一分析四个选项.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,熟悉掌握反比例函数图象的有关知识是关键.结合函数图象逐一分析四个选项的对错,由此即可得出结论.
【详解】解:A、∵反比例函数y=的图象在第一三象限,
∴,
∴A错误,故本选项不符合题意;
B、根据函数图象可得出:在每个象限内,y随x的增大而减小,
∴B错误,故本选项不符合题意;
C、根据函数图象可得出:在第三象限内,,在第一象限内,,
∵,,
∴,
∴C正确,故本选项符合题意;
D、由反比例函数的对称性可知:
若在图象上,则在图象上,
∴D错误,故本选项不符合题意.
故选:C.
2.对于反比例函数,下列说法正确的是( )
A.图象经过点 B.图象位于第一、三象限
C.y随x的增大而增大 D.当时,
【答案】D
【分析】本题考查的是反比例函数的性质,根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质,可以判断各个选项中的说法是否正确,从而可以解答本题.
【详解】解:反比例函数,
A、当时,,图象经过点,故选项A不符合题意;
B、∵,故该函数图象位于第二、四象限,故选项B不符合题意;
C、在每个象限内,随的增大而增大,故选项C不符合题意;
D、∵当时,,时,
∴当时,,故选项D符合题意;
故选:D.
3.已知反比例函数,点和是反比例函数图象上的两点.若对于,,都有,则的取值范围是(  )
A.或 B.且,
C.或 D.且,
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意得,反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限,分两种情况讨论,即可求得的取值范围.
【详解】解:对于,未知,需分类讨论,
当时,反比例函数的图象在一、三象限,此时,
∴,
∵,
∴点和都在第一象限的图象上,且和都大于0,
∴,即,
∴,
∵,
∴,
解得,即;
当时,反比例函数的图象在二、四象限,此时,
由图象可知,时,,
∴点在第四象限的图象上,
对于分类讨论,
当时,,此时点在第四象限的图象上,随的增大而增大,
∵,,,
∴,
∴,
∵,
∴,
解得,即;
当时,,此时点在第二象限的图象上,
则,,
∴,,
∵,,
取点关于原点的中心对称点,则点,
∵,
∴,此时点和点都在第二象限的图象上,随的增大而增大,
∵,
∴,
∴,
解得,即;
当时,
∴,此时点不在反比例函数的图象上,舍去,
综上,且,,
故选:D.
4.二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质,熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键.
根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解.
【详解】A.由二次函数图象可知, ,时,

∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限,故选项错误;
B. 由二次函数图象可知, ,时,

∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限,故选项错误;
C. 由二次函数图象可知, ,时,

∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限,故选项正确;
D. 由二次函数图象可知, ,时,

∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限,故选项错误;
故选:C.
5.如图为反比例函数的图象,请写出满足图象的一个的值 .

【答案】(答案不唯一)
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质,根据图象可得比例系数的坐标在和之间,即可得,据此即可求解,掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.
【详解】解:由图象可得,比例系数的坐标在和之间,
∴,即,
∴满足图象的一个的值可以为,
故答案为:.
6.如图,它是反比例函数(为常数,且)图象的一支.
(1)的取值范围为 ;画出图象另一支的示意图;
(2)在这个函数图象上任取点和.若,判断和的大小关系,并说明.
【答案】(1),图见解析
(2)见解析
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质,熟练掌握反比例函数的图象和性质,是解题的关键:
(1)根据反比例函数图象所在的象限,判断的取值范围,利用对称性画出另一支的示意图即可;
(2)分在同一象限内,和不在同一象限内两种情况进行讨论说明即可.
【详解】(1)解:由图象可知,反比例函数图象过第二象限,则另一支在第四象限,
∴,
∴,
画图如下:
(2)由图象可知:在每一个象限内,随的增大而增大,
∵和在反比例函数图象上,
∴当在同一象限内时,,
当不在同一象限内时,;
二、题型训练
1.判断函数图像位置
1.函数与在同一坐标系内的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质,熟练掌握相关知识是解题的关键.
【详解】直线与y轴交于点,可否定A,D选项;
再根据k的取值符号是否一致(时,直线与双曲线都经过第一、三象限;时,直线与双曲线都经过第二、四象限)可以否定C,
故选:B.
2.二次函数(是常数)的图象如图,则双曲线和直线的位置可能为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质,由二次函数的图象可得,,,据此判断一次函数和反比例函数的图象即可.
【详解】解:∵二次函数的图象开口向上,与轴交点在负半轴,对称轴在轴左边,
∴,,,
∴,
∴直线过一、二、四象限,
当时,
∴双曲线过二、四象限,
∴双曲线和直线的位置都符合条件的只有D选项,
故选:D.
2.比较函数值大小
3 .关于反比例函数,下列说法正确的是( )
A.图象分布在第二、四象限
B.当时,随的增大而减小
C.图象经过点
D.若点,在图象上,且,则
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数的性质,熟知反比例函数的增减性及反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键.
分别根据反比例函数的图象及图象上点的坐标特点、反比例函数的增减性对各选项进行逐一分析即可.
【详解】解:A、∵,
∴图象在第一、三象限,故本选项错误;
B、当时,y随x的增大而减小,故本选项正确;
C、∵当时,,
∴图象不经过点,故本选项错误;
D、∵图象在第一、三象限,在每一支上,y随x的增大而减小,
∴当时,,故本选项错误;
故选:B.
4.已知反比例函数的图象经过点.
(1)求与之间的函数表达式;
(2)这个函数的图象在哪个象限?在每个象限内,随的增大怎样变化?
(3)点、在这个函数的图象上吗?
【答案】(1)
(2)这个函数的图象在第二、四象限;在每个象限内,随的增大而增大
(3)点在这个函数的图象上,点不在这个函数的图象上
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式,反比例函数的图象和性质,熟练掌握以上知识是解题的关键.
(1)用待定系数法即可求反比例函数解析式.
(2)利用反比例函数的图象和性质即可解题.
(3)利用反比例函数的图象和性质即可解题.
【详解】(1)解:将点代入反比例函数中,
即,
解得:
∴与之间的函数表达式为.
(2)解:∵在反比例函数中,,
∴这个函数的图象在第二、四象限;在每个象限内,随的增大而增大.
(3)解:将点、分别代入中,
可得:,,
∴点在这个函数的图象上,点不在这个函数的图象上.
5.在平面直角坐标系中,已知反比例函数的图象经过点,当时,求的取值范围.
【答案】
【分析】本题考查求反比例函数的解析式,反比例函数的图象和性质,把代入解析式求出解析式,根据增减性,求出的取值范围即可.
【详解】解:把,代入,得:,
∴,
∴反比例函数的图象过二,四象限,在每一个象限内,随着的增大而增大,
当时,,
∴当时,.
3.由自变量(函数)取值范围确定函数(自变量取值范围)
6.已知点,是反比例函数图象上两点.请用“”“”或“”填空.
(1)若,,,则_____;
(2)若,,,则______;
(3)若,,,则______;
(4)若,,则______;
变式 反比例函数中,若,,请讨论,的大小情况.
【答案】(1);(2);(3);(4);变式:①当时,;②当时,;③当时,
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质,反比例函数(k是常数,)的图象是双曲线,当,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小;当,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大.
(1)(2)(3)(4)以及变式直接根据反比例函数的增减性求解即可.
【详解】解:(1)∵,
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小,
∵,,
∴,
∴.
故答案为:;
(2)∵,
∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大,
∵,,
∴,
∴.
故答案为:;
(3)∵,
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小
∵,,
∴,
∴.
故答案为:;
(4)∵,
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小
∵,
∴,
故答案为:;
变式:
∵,
∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大,
①当时,;②当时,;③当时,.
7.反比例函数中,若,,请讨论,的大小情况.
【答案】见解析
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质,反比例函数(k是常数,)的图象是双曲线,当,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小;当,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大.据此解答即可.
【详解】解:当时,反比例函数的图象位于第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大.当时,分为以下三种情况:
①当时,,
②当时,,
③当时,
8.已知是的反比例函数,当时,.
(1)求关于的函数解析式;
(2)若,,,是,,,分别是2,8,,时的函数值,请比较大小: , (填“”“”或“”);
(3)若,分别是,的函数值,当时,比较与的大小关系.
【答案】(1)
(2) ,
(3)当时,;当时,;当时,
【分析】本题考查反比例函数综合,涉及待定系数法确定函数解析式、已知自变量求函数值、利用反比例函数图象与性质比较函数值大小等知识,熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键.
(1)根据题意,设,当时,,则,即可得到答案;
(2)由(1)中,将,,,代入求出,,,,比较大小即可得到答案;
(3)由(1)中,利用反比例函数的图象与性质分类讨论即可得到答案.
【详解】(1)解:是的反比例函数,
设,当时,,则,
关于的函数解析式是;
(2)解:由(1)知,
当时,;
当时,;
当时,;
当时,;
,,
故答案为: ,;
(3)解:由(1)知,
反比例函数图象在第一、三象限,在每一个象限中,随的增大而减小,
当时,;
当时,;
当时,.
三、课堂达标
一、单选题(每小题4分,共32分)
1.关于反比例函数,下列说法中错误的是( )
A.时,y随x的增大而减小 B.当时,
C.当时,y有最大值为 D.它的图象位于第一、三象限
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质,熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键.
根据反比例函数的性质对各选项逐一分析即可.
【详解】解:A.反比例函数,,该函数图像的两个分支位于一、三象限,且在每一象限内随的增大而减小,故本选项正确;
B.当时,,当时,,当时,,故本选项正确;
C.反比例函数,,该函数图像的两个分支位于一、三象限,且在每一象限内随的增大而减小,当时,,当时,,故本选项错误;
D.反比例函数,,该函数图像的两个分支位于一、三象限,故本选项正确;
故选:C.
2.若反比例函数的图象在第一、三象限,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质,当,双曲线的两支分支分别位于第一、第三象限,在每一象限内y随x的增大而减小;当,双曲线的两支分支分别位于第二、第四象限,在每一象限内y随x的增大而增大.
【详解】解:∵反比例函数的图象在第一、三象限,
∴,
∴,
故选:A.
3.已知点、都在反比例函数的图像上,那么、的大小关系是( )
A. B. C. D.无法确定
【答案】A
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,熟知反比例函数的图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.先把各点代入反比例函数的解析式,求出a、b的值,再比较大小即可.
【详解】解:∵点、都在函数的图象上,
∴,,

∴,
故选:A.
4.已知三个点、、在反比例函数的图象上,下列结论正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小,先判断出反比例函数经过的象限以及增减性,再由即可得到答案.
【详解】解:∵,
∴,
∴,
∴反比例函数的图象经过第二、四象限,在每个象限内,y随x增大而增大,
∵三个点、、在反比例函数的图象上,且,
∴,
故选:C.
5.对于函数,下列说法错误的是( )
A.它的图象分布在一、三象限
B.它的图象与坐标轴没有交点
C.它的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形
D.当时,的值随的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质,掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键;根据的图象与性质判断即可.
【详解】解:函数的图象分布在一、三象限,图象与坐标轴无交点,它的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,在每个象限内,的值随的增大而减小;
故选项A、B、C正确,选项D错误;
故选:D.
6.如图,反比例函数(k是常数且)的图象经过点,则下列说法错误的是( )
A. B.该函数图象经过点
C.当时,y随x的增大而减小 D.当,
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质.根据反比例函数的图象和性质,逐项判断即可求解.
【详解】解:A、∵反比例函数的图象经过点,
∴,故该选项不符合题意;
B、当时,,则该函数图象经过点,故该选项不符合题意;
C、根据函数图象可得,当时,随的增大而减小,故该选项不符合题意;
D、根据函数图象可得,当,,故该选项符合题意;
故选:D.
7.如图所示,一次函数与反比例函数的图象在第二象限内有两个交点,如图所示,则二次函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质,二次函数的图象和性质,掌握函数图象与系数的关系是解题关键.根据一次函数与反比例函数的图象,得到,,,从而得到二次函数的开口方向、对称轴以及与轴交点,再根据当时,一次函数图象在反比例函数图象上方,得出,即可确定图象.
【详解】解:由函数图象可知,,,,
二次函数的图象开口向上,对称轴在轴左侧,与轴交点在正半轴,
当时,一次函数图象在反比例函数图象上方,
当时,,即,
A选项图象符合题意,
故选:A.
8.若反比例函数的图象上有三点,则下列说法正确的是( )
A.当时, B.当且时,
C.当时, D.当且时,
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数图像上的点的坐标特征,根据反比例函数的增减性,逐一进行判断即可,解题的关键是掌握反比例函数的性质.
【详解】∵,,
∴反比例函数的图象过一,三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小,
∵三点在双曲线上,
∴当时,,则:,故A选项正确,符合题意;
当且时,,当且时,,故B选项错误,不符合题意;
当时,,则:,故C选项错误,不符合题意;
当且时,则: ;当且时,则:,故D选项错误,不符合题意;
故选:A.
二、填空题(每小题4分,共20分)
9.请写出一个y是x的反比例函数的表达式,使其图象分布二、四象限,其表达式为 .
【答案】(答案不唯一,只要即符合);
【分析】本题考查反比例函数图象性质,理解反比例函数图象与比例系数之间的关系是解题关键.根据反比例函数图象位于二、四象限,可确定,从而选择恰当的值代入写出即可.
【详解】解∶ ∵函数图象位于二、四象限,
∴,
∴可选取,那么反比例函数为,
故答案为:(答案不唯一).
10.若点在反比例函数的图象上,则的大小关系是 .(用“”号连接)
【答案】
【分析】本题考查比例反比例函数的函数值的大小,根据反比例函数的增减性,进行判断即可.
【详解】解:∵,
∴双曲线过一、三象限,在每一个象限内,随的增大而减小,
∵点在反比例函数的图象上,且:,
∴;
故答案为:.
11.已知,是反比例函数图象上的两点.若,则 (填“”、“”或“”)
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质,熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.
根据反比例函数的增减性解答即可.
【详解】解:,
反比例函数的图象在二、四象限,且在每个象限随的增大而增大,


故答案为:.
12.在平面直角坐标系中,直线与双曲线的一个交点是.则k的值为 .
【答案】1
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键.根据反比例函数图象上点的坐标特征得到,再结合一次函数图象上点的坐标特征求解,即可解题.
【详解】解:直线与双曲线的一个交点是.

解得,
即,

解得,
故答案为:1.
13.在平面直角坐标系中,P是双曲线上的一点,点P绕着原点O顺时针旋转的对应点落在直线上,则代数式的值是 .
【答案】
【分析】过点P作轴于点Q,过点作轴于点,由题意可得出,,.易证,即得出,,即可求出,进而得出,最后将所求式子通分变形为,再整体代入求值即可.
【详解】解:如图,过点P作轴于点Q,过点作轴于点,

∵,且在直线上,
∴,,,
∴.
由旋转的性质可知,,
∴.
又∵,
∴.
∵,
∴,
∴,,
∴.
∵P是双曲线上的一点,
∴,即.
∴.
故答案为:.
【点睛】本题为一次函数与反比例函数的综合题,考查函数图象上的点的坐标特征,三角形全等的判定和性质,旋转的性质,坐标与图形,代数式求值.画出大致图象并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键.
三、解答题(每小题8分,共48分)
14.已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点.
(1)求这两个函数的表达式;
(2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象,观察图象:当时,直接写出自变量x的取值范围.
【答案】(1)反比例函数的表达式为 ,一次函数的表达式为
(2) 或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求反比例函数与一次函数解析式,也考查了观察图象的能力.(1)把点代入反比例函数求出,即可求出反比例函数解析式,再求出点坐标,由待定系数法求出一次函数解析式;(2)由题意得出函数的图象总在函数的图象上方,即可得出结果.
【详解】(1)解:反比例函数的图象经过点,

反比例函数的表达式为 ,
点在反比例函数的图象上,

点B的坐标为 ,
一次函数的图象经过点A、B,将A、B两个点的坐标代入,
得:,
解得:,
一次函数的表达式为;
(2)画出图象:
观察函数图象可知:符合条件的x取值范围是: 或.
15.已知y与x成反比例,且其函数图象经过点.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)当时,求x的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质:
(1)设y与x的函数关系式为,将代入即可;
(2)将代入(1)中所求解析式,即可求出x的值.
【详解】(1)解:设y与x的函数关系式为,
将代入,得:,
解得,
y与x的函数关系式为;
(2)解:由(1)得,
将代入,得:,
解得.
16.已知反比例函数的图象经过点,试判断点,是否在此函数的图象上.
【答案】点在函数图象上,不在函数图象上
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征,根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为,进行判断即可.
【详解】解:由题意,得:,
∵,,
∴点在函数图象上,不在函数图象上.
17.小光根据学习函数的经验,探究函数的图象与性质.
(1)刻画图象
①列表:下表是,的几组对应值,其中   ,   ;
… …
… …
②描点:如图所示;
③连线:请用平滑的曲线顺次连接.
(2)认识性质
观察图象,完成下列问题:
①当时,随的增大而   ;
②函数的图象的对称中心是   .(填写点的坐标)
(3)类比探究
①小光发现,函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到.请结合图象说明平移过程;
②函数的图象经平移可以得到函数的图象,请说明平移过程.
【答案】(1)①,③见详解
(2)①增大,②
(3)①向右平移1个单位;②向右平移个单位
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及画反比例函数图象,平移性质,正确掌握相关性质内容是解题的关键.
(1)①直接把和分别代入,进行计算,③用平滑的曲线顺次连接即可作答.
(2)运用数形结合思想即可作答①②.
(3)运用类比法得出平移规律,即可作答.
【详解】(1)解:①把代入,

把代入,
得;
故答案为:,
②描点:如图所示;
③如图所示:
(2)解:①当时,随的增大而减小;
②函数的图象的对称中心是,
故答案为:增大,;
(3)解:①结合图象,得出函数的图象可以由反比例函数的图象经过向右平移个单位得到的;
②由反比例函数的分母特征得出函数是由向右平移个单位长度得到的,
∵与的分母差值为,
∴函数的图象经平移可以得到函数的图象向右平移个单位得到的
18.反比例函数的图像与直线相交于点A,A点的横坐标为.
(1)求k的值.
(2)试判断,是否在反比例函数的图像上.
【答案】(1)
(2)不在函数图像上,在函数图像上
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,属于基础题,解答本题一定要注意待定系数法的运用.
(1)将点的横坐标代入可得出纵坐标,然后代入双曲线可求出反比例函数的解析式.
(2)把点,代入即可判断;
【详解】(1)解:当时,由知,故,
将代入中,可知,
(2)由(1)可得
当时故点不在反比例函数的图像上,
当时故点在反比例函数的图像上.
19.如图,一次函数与反比例函数的图象交于,两点.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)根据图象,直接写出满足时x的取值范围.
【答案】(1)一次函数解析式为;反比例函数解析式为;
(2)
【分析】本题考查待定系数法求解析式,反比例函数和一次函数结合图象及性质.
(1)根据题意先将点代入求出反比例函数解析式,再将代入求出的反比例函数解释式中求出,再将和点代入即可;
(2)通过观察图象即可得到本题答案.
【详解】(1)解:由题意知:
将代入得:,求得,
∴反比例函数解析式为:,
再将代入中得:,
∴,
再将,代入中得,
解得:,
∴一次函数解析式为;
(2)解:∵两函数交于,,
∴由图象可得,当,即时,.
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