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北京市2024~2025学年度九年级上数学阶段测试
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
2．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝36°，则∠BOC的大小是（ ）
A．72° B．54° C．36° D．18°
3．（3分）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的度数为（ ）
A．50° B．25° C．30° D．35°
4．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，点P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可能是（ ）
A．3 B．4.2 C．5.3 D．6.2
5．（3分）如图所示，A是⊙O上一点，且AO＝5，PO＝13，AP＝12，则PA与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相割
6．（3分）如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A（0，4），B（4，4），C（6，2）．则该圆弧所在圆的圆心的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，0）
7．（3分）正多边形的一部分如图所示，若∠ACB＝20°，则该正多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
8．（3分）如图，⊙O的半径为12，点A、B是圆上的两点，∠AOB＝120°，则的长为（ ）
A．6π B．8π C．10π D．12π
9．（3分）综合实践课上，珍珍用半径9cm，圆心角为120°的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是（ ）
A． B．6cm C．3cm D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A（3，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，旋转后点B的对应点B′的坐标和点B在旋转过程中绕过的路径长分别是（ ）
A．（﹣2，3）和 B．（﹣3，2）和
C．（﹣2，3）和 D．（﹣3，2）和
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）点（1，﹣3）关于坐标原点的对称点为 ．
12．（3分）若二次函数y＝mx2+x+m2﹣3m的图象经过原点，则m的值为 ．
13．（3分）若一个矩形的两边长相差2，且面积为80，则较短边的长是 ．
14．（3分）如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是 ．
15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，当 时，y＜0．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（7分）解方程：3x（x﹣1）＝4（1﹣x）．
17．（7分）列方程解应用题：如图，在一块边长为x cm的正方形铁皮的四角各截去一边长为5cm的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是2000cm3，求边长x．
18．（7分）先化简，再求值：，其中x是一元二次方程的根．
19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以边4C上一点O为圆心，OC为半径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过D作DH⊥AB于点H．
（1）如图1，求证：直线DH与⊙O相切．
（2）如图2，若⊙O与AB相切于点F，且AF＝2AE＝4，求tan∠HDB．
20．（9分）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
（3）若CI＝2，DI，求△ABC的周长．
21．（9分）某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，正方形DEFG为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从A（1，0）处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线L：y＝ax2+bx+3（单位长度为1m）的一部分，已知DE＝2m，AD＝5m．
（1）若抛物线经过点（﹣2，3）．
①求抛物线L的解析式和顶点坐标；
②若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达3m，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由．
（2）要使弹珠能投入箱子，求a的取值范围．
22．（13分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 ；
问题解决
（2）如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由．
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（3）连接AD，交BC于点F，求的最大值．中小学教育资源及组卷应用平台
北京市2024~2025学年度九年级上数学阶段测试
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【思路点拔】根据直径所对的圆周角为90°即可作答．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
故选：C．
2．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝36°，则∠BOC的大小是（ ）
A．72° B．54° C．36° D．18°
【思路点拔】根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵点A、B、C在⊙O上，∠BAC＝36°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝72°，
故选：A．
3．（3分）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的度数为（ ）
A．50° B．25° C．30° D．35°
【思路点拔】由⊙O中，OA⊥BC，利用垂径定理，即可证得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得圆周角∠ADC的度数．
【解答】解：∵⊙O中，OA⊥BC，
∴，
∴∠ADC∠AOB，
∵∠AOB＝50°，
∴∠ADC50°＝25°．
故选：B．
4．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，点P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可能是（ ）
A．3 B．4.2 C．5.3 D．6.2
【思路点拔】过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝3，再利用勾股定理计算出OH＝4，从而得到OP的范围为4≤OP＜5，然后对各选项进行判断．
【解答】解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，则AH＝BHAB＝3，
在Rt△OAH中，OH4，
所以OP的范围为4≤OP＜5．
故选：B．
5．（3分）如图所示，A是⊙O上一点，且AO＝5，PO＝13，AP＝12，则PA与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相割
【思路点拔】由AO＝5，PO＝13，AP＝12，可求得PA2+OA2＝OP2，即可得PA是⊙O的切线．
【解答】解：∵AO＝5，PO＝13，AP＝12，
∴PA2+OA2＝122+52＝132＝OP2，
∴∠PAO＝90°，
即OA⊥PA，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线，
即PA与⊙O的位置关系是：相切．
故选：B．
6．（3分）如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A（0，4），B（4，4），C（6，2）．则该圆弧所在圆的圆心的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，0）
【思路点拔】弦的垂直平分线经过圆心，由此即可解决问题．
【解答】解：作弦AB和BC的垂直平分线，交点（2，0）是该圆弧所在圆的圆心的坐标．
故选：D．
7．（3分）正多边形的一部分如图所示，若∠ACB＝20°，则该正多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【思路点拔】根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：如图，
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝40°，
∴正多边形的边数9，
故选：B．
8．（3分）如图，⊙O的半径为12，点A、B是圆上的两点，∠AOB＝120°，则的长为（ ）
A．6π B．8π C．10π D．12π
【思路点拔】直接根据弧长公式计算即可．
【解答】解：的长为8π．
故选：B．
9．（3分）综合实践课上，珍珍用半径9cm，圆心角为120°的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是（ ）
A． B．6cm C．3cm D．
【思路点拔】设圆锥的底面半径为r cm．根据扇形的弧长＝圆锥底面圆周长构建方程求解．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r cm．
由题意2πr，
解得r＝3，
故圆锥底面半径为3cm．
故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A（3，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，旋转后点B的对应点B′的坐标和点B在旋转过程中绕过的路径长分别是（ ）
A．（﹣2，3）和 B．（﹣3，2）和
C．（﹣2，3）和 D．（﹣3，2）和
【思路点拔】利用勾股定理、矩形的性质以及旋转变换的性质，弧长公式解决问题即可．
【解答】解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB，BC＝OA，
∵C（0，2），A（3，0），
∴AB＝OC＝2，OA＝BC＝3，
由旋转变换的性质可知B′（﹣2，3），
由勾股定理，得，
∴点B在旋转过程中绕过的路径长，
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）点（1，﹣3）关于坐标原点的对称点为 （﹣1，3） ．
【思路点拔】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点A（1，﹣3）关于坐标原点的对称点的坐标为（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
12．（3分）若二次函数y＝mx2+x+m2﹣3m的图象经过原点，则m的值为 3 ．
【思路点拔】把（0，0）代入y＝mx2+x+m2﹣3m求解，注意m的取值范围．
【解答】解：把（0，0）代入y＝mx2+x+m2﹣3m，得m2﹣3m＝0，
解得m＝0或m＝3，
∵m≠0，
∴m＝3．
故答案为：3．
13．（3分）若一个矩形的两边长相差2，且面积为80，则较短边的长是 8 ．
【思路点拔】设矩形较短边的长是x，则较长边的长是x+2，根据面积为80，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设矩形较短边的长是x，则较长边的长是x+2，
由题意得：x（x+2）＝80，
整理得：x2+2x﹣80＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不符合题意，舍去），
即较短边的长是8，
故答案为：8．
14．（3分）如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是 1 ．
【思路点拔】由旋转的性质可得S△AOE＝S△BOF，由面积和差关系可求解．
【解答】解：∵△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合，
∴△AOE≌△BOF，
∴S△AOE＝S△BOF，
∴四边形BEOF面积＝S△AOBS正方形ABCD22＝1，
故答案为：1．
15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，当 0＜x＜2 时，y＜0．
【思路点拔】写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（0，0），（2，0），
∴当0＜x＜2时，y＜0．
故答案为：0＜x＜2．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（7分）解方程：3x（x﹣1）＝4（1﹣x）．
【思路点拔】根据因式分解法解一元二次方程进行计算即可．
【解答】解：3x（x﹣1）＝4（1﹣x），
3x（x﹣1）+4（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+4）＝0，
x﹣1＝0或3x+4＝0，
解得：x1＝1，x2．
17．（7分）列方程解应用题：如图，在一块边长为x cm的正方形铁皮的四角各截去一边长为5cm的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是2000cm3，求边长x．
【思路点拔】根据题意列出方程5（x﹣10）2＝2000，再解方程即可求解．
【解答】解：由题意可得5（x﹣10）2＝2000，
解得x1＝30，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：原正方形铁皮的边长为30cm．
18．（7分）先化简，再求值：，其中x是一元二次方程的根．
【思路点拔】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着利用因式分解法解方程求出x的值，最后根据分式有意义的条件确定x的值，并代值计算即可．
【解答】解：原式
．
∵x是一元二次方程的根，
∴x＝0或，
∵x＝0时，无意义．
∴当时，原式．
19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以边4C上一点O为圆心，OC为半径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过D作DH⊥AB于点H．
（1）如图1，求证：直线DH与⊙O相切．
（2）如图2，若⊙O与AB相切于点F，且AF＝2AE＝4，求tan∠HDB．
【思路点拔】（1）连接OD，由△ODC和△ABC都是等腰三角形证明∠ODC＝∠B，则OD∥AB，得∠ODH＝∠DHB＝90°，即可证明直线DH与⊙O相切；
（2）连接OD、OF，先证明四边形ODHF是正方形，则OD＝OF＝FH＝DH＝OE＝OC，在Rt△AOF中根据勾股定理列方程求出OF的长，再求出DH、BH的长，即可求出求tan∠HDB的值．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，则OD＝OC，
∴∠ODC＝∠C，
∵AB＝AC，
∠B＝∠C，
∴∠ODC＝∠B，
∴OD∥AB，
∴DH⊥AB于点H，
∵∠ODH＝∠DHB＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DH⊥OD，
∴DH与⊙O相切．
（2）解：如图2，连接OD、OF，
∵⊙O与AB相切于点F，
∴AB⊥OF，
∴∠ODH＝∠DHF＝∠HFO＝90°，
∴四边形ODHF是矩形，
∵OD＝OF，
∴四边形ODHF是正方形，
∴设OD＝OF＝FH＝DH＝OE＝OC＝r，
∵∠AFO＝90°，
∴AF2+OF2＝OA2，
∵AF＝2AE＝4，
∴AE＝2，
∴42+r2＝（2+r）2，
解得r＝3，
∴DH＝FH＝3，AB＝AC＝2+3+3＝8，
∴BH＝8﹣4﹣3＝1，
∵∠BHD＝90°，
∴tan∠HDB．
20．（9分）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
（3）若CI＝2，DI，求△ABC的周长．
【思路点拔】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据三角形的内角和定理求出∠CAB＝65°，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；
（2）连接AI，由三角形的内心性质得到内心，∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI，然后利用圆周角定理得到∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，利用三角形的外角性质证得∠DAI＝∠DIA，然后利用等角对等边可得结论；
（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和切线长定理得到AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，利用解直角三角形求得CF＝2＝CP，AB＝13，进而可求解．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝25°，
∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB+∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°；
（2）DI＝AD＝BD，
连接AI，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，，
∴，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，
∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI，
∴∠DAI＝∠DIA，
∴DI＝AD＝BD；
（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，
∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心，
∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，
∵，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°，
∴CF＝CI cos45°＝2＝CP，
∵DI＝AD＝BD，，∠ADB＝90°，
∴，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC
＝AB+AF+CF+CP+BP
＝AB+AQ+BQ+2CF
＝2AB+2CF
＝2×13+2×2＝30．
21．（9分）某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，正方形DEFG为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从A（1，0）处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线L：y＝ax2+bx+3（单位长度为1m）的一部分，已知DE＝2m，AD＝5m．
（1）若抛物线经过点（﹣2，3）．
①求抛物线L的解析式和顶点坐标；
②若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达3m，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由．
（2）要使弹珠能投入箱子，求a的取值范围．
【思路点拔】（1）①把点A（1，0），（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+3，再把抛物线解析式化为顶点式，可得顶点坐标，即可求解；②先求出抛物线L与x轴的两一个交点为（﹣3，0），再根据题意可设抛物线M的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+3，然后把（﹣3，0）代入，求出抛物线M的解析式，再求出当x＝﹣4时，y的值即可求解．
（2）由抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），得到b＝﹣3﹣a，则抛物线解析式为y＝ax2﹣（a+3）x+3，求出F（﹣2，2），G（﹣4，2）；当y＝2时，ax2﹣（a+3）x+3＝2，或，要使弹珠能投入箱子，则，解不等式组即可得到答案．
【解答】解：（1）①把点A（1，0），（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣（x2+2x）+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4）；
②弹珠能弹出箱子，理由如下：
∵AD＝5m，
∴OD＝4m，
∴D（﹣4，0）；
当y＝﹣x2﹣2x+3＝0时，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
根据题意可设抛物线M的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+3，
把点（﹣3，0）代入y＝﹣（x﹣h）2+3，得：﹣（﹣3﹣h）2+3＝0，
解得：或，
∵抛物线M的对称轴在直线x＝﹣3的左侧，
∴，
∴抛物线M的解析式为，
∵当x＝﹣4时，，
∴弹珠能弹出箱子．
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），
∴a+b+3＝0，
∴b＝﹣3﹣a，
∴抛物线解析式为y＝ax2﹣（a+3）x+3，
∵DE＝2m，OD＝4m，
∴OE＝2m，
∴F（﹣2，2），G（﹣4，2），
在y＝ax2﹣（a+3）x+3中，F（﹣2，2），则ax2﹣（a+3）x+3＝2，
∴4a﹣（a+3）×（﹣2）+3＝2，
解得a，
y＝ax2﹣（a+3）x+3中，G（﹣4，2），
2＝a×16﹣（a+3）×（﹣4）+3，
解得a，
∵要使弹珠能投入箱子，
∴，
∴，
∴，
∴﹣9a﹣3＞0，
∴，
∴a2+6a+9﹣4a＜81a2+54a+9，
∴4a（20a+13）＞0，
解得a＞0或，
∴；
当﹣5a﹣3＜0，即时，满足，
当﹣5a﹣3≥0，即时，
∴25a2+30a+9＜a2+6a+9﹣4a，
∴，
∴；
综上所述，当时，弹珠能投入箱子．
22．（13分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 ；
问题解决
（2）如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由．
【思路点拔】（1）先根据勾股定理求出BC＝17，再根据三角形的面积公式可求出AD的长；
（2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点O的位置，过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于M，设BM＝x cm，⊙O的半径为R cm，则CM＝（160﹣x）cm，再根据勾股定理列出关于x的方程得1002﹣x2＝1402﹣（160﹣x）2，则x＝50，进而得AMcm，则S△ABCcm2，然后根据S△OBC+S△OCA+S△OAB＝S△ABC，得（100+160+140）R，据此可得⊙O的半径．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝8，
由勾股定理得：BC17．
由三角形的面积得：S△ABCAB ACBC AD，
∴AB AC＝BC AD，
∴AD．
故答案为：．
（2）可以．
∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆，
∴所求圆的圆心是△ABC的内心，
作∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点O，
则点O就是裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，
过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：
设BM＝x cm，⊙O的半径为R cm，
∵AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm，
∴CM＝（160﹣x）cm，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AM2＝AB2﹣BM2＝1002﹣x2，
在Rt△ACM中，由勾股定理得：AM2＝AC2﹣CM2＝1402﹣（160﹣x）2，
∴1002﹣x2＝1402﹣（160﹣x）2，
解得：x＝50，
∴AM（cm），
∴S△ABCBC AM（cm2）
∵点O为△ABC的内心，
∴OH＝OP＝OQ＝R cm，
∵S△OBC+S△OCA+S△OAB＝S△ABC，
∴BC OHAC OPAB OQ，
即（100+160+140）R，
∴R．
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（3）连接AD，交BC于点F，求的最大值．
【思路点拔】（1）将点A和点B坐标代入抛物线的解析式得出方程组，解方程组，进而得出结果；
（2）先求出直线BC的解析式，进而表示出DE的长，进一步得出结果；
（3）分四种情形：当0＜t＜2时，作AG∥DE，交BC于G，可得出△DEF∽△AGF，从而，进而得出（t﹣1）2，进一步得出结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）设直线BC的函数表达式为：y＝mx+n，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∴E（t，t﹣2），
∵D（t，t2﹣t﹣2），
∴l＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t（0＜t＜2）；
（3）如图1，
当0＜t＜2时，
作AG∥DE，交BC于G，
∴△DEF∽△AGF，
∴，
把x＝﹣1代入y＝x﹣2得，
y＝﹣3，
∴AG＝3，
∴（t﹣1）2，
∵当x＝1时，最大，
∵，
∴最大．
