广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

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广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期11月期中考试
数学试题
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：选择性必修第一册第一章和第二章.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）
A. B. C. D.
2. 直线一个方向向量为（）
A. B. C. D.
3. 若直线一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线所成角的大小为（）
A B. C. D.
4. 已知圆关于直线对称，则实数（）
A. B. 1 C. D. 2
5. 已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（）
A. B. C. D. [1,4]
6. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（）
A. B. C. D. 或
7. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（）
A. B. C. 1 D.
8. 已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线过点，且在轴上截距是轴上的截距的3倍，则直线的方程为（）
A. B. C. D.
10. 下列圆中与圆相切的是（）
A. B.
C. D.
11. 如图，四棱锥中，底面，底面为正方形，且，分别为的中点，则（）
A.
B. 与所成角的余弦值是
C. 点到平面的距离为
D. 过点的平面截四棱锥的截面面积为
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则线段的中点坐标为___________.
13. 若直线与直线平行，则与之间的距离为___________.
14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求满足下列条件的圆的标准方程.
（1）圆心为，经过点；
（2）圆心在直线上，且与轴交于点.
16. 已知向量，，.
（1）当时，若向量与垂直，求实数的值；
（2）若向量与向量、共面，求实数的值.
17. 已知的三个顶点是.
（1）求BC边上的高所在直线的方程;
（2）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程.
18. 已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点N，O为坐标原点.（M，N与不重合）
（1）求证：的面积为定值;
（2）设直线与圆交于点A，B，若，求实数的值；
（3）在（2）条件下，设P，Q分别是直线和圆上的动点，求|PQ|的最小值及此时点的坐标.
19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期11月期中考试
数学试题
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】C
2.
【答案】C
3.
【答案】B
4.
【答案】A
5.
【答案】D
6.
【答案】D
7.
【答案】B
8.
【答案】A
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BD
10.
【答案】AB
11.
【答案】AC
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）根据圆心和圆上的点求圆的半径，可得圆的标准方程.
（2）根据垂径定理，圆心在线段的垂直平分线上，又圆心在直线上可求圆心，再求半径，得圆的标准方程.
【小问1详解】
由两点间的距离公式可得圆的半径
故圆的标准方程为
【小问2详解】
因为圆与y轴交于点，所以圆心在直线y=3上.
又圆心在直线上，所以圆心的坐标为，
所以圆的半径，
故圆的标准方程为.
16.
【解析】
【分析】（1）由可求出的值，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值；
（2）设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解得实数的值.
【小问1详解】
因为，所以，解得，即.
由，且，
得，解得.
【小问2详解】
因为向量与向量、共面，所以设，
因此，
即，解得，故的值为.
17.
【解析】
【分析】（1）根据垂直关系得出高所在直线斜率，点斜式得出直线方程；
（2）由题意转化为所求直线与AB平行或过AB的中点，分别求解即可.
【小问1详解】
因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为1，
所以BC边上高所在直线为，即.
【小问2详解】
因为点A，B到直线的距离相等，
所以直线与AB平行或过AB的中点，
①当直线与AB平行，
所以，
所以，即.
②当直线过AB的中点，
所以，
所以，即.
综上，直线的方程为或.
18.
【解析】
【分析】（1）求出圆与坐标的交点坐标，然后计算三角形面积可得．
（2）由与垂直，斜率乘积为可得；
（3）求出关于直线的对称点的坐标，连接，线段与直线的交点为与圆的交点为，此时的长度即为所示最小值．
【小问1详解】
由圆的方程，化简得，
其与轴，轴的交点分别为:，
所以为定值.
【小问2详解】
如图①所示，因为，所以.
又OC的斜率，所以，解得（负数舍去），
【小问3详解】
如图②所示，由②知:圆的方程为:，圆心，半径.
设点关于直线的对称点为，
则中点为，且解得，即，
则，
又点到圆上点的最短距离为，
则的最小值为，
此时直线的方程为:，即.
点为直线与直线交点，则解得即点
19.
【解析】
【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；
（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小；
（3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.
【小问1详解】
因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
【小问2详解】
由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
【小问3详解】
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.
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