湖南省邵阳市邵东县2015-2016学年高一（上）期末数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 湖南省邵阳市邵东县2015-2016学年高一（上）期末数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 108.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-03-25 09:08:41 | ||
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文档简介
2015-2016学年湖南省邵阳市邵东县高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．已知集合A={（x，y）|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，则下列关系正确的是（ ）
A．A=B B．A B C．B A D．A∩B=
2．下列函数为偶函数的是（ ）
A．f（x）=x B．f（x）=x3 C．f（x）=x2，x∈（﹣5，5] D．f（x）=4
3．已知函数f（x）=，则f（2）=（ ）
A．4 B．0 C．﹣1 D．1
4．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
5．若函数f（x）的定义域为[2，4]，则函数y=f（logx）的定义域为（ ）
A．[，1] B．[4，16] C．[2，4] D．[，]
6．下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条条直线和一个点确定一个平面
C．梯形确定一个平面
D．四边形确定一个平面
7．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线l过点P（3，4），它的倾斜角是直线y=x+1的两倍，则直线l的方程为（ ）
A．y﹣4=0 B．x﹣3=0 C．y﹣4=2（x﹣3） D．y﹣4=x﹣3
9．若点P（a，b）在圆C：x2+y2=1的外部，则直线ax+by+1=0与圆C的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．以上均有可能
10．设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（ ）
A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0
C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分.、共25分.
11．已知f（x）=ax3+bx﹣4，若f（﹣2）=2，则f（2）= ．
12．若直线进过点A（1，0）与点B（4，），在直线AB的倾斜角为 ．
13．一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm的正方形，则它的体积是 cm2．
14．已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长，c为斜边．若点（m，n）在直线ax+by+2c=0上，则m2+n2的最小值是 ．
15．已知函数f（x）=，则f（）+f（）+f（）+…+f（）= ．
三、解答题：本大题共5题，共45分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．计算下列各式的值：
（1）（9.6）0+lg25+lg4+7；
（2）+﹣．
17．已知集合A={x|2≤2x≤32}，B={x|y=log2（3﹣x）}．
（Ⅰ）求A∩B；
（Ⅱ）若C={x|x≥a+1}，且（A∩B） C，求实数a的取值范围．
18．已知幂函数f（x）的图象经过点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．
20．已知圆C的圆心为原点O，且与直线相切．
（1）求圆C的方程；
（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：直线AB恒过定点．
2015-2016学年湖南省邵阳市邵东县高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．已知集合A={（x，y）|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，则下列关系正确的是（ ）
A．A=B B．A B C．B A D．A∩B=
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．
【分析】由A是点集，B是数集，故A∩B为空集．
【解答】解：∵A是点集，B是数集，
∴A∩B= ，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是集合的交集运算，难度不大，属于基础题．
2．下列函数为偶函数的是（ ）
A．f（x）=x B．f（x）=x3 C．f（x）=x2，x∈（﹣5，5] D．f（x）=4
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据奇函数、偶函数的定义，偶函数和奇函数定义域的特点便可判断每个选项函数的奇偶性，从而找出正确选项．
【解答】解：A．f（x）=x为奇函数，∴该选项错误；
B．f（x）=x3为奇函数，∴该选项错误；
C．f（x）的定义域为（﹣5，5]，不关于原点对称，为非奇非偶函数，∴该选项错误；
D．f（x）=4的定义域为R，且满足f（﹣x）=f（x）；
∴该函数为偶函数，∴该选项正确．
故选：D．
【点评】考查奇函数和偶函数的定义，判断一个函数奇偶性的方法和过程，以及奇函数和偶函数定义域的特点．
3．已知函数f（x）=，则f（2）=（ ）
A．4 B．0 C．﹣1 D．1
【考点】函数的值．
【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用．
【分析】判断可得f（2）=22﹣4×2+3=﹣1．
【解答】解：∵2＞1，
∴f（2）=22﹣4×2+3=﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了分段函数的计算．
4．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【考点】函数的零点；对数函数的图象与性质．
【专题】计算题．
【分析】可先构造出函数f（x）=lnx+x﹣4，带入可得f（2）＜0，f（3）＞0，据此解答．
【解答】解：设f（x）=lnx+x﹣4，则f（2）=ln2+2﹣4=ln2﹣2＜0，
f（3）=ln3+3﹣4=ln3﹣1＞0，所以x0属于区间（2，3）．
故选：C．
【点评】本小题主要考查简单的构造函数求出函数零点的方法，注意灵活运用，属于基础题．
5．若函数f（x）的定义域为[2，4]，则函数y=f（logx）的定义域为（ ）
A．[，1] B．[4，16] C．[2，4] D．[，]
【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数的定义域及其求法．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】由函数f（x）的定义域可得2≤logx≤4，然后求解对数不等式得答案．
【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[2，4]，
∴由2≤logx≤4，解得，
∴函数y=f（logx）的定义域为[]．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题．
6．下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条条直线和一个点确定一个平面
C．梯形确定一个平面
D．四边形确定一个平面
【考点】平面的基本性质及推论．
【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】在A中，过共线的三点不能确定一个平面；在B中，经过一条直线和这条直线上一个点不能确定一个平面；在C中，梯形确定一个平面；在D中，空间四边形不一定能确定一个平面．
【解答】解：在A中，经过不共线的三点确定一个平面，故A错误；
在B中，经过一条直线和这条直线外一个点确定一个平面，故B错误；
在C中，由梯形中有一组对边平行，得到梯形确定一个平面，故C正确；
在D中，空间四边形不一定能确定一个平面，如右图的空间四边形就不能确定一个平面，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
7．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，即可求出体积．
【解答】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，
故其体积V=×4×=．
故选C．
【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．
8．已知直线l过点P（3，4），它的倾斜角是直线y=x+1的两倍，则直线l的方程为（ ）
A．y﹣4=0 B．x﹣3=0 C．y﹣4=2（x﹣3） D．y﹣4=x﹣3
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；直线与圆．
【分析】由已知直线的方程求得其倾斜角，进一步得到直线l的倾斜角为90°，再由直线过点P（3，4）求得直线方程．
【解答】解：∵直线y=x+1的斜率为1，
∴其倾斜角为45°，则直线l1的倾斜角为90°，
又直线l过点P（3，4），
∴其方程为x=3，即x+3=0．
故选：B．
【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了倾斜角和斜率的关系，是基础题．
9．若点P（a，b）在圆C：x2+y2=1的外部，则直线ax+by+1=0与圆C的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．以上均有可能
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【分析】根据点P在圆C的外部，得出点P到圆心的距离d1＞r，计算圆心到直线ax+by+1=0的距离，判断出直线与圆C的位置关系．
【解答】解：∵点P（a，b）在圆C：x2+y2=1的外部，
∴点P到圆心的距离d1＞r，
即a2+b2＞1；
又圆心到直线ax+by+1=0的距离为
d2=＜1=r，
∴直线与圆C相交．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆以及直线与圆的位置关系的应用问题，是基础题目．
10．设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（ ）
A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0
C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】转化思想．
【分析】对题设中的条件进行变化，利用函数的性质得到不等式关系，再由不等式的运算性质整理变形成结果，与四个选项比对即可得出正确选项．
【解答】解：∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，
∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3，x3＞﹣x1，
又f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，
∴f（x1）＜f（﹣x2）=﹣f（x2），f（x2）＜f（﹣x3）=﹣f（x3），f（x3）＜f（﹣x1）=﹣f（x1），
∴f（x1）+f（x2）＜0，f（x2）+f（x3）＜0，f（x3）+f（x1）＜0，
∴三式相加整理得f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0
故选B
【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，解题的关键是根据函数的性质得到f（x1）+f（x2）＜0，f（x2）+f（x3）＜0，f（x3）+f（x1）＜0，再由不等式的性质即可得到结论．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分.、共25分.
11．已知f（x）=ax3+bx﹣4，若f（﹣2）=2，则f（2）= ﹣10 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】可以判断f（﹣2）和f（2）的关系，从而可以得到f（2）=﹣f（﹣2）﹣8，这样将f（﹣2）=2带入即可求出f（2）．
【解答】解：f（2）=a 23+b 2﹣4
=﹣[a （﹣2）3+b （﹣2）﹣4]﹣8
=﹣f（﹣2）﹣8
=﹣2﹣8
=﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】考查奇函数的概念：f（﹣x）=﹣f（x），比较f（2）和f（﹣2）的关系是本题求解的关键．
12．若直线进过点A（1，0）与点B（4，），在直线AB的倾斜角为 ．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．
【分析】先根据直线的斜率公式求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出倾斜角的值．
【解答】解：∵直线经过点A（1，0）与点B（4，），
∴kAB==，
设直线AB的倾斜角为θ，
∴tanθ=，
∵0≤0＜π，
∴θ=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式，倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．
13．一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm的正方形，则它的体积是 32 cm2．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】侧面展开图的边长为底面周长和高．
【解答】解：∵正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm的正方形，
∴正四棱柱的底面边长为2，高为8．
∴正四棱柱的体积V=22×8=32．
故答案为32．
【点评】本题考查了正四棱柱的结构特征，体积计算，属于基础题．
14．已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长，c为斜边．若点（m，n）在直线ax+by+2c=0上，则m2+n2的最小值是 4 ．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】计算题．
【分析】由直角三角形且c为斜边，根据勾股定理表示出一个关系式，因为所求式子即为原点到已知点距离的平方，而点到直线的距离只有垂线段最短，利用点到直线的距离公式表示出原点到已知直线的距离，把表示出的关系式代入即可求出原点到已知直线的距离，平方即可得到所求式子的最小值．
【解答】解：根据题意可知：当（m，n）运动到原点与已知直线作垂线的垂足位置时，m2+n2的值最小，
由三角形为直角三角形，且c为斜边，根据勾股定理得：c2=a2+b2，
所以原点（0，0）到直线ax+by+2c=0的距离d==2，
则m2+n2的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了点到直线的距离公式，以及勾股定理．理解当动点（m，n）运动到原点到已知直线垂直时垂足的位置时，所求式子达到最小是解本题的关键．
15．已知函数f（x）=，则f（）+f（）+f（）+…+f（）= 1007 ．
【考点】函数的值．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】由已知中函数f（x）=，可得：f（x）+f（1﹣x）=1，进而得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（1﹣x）==，
∴f（x）+f（1﹣x）=1，
∴f（）+f（）+f（）+…+f（）=1007，
故答案为：1007．
【点评】本题考查的知识点是函数求值，其中根据已知确定出f（x）+f（1﹣x）=1，是解答的关键．
三、解答题：本大题共5题，共45分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．计算下列各式的值：
（1）（9.6）0+lg25+lg4+7；
（2）+﹣．
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）化0指数幂为1，然后结合对数的运算性质求得答案；
（2）化根式内部的数为完全平方数的形式，开方后化简得答案．
【解答】解：（1）（9.6）0+lg25+lg4+7
=1+lg（25×4）+2=5；
（2）+﹣
=
=（）+（）﹣（）
=0．
【点评】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．
17．已知集合A={x|2≤2x≤32}，B={x|y=log2（3﹣x）}．
（Ⅰ）求A∩B；
（Ⅱ）若C={x|x≥a+1}，且（A∩B） C，求实数a的取值范围．
【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）求出A与B中其他不等式的解集，确定出A与B，求出A∩B即可；
（Ⅱ）由A与B交集是C的子集，由A与B的交集及C求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）由集合A中的不等式2≤2x≤32，
变形得：21≤2x≤25，
解得：1≤x≤5，
即A={x|1≤x≤5}，
令3﹣x＞0，得x＜3，
得到B={x|x＜3}，
则A∩B={x|1≤x＜3}；
（Ⅱ）∵A∩B={x|1≤x＜3}，C={x|x≥a+1}，
若（A∩B） C，
∴a+1≤1，
解得：a≤0．
【点评】此题考查了交集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
18．已知幂函数f（x）的图象经过点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）利用幂函数的定义，设f（x）=xα（α是常数），根据f（x）的图象过点，列出关于α的方程，求解即可得到答案；
（Ⅱ）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，作差f（x1）﹣f（x2）化简到能直接判断符号为止，利用函数单调性的定义，即可证得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是幂函数，则设f（x）=xα（α是常数），
∵f（x）的图象过点，
∴，
∴α=﹣23，
故f（x）=x﹣2，即；
（Ⅱ）f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．证明如下：
设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
∴，
∵0＜x1＜x2∈（0，+∞），
∴x2﹣x1＞0，，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．
【点评】本题考查了求函数的解析式，函数的单调性的证明．求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．函数单调性的证明一般选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于基础题．
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）利用E，F分别是AC，BC的中点，说明EF∥AB，通过直线与平面平行的判定定理直接证明EF∥平面PAB．
（2）证明PE⊥AC，利用平面与平面垂直的判定定理证明PE⊥平面ABC，通过证明PE⊥BC．EF⊥BC，EF∩PE=E，证明BC⊥平面PEF，然后推出平面PEF⊥平面PBC．
【解答】（本小题满分14分）
证明：（1）∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB．﹣﹣﹣
又EF 平面PAB，﹣﹣﹣﹣﹣
AB 平面PAB，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴EF∥平面PAB．﹣﹣﹣﹣﹣
（2）在三角形PAC中，∵PA=PC，E为AC中点，
∴PE⊥AC．﹣﹣﹣﹣﹣
∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC=AC，
∴PE⊥平面ABC．﹣﹣﹣﹣﹣
∴PE⊥BC．﹣﹣﹣﹣﹣
又EF∥AB，∠ABC=90°，∴EF⊥BC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又EF∩PE=E，
∴BC⊥平面PEF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴平面PEF⊥平面PBC．﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面垂直的性质定理，考查空间想象能力，逻辑推理能力．
20．已知圆C的圆心为原点O，且与直线相切．
（1）求圆C的方程；
（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：直线AB恒过定点．
【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；圆的标准方程．
【专题】计算题．
【分析】（1）由圆C与直线相切，得到圆心到直线的距离d=r，故利用点到直线的距离公式求出d的值，即为圆C的半径，又圆心为原点，写出圆C的方程即可；
（2）由PA，PB为圆O的两条切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与PB垂直，根据90°圆周角所对的弦为直径可得A，B在以OP为直径的圆上，设出P的坐标为（8，b），由P和O的坐标，利用线段中点坐标公式求出OP中点坐标，即为以OP为直径的圆的圆心坐标，利用两点间的距离公式求出OP的长，即为半径，写出以OP为直径的圆方程，整理后，由AB为两圆的公共弦，两圆方程相减消去平方项，得到弦AB所在直线的方程，可得出此直线方程过（2，0），得证．
【解答】
（本小题满分14分）
解：（1）依题意得：圆心（0，0）到直线的距离d=r，
∴d=，﹣﹣﹣
所以圆C的方程为x2+y2=16①；﹣﹣﹣﹣﹣
（2）连接OA，OB，
∵PA，PB是圆C的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴A，B在以OP为直径的圆上，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设点P的坐标为（8，b），b∈R，
则线段OP的中点坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴以OP为直径的圆方程为，﹣﹣﹣﹣﹣
化简得：x2+y2﹣8x﹣by=0②，b∈R，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵AB为两圆的公共弦，
∴①﹣②得：直线AB的方程为8x+by=16，b∈R，即8（x﹣2）+by=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
则直线AB恒过定点（2，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，切线的性质，圆周角定理，线段中点坐标公式，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两圆公共弦的性质，以及恒过定点的直线方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，即d=r，熟练掌握此性质是解本题第一问的关键．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．已知集合A={（x，y）|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，则下列关系正确的是（ ）
A．A=B B．A B C．B A D．A∩B=
2．下列函数为偶函数的是（ ）
A．f（x）=x B．f（x）=x3 C．f（x）=x2，x∈（﹣5，5] D．f（x）=4
3．已知函数f（x）=，则f（2）=（ ）
A．4 B．0 C．﹣1 D．1
4．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
5．若函数f（x）的定义域为[2，4]，则函数y=f（logx）的定义域为（ ）
A．[，1] B．[4，16] C．[2，4] D．[，]
6．下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条条直线和一个点确定一个平面
C．梯形确定一个平面
D．四边形确定一个平面
7．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线l过点P（3，4），它的倾斜角是直线y=x+1的两倍，则直线l的方程为（ ）
A．y﹣4=0 B．x﹣3=0 C．y﹣4=2（x﹣3） D．y﹣4=x﹣3
9．若点P（a，b）在圆C：x2+y2=1的外部，则直线ax+by+1=0与圆C的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．以上均有可能
10．设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（ ）
A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0
C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分.、共25分.
11．已知f（x）=ax3+bx﹣4，若f（﹣2）=2，则f（2）= ．
12．若直线进过点A（1，0）与点B（4，），在直线AB的倾斜角为 ．
13．一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm的正方形，则它的体积是 cm2．
14．已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长，c为斜边．若点（m，n）在直线ax+by+2c=0上，则m2+n2的最小值是 ．
15．已知函数f（x）=，则f（）+f（）+f（）+…+f（）= ．
三、解答题：本大题共5题，共45分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．计算下列各式的值：
（1）（9.6）0+lg25+lg4+7；
（2）+﹣．
17．已知集合A={x|2≤2x≤32}，B={x|y=log2（3﹣x）}．
（Ⅰ）求A∩B；
（Ⅱ）若C={x|x≥a+1}，且（A∩B） C，求实数a的取值范围．
18．已知幂函数f（x）的图象经过点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．
20．已知圆C的圆心为原点O，且与直线相切．
（1）求圆C的方程；
（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：直线AB恒过定点．
2015-2016学年湖南省邵阳市邵东县高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．已知集合A={（x，y）|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，则下列关系正确的是（ ）
A．A=B B．A B C．B A D．A∩B=
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．
【分析】由A是点集，B是数集，故A∩B为空集．
【解答】解：∵A是点集，B是数集，
∴A∩B= ，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是集合的交集运算，难度不大，属于基础题．
2．下列函数为偶函数的是（ ）
A．f（x）=x B．f（x）=x3 C．f（x）=x2，x∈（﹣5，5] D．f（x）=4
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据奇函数、偶函数的定义，偶函数和奇函数定义域的特点便可判断每个选项函数的奇偶性，从而找出正确选项．
【解答】解：A．f（x）=x为奇函数，∴该选项错误；
B．f（x）=x3为奇函数，∴该选项错误；
C．f（x）的定义域为（﹣5，5]，不关于原点对称，为非奇非偶函数，∴该选项错误；
D．f（x）=4的定义域为R，且满足f（﹣x）=f（x）；
∴该函数为偶函数，∴该选项正确．
故选：D．
【点评】考查奇函数和偶函数的定义，判断一个函数奇偶性的方法和过程，以及奇函数和偶函数定义域的特点．
3．已知函数f（x）=，则f（2）=（ ）
A．4 B．0 C．﹣1 D．1
【考点】函数的值．
【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用．
【分析】判断可得f（2）=22﹣4×2+3=﹣1．
【解答】解：∵2＞1，
∴f（2）=22﹣4×2+3=﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了分段函数的计算．
4．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【考点】函数的零点；对数函数的图象与性质．
【专题】计算题．
【分析】可先构造出函数f（x）=lnx+x﹣4，带入可得f（2）＜0，f（3）＞0，据此解答．
【解答】解：设f（x）=lnx+x﹣4，则f（2）=ln2+2﹣4=ln2﹣2＜0，
f（3）=ln3+3﹣4=ln3﹣1＞0，所以x0属于区间（2，3）．
故选：C．
【点评】本小题主要考查简单的构造函数求出函数零点的方法，注意灵活运用，属于基础题．
5．若函数f（x）的定义域为[2，4]，则函数y=f（logx）的定义域为（ ）
A．[，1] B．[4，16] C．[2，4] D．[，]
【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数的定义域及其求法．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】由函数f（x）的定义域可得2≤logx≤4，然后求解对数不等式得答案．
【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[2，4]，
∴由2≤logx≤4，解得，
∴函数y=f（logx）的定义域为[]．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题．
6．下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条条直线和一个点确定一个平面
C．梯形确定一个平面
D．四边形确定一个平面
【考点】平面的基本性质及推论．
【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】在A中，过共线的三点不能确定一个平面；在B中，经过一条直线和这条直线上一个点不能确定一个平面；在C中，梯形确定一个平面；在D中，空间四边形不一定能确定一个平面．
【解答】解：在A中，经过不共线的三点确定一个平面，故A错误；
在B中，经过一条直线和这条直线外一个点确定一个平面，故B错误；
在C中，由梯形中有一组对边平行，得到梯形确定一个平面，故C正确；
在D中，空间四边形不一定能确定一个平面，如右图的空间四边形就不能确定一个平面，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
7．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，即可求出体积．
【解答】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，
故其体积V=×4×=．
故选C．
【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．
8．已知直线l过点P（3，4），它的倾斜角是直线y=x+1的两倍，则直线l的方程为（ ）
A．y﹣4=0 B．x﹣3=0 C．y﹣4=2（x﹣3） D．y﹣4=x﹣3
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；直线与圆．
【分析】由已知直线的方程求得其倾斜角，进一步得到直线l的倾斜角为90°，再由直线过点P（3，4）求得直线方程．
【解答】解：∵直线y=x+1的斜率为1，
∴其倾斜角为45°，则直线l1的倾斜角为90°，
又直线l过点P（3，4），
∴其方程为x=3，即x+3=0．
故选：B．
【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了倾斜角和斜率的关系，是基础题．
9．若点P（a，b）在圆C：x2+y2=1的外部，则直线ax+by+1=0与圆C的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．以上均有可能
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【分析】根据点P在圆C的外部，得出点P到圆心的距离d1＞r，计算圆心到直线ax+by+1=0的距离，判断出直线与圆C的位置关系．
【解答】解：∵点P（a，b）在圆C：x2+y2=1的外部，
∴点P到圆心的距离d1＞r，
即a2+b2＞1；
又圆心到直线ax+by+1=0的距离为
d2=＜1=r，
∴直线与圆C相交．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆以及直线与圆的位置关系的应用问题，是基础题目．
10．设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（ ）
A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0
C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】转化思想．
【分析】对题设中的条件进行变化，利用函数的性质得到不等式关系，再由不等式的运算性质整理变形成结果，与四个选项比对即可得出正确选项．
【解答】解：∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，
∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3，x3＞﹣x1，
又f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，
∴f（x1）＜f（﹣x2）=﹣f（x2），f（x2）＜f（﹣x3）=﹣f（x3），f（x3）＜f（﹣x1）=﹣f（x1），
∴f（x1）+f（x2）＜0，f（x2）+f（x3）＜0，f（x3）+f（x1）＜0，
∴三式相加整理得f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0
故选B
【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，解题的关键是根据函数的性质得到f（x1）+f（x2）＜0，f（x2）+f（x3）＜0，f（x3）+f（x1）＜0，再由不等式的性质即可得到结论．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分.、共25分.
11．已知f（x）=ax3+bx﹣4，若f（﹣2）=2，则f（2）= ﹣10 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】可以判断f（﹣2）和f（2）的关系，从而可以得到f（2）=﹣f（﹣2）﹣8，这样将f（﹣2）=2带入即可求出f（2）．
【解答】解：f（2）=a 23+b 2﹣4
=﹣[a （﹣2）3+b （﹣2）﹣4]﹣8
=﹣f（﹣2）﹣8
=﹣2﹣8
=﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】考查奇函数的概念：f（﹣x）=﹣f（x），比较f（2）和f（﹣2）的关系是本题求解的关键．
12．若直线进过点A（1，0）与点B（4，），在直线AB的倾斜角为 ．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．
【分析】先根据直线的斜率公式求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出倾斜角的值．
【解答】解：∵直线经过点A（1，0）与点B（4，），
∴kAB==，
设直线AB的倾斜角为θ，
∴tanθ=，
∵0≤0＜π，
∴θ=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式，倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．
13．一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm的正方形，则它的体积是 32 cm2．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】侧面展开图的边长为底面周长和高．
【解答】解：∵正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm的正方形，
∴正四棱柱的底面边长为2，高为8．
∴正四棱柱的体积V=22×8=32．
故答案为32．
【点评】本题考查了正四棱柱的结构特征，体积计算，属于基础题．
14．已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长，c为斜边．若点（m，n）在直线ax+by+2c=0上，则m2+n2的最小值是 4 ．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】计算题．
【分析】由直角三角形且c为斜边，根据勾股定理表示出一个关系式，因为所求式子即为原点到已知点距离的平方，而点到直线的距离只有垂线段最短，利用点到直线的距离公式表示出原点到已知直线的距离，把表示出的关系式代入即可求出原点到已知直线的距离，平方即可得到所求式子的最小值．
【解答】解：根据题意可知：当（m，n）运动到原点与已知直线作垂线的垂足位置时，m2+n2的值最小，
由三角形为直角三角形，且c为斜边，根据勾股定理得：c2=a2+b2，
所以原点（0，0）到直线ax+by+2c=0的距离d==2，
则m2+n2的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了点到直线的距离公式，以及勾股定理．理解当动点（m，n）运动到原点到已知直线垂直时垂足的位置时，所求式子达到最小是解本题的关键．
15．已知函数f（x）=，则f（）+f（）+f（）+…+f（）= 1007 ．
【考点】函数的值．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】由已知中函数f（x）=，可得：f（x）+f（1﹣x）=1，进而得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（1﹣x）==，
∴f（x）+f（1﹣x）=1，
∴f（）+f（）+f（）+…+f（）=1007，
故答案为：1007．
【点评】本题考查的知识点是函数求值，其中根据已知确定出f（x）+f（1﹣x）=1，是解答的关键．
三、解答题：本大题共5题，共45分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．计算下列各式的值：
（1）（9.6）0+lg25+lg4+7；
（2）+﹣．
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）化0指数幂为1，然后结合对数的运算性质求得答案；
（2）化根式内部的数为完全平方数的形式，开方后化简得答案．
【解答】解：（1）（9.6）0+lg25+lg4+7
=1+lg（25×4）+2=5；
（2）+﹣
=
=（）+（）﹣（）
=0．
【点评】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．
17．已知集合A={x|2≤2x≤32}，B={x|y=log2（3﹣x）}．
（Ⅰ）求A∩B；
（Ⅱ）若C={x|x≥a+1}，且（A∩B） C，求实数a的取值范围．
【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）求出A与B中其他不等式的解集，确定出A与B，求出A∩B即可；
（Ⅱ）由A与B交集是C的子集，由A与B的交集及C求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）由集合A中的不等式2≤2x≤32，
变形得：21≤2x≤25，
解得：1≤x≤5，
即A={x|1≤x≤5}，
令3﹣x＞0，得x＜3，
得到B={x|x＜3}，
则A∩B={x|1≤x＜3}；
（Ⅱ）∵A∩B={x|1≤x＜3}，C={x|x≥a+1}，
若（A∩B） C，
∴a+1≤1，
解得：a≤0．
【点评】此题考查了交集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
18．已知幂函数f（x）的图象经过点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）利用幂函数的定义，设f（x）=xα（α是常数），根据f（x）的图象过点，列出关于α的方程，求解即可得到答案；
（Ⅱ）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，作差f（x1）﹣f（x2）化简到能直接判断符号为止，利用函数单调性的定义，即可证得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是幂函数，则设f（x）=xα（α是常数），
∵f（x）的图象过点，
∴，
∴α=﹣23，
故f（x）=x﹣2，即；
（Ⅱ）f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．证明如下：
设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
∴，
∵0＜x1＜x2∈（0，+∞），
∴x2﹣x1＞0，，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．
【点评】本题考查了求函数的解析式，函数的单调性的证明．求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．函数单调性的证明一般选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于基础题．
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）利用E，F分别是AC，BC的中点，说明EF∥AB，通过直线与平面平行的判定定理直接证明EF∥平面PAB．
（2）证明PE⊥AC，利用平面与平面垂直的判定定理证明PE⊥平面ABC，通过证明PE⊥BC．EF⊥BC，EF∩PE=E，证明BC⊥平面PEF，然后推出平面PEF⊥平面PBC．
【解答】（本小题满分14分）
证明：（1）∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB．﹣﹣﹣
又EF 平面PAB，﹣﹣﹣﹣﹣
AB 平面PAB，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴EF∥平面PAB．﹣﹣﹣﹣﹣
（2）在三角形PAC中，∵PA=PC，E为AC中点，
∴PE⊥AC．﹣﹣﹣﹣﹣
∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC=AC，
∴PE⊥平面ABC．﹣﹣﹣﹣﹣
∴PE⊥BC．﹣﹣﹣﹣﹣
又EF∥AB，∠ABC=90°，∴EF⊥BC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又EF∩PE=E，
∴BC⊥平面PEF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴平面PEF⊥平面PBC．﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面垂直的性质定理，考查空间想象能力，逻辑推理能力．
20．已知圆C的圆心为原点O，且与直线相切．
（1）求圆C的方程；
（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：直线AB恒过定点．
【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；圆的标准方程．
【专题】计算题．
【分析】（1）由圆C与直线相切，得到圆心到直线的距离d=r，故利用点到直线的距离公式求出d的值，即为圆C的半径，又圆心为原点，写出圆C的方程即可；
（2）由PA，PB为圆O的两条切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与PB垂直，根据90°圆周角所对的弦为直径可得A，B在以OP为直径的圆上，设出P的坐标为（8，b），由P和O的坐标，利用线段中点坐标公式求出OP中点坐标，即为以OP为直径的圆的圆心坐标，利用两点间的距离公式求出OP的长，即为半径，写出以OP为直径的圆方程，整理后，由AB为两圆的公共弦，两圆方程相减消去平方项，得到弦AB所在直线的方程，可得出此直线方程过（2，0），得证．
【解答】
（本小题满分14分）
解：（1）依题意得：圆心（0，0）到直线的距离d=r，
∴d=，﹣﹣﹣
所以圆C的方程为x2+y2=16①；﹣﹣﹣﹣﹣
（2）连接OA，OB，
∵PA，PB是圆C的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴A，B在以OP为直径的圆上，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设点P的坐标为（8，b），b∈R，
则线段OP的中点坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴以OP为直径的圆方程为，﹣﹣﹣﹣﹣
化简得：x2+y2﹣8x﹣by=0②，b∈R，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵AB为两圆的公共弦，
∴①﹣②得：直线AB的方程为8x+by=16，b∈R，即8（x﹣2）+by=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
则直线AB恒过定点（2，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，切线的性质，圆周角定理，线段中点坐标公式，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两圆公共弦的性质，以及恒过定点的直线方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，即d=r，熟练掌握此性质是解本题第一问的关键．
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