江苏省常州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学（含答案）

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2024年秋学期高二期中质量调研
数学试卷
2024.11
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 经过，两点的直线倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. 如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为
A. （1, 0） B. （2, 0） C. （3, 0） D. （－1, 0）
3. 双曲线实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为（）
A. B. C. D.
4. 已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 过抛物线焦点F直线l交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），若直线l的倾斜角为，则的值为（）
A3 B. 2 C. D.
6. 如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
7. 已知，分别是双曲线（a，）的左、右焦点，A为双曲线的右顶点，线段的垂直平分线交双曲线于点P，其中，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
8. 设直线l：，圆C：，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使，则m的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 设a为实数，直线，，则（）
A. 当时，不经过第一象限 B. 的充要条件是
C若，则或 D. 恒过点
10. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则（）
A B. C. D.
11. 已知F、为椭圆C：的左、右焦点，直线l：（）与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）
A. 四边形周长为8 B. 的最小值为
C. 直线BE的斜率为2k D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 点与点关于直线l：对称，则的值为________．
13. 已知点，，点满足直线的斜率之积为，则的最小值为________．
14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点满足，则点的轨迹为圆，设其圆心为，已知直线：经过定点，则的面积的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线方程为，若直线过点，且．
（1）求直线和直线的交点坐标；
（2）已知直线经过直线与直线的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线的方程．
16. 已知圆：，圆：（），直线：，：．
（1）若圆与圆相内切，求实数m的值；
（2）若，被圆所截得的弦的长度之比为，求实数的值．
17. 已知双曲线C：（，）的一条渐近线为，且一个焦点到渐近线的距离为2．
（1）求双曲线方程；
（2）过点（的直线与双曲线左、右两支分别交于两点，动点M满足，求点M的轨迹方程．
18. 如图，已知抛物线C：（）的焦点F，且经过点，．
（1）求A点的坐标；
（2）直线l交抛物线C于M，N两点，过点A作于D，且，证明：存在定点Q，使得DQ为定值．
19. 《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（）．设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”．
（1）若，求曲线H的方程；
（2）若“齐备直线”：与曲线H相交于A，B两点，点M为曲线H上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为，，试判断是否存在λ，使得取得最小值？说明理由；
（3）若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且N为线段ST的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点．
2024年秋学期高二期中质量调研
数学试卷
2024.11
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1.
【答案】A
2.
【答案】A
3.
【答案】D
4.
【答案】D
5.
【答案】C
6.
【答案】A
7.
【答案】C
8.
【答案】B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】AB
10.
【答案】ABD
11.
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）先求直线的方程，联立，的方程，解方程组可得交点坐标.
（2）设直线的点斜式方程，利用直线在两坐标轴上的截距的数量关系列方程，可求斜率，得到直线的方程.
【小问1详解】
经过点且与垂直的直线为：：，即.
由.
所以直线和直线的交点坐标为：.
【小问2详解】
因为直线与两坐标轴都相交，故斜率一定存在且不为0.
设：.
交轴于点：，交轴于点：.
由或.
所以的方程为：或.
16.
【解析】
【分析】（1）根据半径与圆心距的关系可求实数的值.
（2）根据弦长的长度之比可得关于的方程，从而可求实数的值.
【小问1详解】
由题设可得，，
因为圆与圆相内切，故，其中，
解得.
【小问2详解】
到的距离为，到的距离为，
故，解得.
17.
【解析】
【分析】（1）根据渐近线及焦点到渐近线的距离可求基本量，从而可求双曲线的方程；
（2）设直线，联立直线方程和双曲线方程后结合韦达定理可用表示的坐标，从而可求其轨迹.
【小问1详解】
因为双曲线渐近线的方程为：，则，
而焦点到渐近线的距离为2，故（为半焦距），故，
故，故双曲线方程为：.
【小问2详解】
由题设可得的斜率必定存在，设直线，，
由可得，
因为直线与双曲线左、右两支分别交于两点，
故，故，
又，而，
因，故，
所以，故，故，代入后可得，
因为，故，
故的轨迹方程为：.
18.
【解析】
【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m即可得的坐标.
（2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据及向量垂直的坐标表示列方程，求k、n数量关系，确定所过定点，再由易知在以为直径的圆上，即可证结论.
【小问1详解】
由抛物线定义知：，则，故，
又在抛物线上，则，可得，故.
【小问2详解】
设，，由（1）知：，
所以，，又，故，
所以，
因为的斜率不为零，故设直线，
联立，整理得，且，
所以，，则，，
综上，，
当时，过定点；
当时，过定点，即共线，不合题意；
所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上，
而中点为，即为定值，得证.
19.
【解析】
【分析】（1）把点满足的条件用坐标表示出来，整理化简即可；
（2）把点满足的条件用坐标表示出来整理可得的方程，利用两点表示斜率公式求出，进而，结合基本不等式计算即可求解；
（3）由（2）得曲线：，设，求出点的坐标，进而可得的坐标，代入双曲线方程，求出的关系，联立双曲线方程，整理化简可得一元二次方程，利用即可证明.
【小问1详解】
当时，定直线：，比值：.
设，则点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，
即，
两边平方，整理得：，即为曲线的方程.
【小问2详解】
因为动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（），
所以，整理得，
即，即为曲线的方程.
设，则，
，
得，
当且仅当即时，等号成立，
所以存在使得取得最小值4.
【小问3详解】
由（2）知，当时，曲线：，双曲线的渐近线方程为：，
如图：
设，则，解得，
即，所以，
代入双曲线方程，得，
整理得，即，
解得或.
当时，，若，则，
，消去得，方程有唯一的解，
同理，若，得，方程有唯一的解，
故直线与曲线H有且仅有一个公共点；
当时，，消去得，
，方程有唯一的解，
故直线与曲线H有且仅有一个公共点.
综上，直线与曲线H有且仅有一个公共点.
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