直线和圆的位置关系 同步提升训练(原卷版+解析版)

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名称 直线和圆的位置关系 同步提升训练(原卷版+解析版)
格式 zip
文件大小 3.1MB
资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2024-11-29 20:19:08

文档简介

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直线和圆的位置关系 同步提升训练
一.选择题(共13小题)
1.如图,在四边形材料ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=9cm,AB=20cm,BC=24cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板,则此圆的半径是(  )
A.cm B.8cm C.6cm D.10cm
【思路点拔】如图,当AB,BC,CD相切于⊙O于点E,F,G时,⊙O的面积最大.连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,OG,过点D作DH⊥BC于点H.利用面积法构建方程求解.
【解答】解:如图,当AB,BC,CD相切于⊙O于点E,F,G时,⊙O的面积最大.连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,OG,过点D作DH⊥BC于点H.
∵AD∥CB,∠BAD=90°,
∴∠ABC=90°,
∵∠DHB=90°,
∴四边形ABHD是矩形,
∴AB=DH=20cm,AD=BH=9cm,
∵BC=24cm,
∴CH=BC﹣BH=24﹣9=15(cm),
∴CD25(cm),
设OE=OF=OG=r cm,
则有(9+24)×2020×r24×r25×r9×(20﹣r),
∴r=8,
故选:B.
2.如图是“光盘行动”的宣传海报,图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是(  )
A.相切 B.相交 C.相离 D.平行
【思路点拔】直接利用直线与圆的位置关系的定义进行判断.
【解答】解:根据直线与圆的位置关系可得,图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系相交,
故选:B.
3.如图,PA,PB是⊙O的切线,A、B为切点,若∠AOB=128°,则∠P的度数为(  )
A.32° B.52° C.64° D.72°
【思路点拔】利用切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°,然后利用四边形内角和是360°,进行计算即可解答.
【解答】解:∵PA,PB是⊙O的切线,A、B为切点,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∵∠AOB=128°,
∴∠P=360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠AOB=52°,
故选:B.
4.如图是不倒翁的主视图,不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA,PB分别相切于点A,B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若∠OAB=28°,则∠APB的度数为(  )
A.28° B.50° C.56° D.62°
【思路点拔】连接OB,由AO=OB得,∠OAB=∠OBA=28°,∠AOB=180°﹣2∠OAB=124°;因为PA、PB分别切⊙O于点A、B,则∠OAP=∠OBP=90°,利用四边形内角和即可求出∠APB.
【解答】解:连接OB,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=28°,
∴∠AOB=124°,
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠OAP+∠OBP=180°,
∴∠APB+∠AOB=180°;
∴∠APB=56°.
故选:C.
5.如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,过点C的切线与AB的延长线交于点P,若AC=PC=3,则PB的长为(  )
A. B. C. D.3
【思路点拔】连结OC,根据切线的性质得到∠PCO=90°,根据OC=OA,得到∠A=∠OCA,根据AC=PC,得到∠P=∠A,在△APC中,根据三角形内角和定理求得∠P=30°,根据含30度角的直角三角形的性质得到OP=2OC=2r,在Rt△POC中,根据tanP求出⊙O的半径r即可得出答案.
【解答】解:如图,连结OC,
∵PC是⊙O的切线,
∴∠PCO=90°,
∵OC=OA,
∴∠A=∠OCA,
∵AC=PC,
∴∠P=∠A,
设∠A=∠OCA=∠P=x°,
在△APC中,∠A+∠P+∠PCA=180°,
∴x+x+90+x=180,
∴x=30,
∴∠P=30°,
∵∠PCO=90°,
∴OP=2OC=2r,
在Rt△POC中,tanP,
∴,
∴r=3,
∴PB=OP﹣OB=2r﹣r=r=3.
故选:D.
6.如图,AB是圆O的直径,弦AD平分∠BAC,过点D的切线交AC于点E,∠EAD=25°,则下列结论错误的是(  )
A.AE⊥DE B.AE∥OD C.DE=OD D.∠BOD=50°
【思路点拔】根据切线的性质得到OD⊥DE,证明OD∥AC,由此判断A、B选项;过点O作OF⊥AC于F,利用矩形的性质、直角三角形的性质判断C选项;利用三角形外角性质求得∠BOD的度数,从而判断D选项.
【解答】解:∵弦AD平分∠BAC,∠EAD=25°,
∴∠OAD=∠ODA=25°.
∴∠BOD=2∠OAD=50°.
故选项D不符合题意;
∵∠OAD=∠CAD,
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AC,即AE∥OD,故选项B不符合题意;
∵DE是⊙O的切线,
∴OD⊥DE.
∴DE⊥AE.故选项A不符合题意;
如图,过点O作OF⊥AC于F,则四边形OFED是矩形,
∴OF=DE.
在直角△AFO中,OA>OF.
∵OD=OA,
∴DE<OD.
故选项C符合题意.
故选:C.
7.如图,在等腰△ABC中,∠BAC=120°,BC=6,⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切,⊙O的半径为3.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α(0°<α≤360°),B、C的对应点分别为B′、C′,在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
【思路点拔】设⊙O与边BA的延长线、射线AC分别相切于点T、点G,连接OA交⊙O于点L,连接OT,作AE⊥BC于点E,OH⊥BC于点H,先求得BE=CE=3,∠B=∠ACB=30°,则AE=BE tan30°=3,再证明OA∥BC,则OH=AE=OT=OL=3,可证明直线BC与⊙O相切,再求得OA=2OT=6,则AL=3,作AK⊥B′C′于点K,由旋转得AK=AE=3,∠AKB′=∠AEB=90°,直线B′C′与⊙O相切存在三种情况,一是△ABC绕点A旋转到点K与点L重合,二是△ABC绕点A旋转到B′C′∥OA,三是△ABC绕点A旋转到B′C′与BC重合,即旋转角α=360°,分别加以说明即可.
【解答】解:如图1,由题意可知⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切,⊙O的半径为3,
设⊙O与边BA的延长线、射线AC分别相切于点T、点G,连接OA交⊙O于点L,连接OT,
∴AT⊥OT,OT=3,
作AE⊥BC于点E,OH⊥BC于点H,则∠AEB=90°,
∵AB=AC,∠BAC=120°,BC=6,
∴BE=CEBC=3,∠B=∠ACB(∠180﹣∠BAC)=30°,
∴AE=BE tan30°=33,
∵∠TAC=180°﹣∠BAC=60°,
∴∠OAG=∠OAT∠TAC=30°,
∴∠OAG=∠ACB,
∴OA∥BC,
∴OH=AE=OT=OL=3,
∴直线BC与⊙O相切,
∵∠ATO=90°,
∴OA=2OT=6,
∴AL=3,
作AK⊥B′C′于点K,由旋转得AK=AE=3,∠AKB′=∠AEB=90°,
如图2,△ABC绕点A旋转到点K与点L重合,
∵∠OLB′=180°﹣∠ALB′=180°﹣∠AKB′=90°,
∴B′C′⊥OL,
∵OL为⊙O的半径,
∴B′C′与⊙O相切;
如图3,△ABC绕点A旋转到B′C′∥OA,作OR⊥B′C′交C′B′的延长线于点R,
∵OR=AK=3,
∴B′C′与⊙O相切;
当△ABC绕点A旋转到B′C′与BC重合,即旋转角α=360°,则B′C′与⊙O相切,
综上所述,在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切3次,
故选:C.
8.P为⊙O外一点,PT与⊙O相切于点T,OP=10,∠OPT=30°,则PT长为(  )
A.5 B.5 C.8 D.9
【思路点拔】根据切线的性质得到∠OTP=90°,根据含30度角的直角三角形的性质得到OT的值,根据勾股定理即可求解.
【解答】解:方法一:如图,∵PT与⊙O相切于点T,
∴∠OTP=90°,
又∵OP=10,∠OPT=30°,
∴OTOP10=5,
∴PT5.
故选:A.
方法二:在Rt△OPT中,∵cosP,
∴PT=OP cos30°=105.
故选:A.
9.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点G,则下列结论:①∠BAD=∠CAD;②若∠BAC=60°,则∠BEC=120°;③若点G为BC的中点,则∠BGD=90°;④BD=DE.其中一定正确的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
【思路点拔】利用三角形内心的性质得到∠BAD=∠CAD,则可对①进行判断;直接利用三角形内心的性质对②进行判断;根据垂径定理则可对③进行判断;通过证明∠DEB=∠DBE得到DB=DE,则可对④进行判断.
【解答】解:∵E是△ABC的内心,
∴AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,故①正确;
如图,连接BE,CE,
∵E是△ABC的内心,
∴∠EBC∠ABC,∠ECBACB,
∵∠BAC=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠ECB=180°(∠ABC+∠ACB)=120°,故②正确;
∵∠BAD=∠CAD,
∴,
∴OD⊥BC,
∵点G为BC的中点,
∴G一定在OD上,
∴∠BGD=90°,故③正确;
如图,连接BE,
∴BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∵∠DBC=∠DAC=∠BAD,
∴∠DBC+∠EBC=∠EBA+∠EAB,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE,故④正确.
∴一定正确的①②③④,共4个.
故选:D.
10.如图,AB是⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,∠ABC=25°,OC的延长线交PA于点P,则∠P的度数是(  )
A.25° B.35° C.40° D.50°
【思路点拔】由圆周角定理可求得∠AOP的度数,由切线的性质可知∠PAO=90°,则可求得∠P.
【解答】解:∵∠ABC=25°,
∴∠AOP=2∠ABC=50°,
∵PA是⊙O的切线,
∴PA⊥AB,
∴∠PAO=90°,
∴∠P=90°﹣∠AOP=90°﹣50°=40°,
故选:C.
11.已知三角形ABE为直角三角形,∠ABE=90°,DE为圆的直径,BC为圆O切线,C为切点,CA=CD,则△ABC和△CDE面积之比为(  )
A.1:3 B.1:2 C.:2 D.(1):1
【思路点拔】根据圆周角定理,切线的性质以及等腰三角形的判定和性质,可以先证明△ABC和△COD,再由∴S△COD=S△COES△DCE,进而得出S△ABCS△DCE,即△ABC和△CDE面积之比为1:2.
【解答】解:解法一:如图,连接OC,
∵BC是⊙O的切线,OC为半径,
∴OC⊥BC,
即∠OCB=90°,
∴∠COD+∠OBC=90°,
又∵∠ABE=90°,即∠ABC+∠OBC=90°,
∴∠ABC=∠COD,
∵DE是⊙O的直径,
∴∠DCE=90°,即∠OCE+∠OCD=90°,
又∠A+∠E=90°,而∠E=∠OCE,
∴∠A=∠OCD,
在△ABC和△COD中,

∴△ABC≌△COD(AAS),
又∵EO=DO,
∴S△COD=S△COES△DCE,
∴S△ABCS△DCE,
即△ABC和△CDE面积之比为1:2;
解法二:如图,连接OC,过点B作BF⊥AC,
∵BC是⊙O的切线,OC为半径,
∴OC⊥BC,
即∠OCB=90°,
∴∠COD+∠BCD=90°,
又∵∠ABE=90°,即∠ABC+∠BCD=90°,
∴∠ACB=∠COD,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC,
又∵∠A+∠E=90°=∠ODC+∠E,
∴∠A=∠ACB,
∴AB=BC,
∴AFACCD,
∵△ABF∽△DEC,
∴,
∴△ABC和△CDE面积之比(AC BF):(CD EC)
=BF:EC
=1:2.
故选:B.
12.如图,AD,BC是⊙O的直径,点P在BC的延长线上,PA与⊙O相切于点A,连接BD,若∠P=40°,则∠ADB的度数为(  )
A.65° B.60° C.50° D.25°
【思路点拔】根据切线的性质得出∠OAP=90°,进而得出∠BOD的度数,再利用等腰三角形的性质得出∠ADB的度数即可.
【解答】解:∵PA与⊙O相切于点A,∠P=40°,
∴∠OAP=90°,
∴∠BOD=∠AOP=90°﹣∠P=50°,
∵OB=OD,
∴∠ADB=∠OBD=(180°﹣∠BOD)÷2=(180°﹣50°)÷2=65°,
故选:A.
13.如图,AB是⊙O的直径,AB=6,BC是⊙O的切线,D是AC的中点,OD=2,则AC的值为(  )
A.10 B.8 C. D.
【思路点拔】由O为AB中点,D是AC的中点,可得BC=2OD=4,根据BC是⊙O的切线和勾股定理即可求得答案.
【解答】解:∵O为AB中点,D是AC的中点,
∴OD是△ABC的中位线,
∴BC=2OD=2×2=4,
∵AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,
∴∠ABC=90°,
∴AC2,
故选:D.
二.多选题(共1小题)
(多选)14.如图,△ABC的内切圆(圆心为点O)与各边分别相切于点D,E,F,连接EF,DE,DF.以点B为圆心,以适当长为半径作弧分别交AB,BC于G,H两点;分别以点G,H为圆心,以大于GH的长为半径作弧,两条弧交于点P;作射线BP.下列说法正确的是(  )
A.射线BP一定过点O
B.点O是△DEF三条中线的交点
C.若△ABC是等边三角形,则DEBC
D.点O不是△DEF三条边的垂直平分线的交点
【思路点拔】根据基本尺规作图、三角形的内心的定义、外心的定义、等边三角形的性质判断即可.
【解答】解:∵圆O是△ABC的内切圆,
∴点O是△ABC三个内角平分线的交点,
由尺规作图可知,射线BP是∠ABC的平分线,
∴射线BP一定过点O,故A选项说法正确,符合题意;
点O是△DEF三边垂直平分线的交点,故B、D选项说法错误,不符合题意;
∵△ABC是等边三角形,
∴点D、E分别为AB、AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DEBC,故C选项说法正确,符合题意;
故选:AC.
三.填空题(共14小题)
15.如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径,过点A作⊙O的切线AD.若∠B=35°,则∠DAC的度数是  35 度.
【思路点拔】根据直径所对的圆周角是直角,可得∠BAC=55°,再根据切线的性质可得∠BAD=90°,即可求解.
【解答】解:∵AB为直径,点C在圆O上,
∴∠C=90°,
∵∠B=35°,
∴∠BAC=55°,
∵AD与⊙O相切,
∴AB⊥AD,即∠BAD=90°,
∴∠CAD=90°﹣∠BAC=35°.
故答案为:35.
16.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为  289 .
【思路点拔】如图,设内切圆的圆心为O,连接OE、OD,则四边形EODC为正方形,然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC=AB+6,(BC﹣AC)2=49,接着利用完全平方公式进行代数变形,最后解关于AB的一元二次方程解决问题.
【解答】解:如图,设内切圆的圆心为O,连接OE,OD,
则四边形EODC为正方形,
∴OE=OD=3,
∴AC+BC﹣AB=6,
∴AC+BC=AB+6,
∴(AC+BC)2=(AB+6)2,
∴BC2+AC2+2BC×AC=AB2+12AB+36,
而BC2+AC2=AB2,
∴2BC×AC=12AB+36①,
∵小正方形的面积为49,
∴(BC﹣AC)2=49,
∴BC2+AC2﹣2BC×AC=49②,
把①代入②中得
AB2﹣12AB﹣85=0,
∴(AB﹣17)(AB+5)=0,
∴AB=17(负值舍去),
∴大正方形的面积为 289.
故答案为:289.
17.如图,木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A,长边与⊙O相切于点B,角尺的直角顶点为C.已知AC=6cm,CB=8cm,则⊙O的半径为   cm.
【思路点拔】连接OA,OB,过点A作AD⊥OB于点D,利用矩形的判定与性质得到BD=AC=6cm,AD=BC=8cm,设⊙O的半径为rcm,在Rt△OAD中,利用勾股定理列出方程即可求解.
【解答】解:连接OA,OB,过点A作AD⊥OB于点D,如图,
∵长边与⊙O相切于点B,
∴OB⊥BC,
∵AC⊥BC,AD⊥OB,
∴四边形ACBD为矩形,
∴BD=AC=6cm,AD=BC=8cm.
设⊙O的半径为r cm,
则OA=OB=r cm,
∴OD=OB﹣BD=(r﹣6)cm,
在Rt△OAD中,
∵AD2+OD2=OA2,
∴82+(r﹣6)2=r2,
解得:r.
故答案为:.
18.如图,在△ABC中,∠B=90°,⊙O过点A、C,与AB交于点D,与BC相切于点C,若∠A=32°,则∠ADO= 64° .
【思路点拔】连接OC,根据圆周角定理求出∠DOC,根据切线的性质得到OC⊥BC,证明AB∥OC,根据平行线的性质解答即可.
【解答】解:连接OC,
∵∠A=32°,
∴∠DOC=2∠A=64°,
∵BC与⊙O相切于点C,
∴OC⊥BC,
∵∠B=90°,
∴∠B+∠OCB=180°,
∴AB∥OC,
∴∠ADO=∠DOC=64°,
故答案为:64°.
19.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=2,半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移(⊙O可以与该三角形的边相切),则点A到⊙O上的点的距离的最大值为  21 .
【思路点拔】连接OE、OF,根据正切的定义求出∠ABC,根据切线长定理得到∠OBF=30°,根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理计算,得到答案.
【解答】解:当⊙O与BC、BA都相切时,连接AO并延长交⊙O于点D,则AD为点A到⊙O上的点的距离的最大值,
设⊙O与BC、BA的切点分别为E、F,连接OE、OF,
则OE⊥BC,OF⊥AB,
∵AC=6,BC=2,
∴tan∠ABC,AB4,
∴∠ABC=60°,
∴∠OBF=30°,
∴BF,
∴AF=AB﹣BF=3,
∴OA2,
∴AD=21,
故答案为:21.
20.如图,AB、AC是⊙O的弦,过点A的切线交CB的延长线于点D,若∠BAD=35°,则∠C= 35 °.
【思路点拔】连接AO并延长交⊙O于点E,连接BE,根据切线的性质可得∠OAD=90°,从而求出∠BAE=55°,然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ABE=90°,从而利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠E的度数,最后根据同弧所对的圆周角相等,即可解答.
【解答】解:连接OA并延长交⊙O于点E,连接BE,
∵AD与⊙O相切于点A,
∴∠OAD=90°,
∵∠BAD=35°,
∴∠BAE=∠OAD﹣∠BAD=55°,
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ABE=90°,
∴∠E=90°﹣∠BAE=35°,
∴∠C=∠E=35°,
故答案为:35.
21.如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,点O在BC上,以OB为半径的圆与AC相切于点A.D是BC边上的动点,当△ACD为直角三角形时,AD的长为  或 .
【思路点拔】根据切线的性质定理,勾股定理,直角三角形的等面积法解答即可.
【解答】解:连接OA,过点A作AD⊥BC于点D,
∵圆与AC相切于点A.
∴OA⊥AC,
由题意可知:D点位置分为两种情况,
①当∠CAD为90°时,此时D点与O点重合,设圆的半径=r,
∴OA=r,OC=4﹣r,
∵AC=2,
在Rt△AOC中,根据勾股定理可得:r2+4=(4﹣r)2,
解得:r,
即AD=AO;
②当∠ADC=90°时,AD,
∵AO,AC=2,OC=4﹣r,
∴AD,
综上所述,AD的长为或,
故答案为:或.
22.如图,PA与⊙O相切于点A,PO与⊙O相交于点B,点C在上,且与点A、B不重合.若∠P=26°,则∠C的度数为  32 °.
【思路点拔】连接AO并延长交⊙O于点D,连接DB,由切线的性质得出∠OAP=90°,由∠P=26°,求出∠AOP=64°,由圆周角定理即可求出∠C=∠D=32°.
【解答】解:如图,连接AO并延长交⊙O于点D,连接DB,
∵PA与⊙O相切于点A,
∴∠OAP=90°,
∵∠P=26°,
∴∠AOP=90°﹣∠P=90°﹣26°=64°,
∴∠D∠AOP64°=32°,
∵点C在上,且与点A、B不重合,
∴∠C=∠D=32°,
故答案为:32.
23.如图,射线AB与⊙O相切于点B,经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C,连接BC,若∠A=40°,则∠ACB= 25 °.
【思路点拔】连接OB,利用切线的性质定理可求∠ABO=90°,利用直角三角形的两个锐角互余可得∠AOB,利用圆周角定理即可求得结论.
【解答】解:连接OB,如图,
∵射线AB与⊙O相切于点B,
∴OB⊥AB,
∴∠ABO=90°.
∵∠A=40°,
∴∠AOB=50°,
∴∠ACB∠AOB=25°.
故答案为:25.
24.如图,AB与⊙O相切于点C,AO=3,⊙O的半径为2,则AC的长为   .
【思路点拔】连接OC,根据切线的性质得到OC⊥AC,再根据勾股定理计算,得到答案.
【解答】解:连接OC,
∵AB与⊙O相切于点C,
∴OC⊥AC,
在Rt△AOC中,OC=2,OA=3,
则AC,
故答案为:.
25.如图,AB切⊙O于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连结BC.若∠A=40°,则∠C的度数为  25° .
【思路点拔】连接OB,先根据切线的性质求出∠AOB,再根据OB=OC,∠AOB=∠C+∠OBC即可解决问题.
【解答】解:如图,连接OB.
∵AB是⊙O切线,
∴OB⊥AB,
∴∠ABO=90°,
∵∠A=40°,
∴∠AOB=90°﹣∠A=50°,
∵OC=OB,
∴∠C=∠OBC,
∵∠AOB=∠C+∠OBC,
∴∠C=25°.
故答案为:25°.
26.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,O为内心,过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E.若DE=CD+BE,则线段CD的长为  2或 .
【思路点拔】连接BO,CO,结合内心的概念及平行线的判定分析可得当DE=CD+BE时,DE∥BC,从而利用相似三角形的判定和性质分析计算.
【解答】解:如图,过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E,连接BO,CO,
∵O为△ABC的内心,
∴CO平分∠ACB,BO平分∠ABC,
∴∠BCO=∠ACO,∠CBO=∠ABO,
当CD=OD时,则∠OCD=∠COD,
∴∠BCO=∠COD,
∴BC∥DE,
∴∠CBO=∠BOE,
∴BE=OE,
则DE=CD+BE,
设CD=OD=x,BE=OE=y,
在Rt△ABC中,AB10,
∴,即,
解得,
∴CD=2,
过点O作D′E′⊥AB,作DE∥BC,
∵点O为△ABC的内心,
∴OD=OE′,
在Rt△ODD′和Rt△OE′E中,

∴△ODD′≌△OE′E(ASA),
∴OE=OD′,
∴D′E′=DE=CD+BE=CD′+BE′=2,
在△AD′E′和△ABC中,

∴△AD′E′∽△ABC,
∴,
∴,
解得:AD′,
∴CD′=AC﹣AD′,
故答案为:2或.
27.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,连接BC,与⊙O交于点D,连接OD.若∠AOD=82°,则∠C= 49 °.
【思路点拔】根据AC是⊙O的切线,可以得到∠BAC=90°,再根据∠AOD=82°,可以得到∠ABD的度数,然后即可得到∠C的度数.
【解答】解:∵AC是⊙O的切线,
∴∠BAC=90°,
∵∠AOD=82°,
∴∠ABD=41°,
∴∠C=90°﹣∠ABD=90°﹣41°=49°,
故答案为:49.
28.中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段,一角圆池占之.”意思是说:“一块正方形田地,在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”,如图所示.
问题:此图中,正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M、N(点N在点M的右上方),若AB的长度为10丈,⊙O的半径为2丈,则BN的长度为  (8﹣2) 丈.
【思路点拔】连接OC,根据切线的性质得到OC⊥AC,根据正方形的性质得到∠OAC=45°,求出OA,结合图形计算,得到答案.
【解答】解:如图,设正方形的一边与⊙O的切点为C,连接OC,
则OC⊥AC,
∵四边形是正方形,AB是对角线,
∴∠OAC=45°,
∴OAOC=2丈,
∴BN=AB﹣AN=10﹣22=(8﹣2)丈,
故答案为:(8﹣2).
四.解答题(共32小题)
29.在⊙O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为D,∠AOC=60°,E为弦AB所对的优弧上一点.
(1)如图①,求∠AOB和∠CEB的大小;
(2)如图②,CE与AB相交于点F,EF=EB,过点E作⊙O的切线,与CO的延长线相交于点G,若OA=3,求EG的长.
【思路点拔】(1)由垂径定理得到,因此∠BOC=∠AOC=60°,得到∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°,由圆周角定理即可求出∠CEB的度数;
(2)由垂径定理,圆周角定理求出∠CEB的度数,得到∠C的度数,由三角形外角的性质求出∠EOG的度数,由锐角的正切定义即可求出EG的长.
【解答】解:(1)∵半径OC垂直于弦AB,
∴,
∴∠BOC=∠AOC=60°,
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°,
∵∠CEB∠BOC,
∴∠CEB=30°;
(2)如图,连接OE,
∵半径OC⊥AB,
∴,
∴∠CEB∠AOC=30°,
∵EF=EB,
∴∠EFB=∠B=75°,
∴∠DFC=∠EFB=75°,
∠DCF=90°﹣∠DFC=15°,
∵OE=OC,
∴∠C=∠OEC=15°,
∴∠EOG=∠C+∠OEC=30°,
∵GE切圆于E,
∴∠OEG=90°,
∴tan∠EOG,
∵OE=OA=3,
∴EG.
30.如图,AB为⊙O的直径,如果圆上的点D恰使∠ADC=∠B,求证:直线CD与⊙O相切.
【思路点拔】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出∠ODA+∠ADC=90°,则CD⊥OD,再由切线的判定即可得出结论.
【解答】证明:如图,连接OD,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ODA,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵∠ADC=∠B,
∴∠ODA+∠ADC=90°,
即∠CDO=90°,
∴CD⊥OD,
∵OD是⊙O的半径,
∴直线CD与⊙O相切.
31.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB是直径,C是的中点,过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若BC=6,AC=8,求CE,DE的长.
【思路点拔】(1)根据等腰三角形的性质以及圆心角、弦、弧之间的关系可得∠CAE=∠OCA,进而得到OC∥AE,再根据平行线的性质得出OC⊥EC即可;
(2)利用相似三角形的性质,勾股定理以及圆心角、弧、弦之间的关系进行计算即可.
【解答】(1)证明:如图,连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵点C是的中点,
∴∠OAC=∠CAE,
∴∠CAE=∠OCA,
∴OC∥AE,
∵AE⊥CE,
∴OC⊥CE,
∵OC是半径,
∴CE是⊙O的切线;
(2)解:∵AB为⊙O直径,
∴∠ACB=90°,
∵BC=6,AC=8,
∴AB10,
又∵∠BAC=∠CAE,∠AEC=∠ACB=90°,
∴△AEC∽△ACB,
∴,
即,
∴,
∵点C是的中点,即,
∴CD=BC=6,
∴,
答:DE,EC.
32.如图,已知△ABC内接于⊙O,CO的延长线交AB于点D,交⊙O于点E,交⊙O的切线AF于点F,且AF∥BC.
(1)求证:AO∥BE;
(2)求证:AO平分∠BAC.
【思路点拔】(1)根据切线的性质得到AF⊥OA,求得∠OAF=90°,根据圆周角定理得到∠CBE=90°,求得∠OAF=∠CBE,根据平行线的性质得到∠BAF=∠ABC,于是得到∠OAB=∠ABE,根据平行线的判定定理即可得到AO∥BE;
(2)根据圆周角定理得到∠ABE=∠ACE,根据等腰三角形的性质得到∠ACE=∠OAC,等量代换得到∠ABE=∠OAC,由(1)知,∠OAB=∠ABE,根据角平分线的定义即可得到结论.
【解答】证明:(1)∵AF是⊙O的切线,
∴AF⊥OA,
即∠OAF=90°,
∵CE是⊙O的直径,
∴∠CBE=90°,
∴∠OAF=∠CBE,
∵AF∥BC,
∴∠BAF=∠ABC,
∴∠OAF﹣∠BAF=∠CBE﹣∠ABC,
即∠OAB=∠ABE,
∴AO∥BE;
(2)∵∠ABE 与∠ACE 都是所对的圆周角,
∴∠ABE=∠ACE,
∵OA=OC,
∴∠ACE=∠OAC,
∴∠ABE=∠OAC,
由(1)知,∠OAB=∠ABE,
∴∠OAB=∠OAC,
∴AO平分∠BAC.
33.如图,△ABC、△ABD内接于⊙O,AB=BC,P是OB延长线上的一点,∠PAB=∠ACB,AC、BD相交于点E.
(1)求证:AP是⊙O的切线;
(2)若BE=2,DE=4,∠P=30°,求AP的长.
【思路点拔】(1)连接OA,利用等腰三角形的性质,垂径定理,圆周角定理,垂直的定义,等量代换和圆的切线的判定定理解答即可;
(2)利用直角三角形的性质,同圆的半径相等,等边三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论.
【解答】(1)证明:连接OA,如图,
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA.
∵∠PAB=∠ACB,
∴∠BAC=∠PAB.
∵AB=BC,
∴,
∴OB⊥AC,
∴∠BAC+∠ABO=90°,
∵OB=OA,
∴∠ABO=∠BAO.
∴∠BAO+∠BAC=90°,
∴∠BAO+∠PAB=90°,
∴∠PAO=90°,
即OA⊥AP,
∵OA为⊙O的半径,
∴AP是⊙O的切线;
(2)解:∵OA⊥AP,∠P=30°,
∴∠AOP=60°,
∵OA=OB,
∴△OAB为等边三角形,
∴AO=AB.
由(1)知:∠BAC=∠BCA,
∵∠BCA=∠D,
∴∠BAC=∠D.
∵∠ABE=∠DBA,
∴△ABE∽△DBA,
∴,
∴,
∴AB2=12,
∴AB=2,
∴OA=2.
在Rt△OAP中,
∵tanP,
∴AP6.
34.如图,在△ABC中,O是AC上(异于点A,C)的一点,⊙O恰好经过点A,B,AD⊥CB于点D,且AB平分∠CAD.
(1)判断BC与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若AC=10,DC=8,求⊙O的半径长.
【思路点拔】(1)连接OB,证明AD∥OB,进而可以解决问题;
(2)利用勾股定理求出AD,然后根据平行线分线段成比例定理即可求出半径.
【解答】解:(1)BC与⊙O相切,理由如下:
如图,连接OB,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∵AB平分∠CAD,
∴∠DAB=∠CAB,
∴∠DAB=∠OBA,
∴AD∥OB,
∵AD⊥CB,
∴OB⊥CB,
∵OB是⊙O的半径,
∴BC与⊙O相切;
(2)∵∠D=90°,AC=10,DC=8,
∴AD6,
∵AD∥OB,
∴,
∴,
∵OA=OB,
∴OB,
∴⊙O的半径长为.
35.如图,AB,CD为⊙O的直径,C为⊙O上一点,过点C的切线与AB的延长线交于点P,∠ABC=2∠BCP,点E是的中点,弦CE,BD相交于点F.
(1)求∠OCB的度数;
(2)若EF=3,求⊙O直径的长.
【思路点拔】(1)由切线的性质得到∠OCB+∠BCP=90°,由OB=OC,得到∠OCB=∠OBC,由三角形外角的性质得到∠ABC=2∠BCP,因此∠OCB=2∠BCP,得到3∠BCP=90°,求出∠BCP=30°,得到∠OCB=60°.
(2)由圆周角定理推出∠FDE=30°,由直角三角形的性质求出DE的长,即可得到CD的长.
【解答】解:(1)∵PC与⊙O相切于点C,
∴OC⊥PC,
∴∠OCB+∠BCP=90°,
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC,
∵∠ABC=2∠BCP,
∴∠OCB=2∠BCP,
∴3∠BCP=90°,
∴∠BCP=30°,
∴∠OCB=60°.
(2)连接DE,
∵CD是直径,
∴∠DEC=90°,
∵点E是的中点,
∴,
∴∠DCE=∠FDE=∠ECB∠DCB=30°,
∵∠E=90°,EF=3,∠FDE=30°,
∴DEFE=3,
∵∠E=90°,∠DCE=30°,
∴,
∴⊙O的直径的长为.
36.如图,等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC,BD是边AC上的中线,过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E,BE交⊙O于点F,连接AE,FC.
(1)求证:AE为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,BC=6,求FC的长.
【思路点拔】(1)证明△ABD≌△CED(AAS),得出AB=CE,则四边形ABCE是平行四边形,AE∥BC,作AH⊥BC于H.得出AH为BC的垂直平分线,则OA⊥AE,又点A在⊙O上,即可得证;
(2)过点D作DM⊥BC于M,连接OB,垂径定理得出BH=HCBC=3,勾股定理得OH=4,进而可得AH,勾股定理求得AB,证明DM∥AH,可得△CMD∽△CHA,根据相似三角形的性质得出MH,DM,然后求得BM,勾股定理求得BD,证明△FCD∽△ABD,根据相似三角形的性质即可求解.
【解答】(1)证明,∵AB∥CE,
∴∠ABD=∠CED,∠BAD=∠ECD,
又∵AD=CD,
∴△ABD≌△CED( AAS),
∴AB=CE.
∴四边形ABCE是平行四边形.
∴AE∥BC.
作AH⊥BC于H.
∵AB=AC,
∴AH为BC的垂直平分线.
∴点O在AH上.
∴AH⊥AE.
即OA⊥AE,又点A在⊙O上,
∴AE为⊙O的切线;
(2)解:过点D作DM⊥BC于M,连接OB,
∵AH为BC的垂直平分线,
∴BH=HCBC=3,
∴OH4,
∴AH=OA+OH=5+4=9,
∴AB=AC,
∴CDAC,
∵AH⊥BC,DM⊥BC,
∴DM∥AH
∴△CMD∽△CHA,
又AD=CD,
∴,
∴MHHC,DMAH,
∴BM=BH+MH=3,
∴BD,
∵∠CFD=∠BAD,∠FDC=∠ADB,
∴△FCD∽△ABD,
∴,
∴,
∴FC=5.
37.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C作⊙O的切线CD,交AB的延长线于点D,过点A作AE⊥CD于点E.
(1)若∠EAC=25°,求∠ACD的度数;
(2)若OB=2,BD=1,求CE的长.
【思路点拔】(1)由垂直的定义得到∠AEC=90°,由三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数;
(2)由勾股定理求出CD的长,由平行线分线段成比例定理得到,代入有关数据,即可求出CE的长.
【解答】解:(1)∵AE⊥CD于点E,
∴∠AEC=90°
∴∠ACD=∠AEC+∠EAC=90°+25°=115°;
(2)∵CD是⊙O的切线,
∴半径OC⊥DE,
∴∠OCD=90°,
∵OC=OB=2,BD=1,
∴OD=OB+BD=3,
∴CD.
∵∠OCD=∠AEC=90°,
∴OC∥AE,
∴,
∴,
∴CE.
38.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以BC为直径的⊙O交AC边于点D,过点C作⊙O的切线,交BD的延长线于点E.
(1)求证:∠DCE=∠DBC;
(2)若AB=2,CE=3,求⊙O的半径.
【思路点拔】(1)先根据圆周角定理得到∠BDC=90°.再根据切线的性质得到∠BCE=90°.然后利用等角的余角相等得到∠DCE=∠DBC;
(2)先证明AB∥CE得到∠A=∠DCE,则可证明∠A=∠DBC,利用正切的定义,在Rt△ABC中有anA,在Rt△BCE中有an∠EBC,所以,然后求出BC的长,从而得到⊙O的半径.
【解答】(1)证明:∵BC为⊙O的直径,
∴∠BDC=90°.
∵CE为⊙O的切线,
∴CE⊥BC,
∴∠BCE=90°.
∵∠DCE+∠BCD=90°,∠DBC+∠BCD=90°,
∴∠DCE=∠DBC;
(2)解:∵∠ABC+∠BCE=90°+90°=180°,
∴AB∥CE,
∴∠A=∠DCE,
∵∠DCE=∠DBC,
∴∠A=∠DBC,
在Rt△ABC中,tanA,
在Rt△BCE中,tan∠EBC,
即,
∴BC2=2×3=6,
∴BC,
∴⊙O的半径为.
39.如图,已知⊙O的圆心O在△ABC的边AC上,与AC相交于A、E两点,且与边BC相切于点D,连结DE.
(1)若BA=BD,求证:AB是⊙O的切线;
(2)若CD=4,CE=2,求⊙O的半径.
【思路点拔】(1)连接OD,则OD=OA,所以∠OAD=∠ODA,由切线的性质得BC⊥OD,则∠ODB=90°,而BA=BD,所以∠BAD=∠BDA,即可推导出∠OAB=∠ODB=90°,进而证明AB是⊙O的切线;
(2)由OD=OE,得∠ODE=∠OED,由AE是⊙O的直径,得∠ADE=90°,由∠CAD+∠OED=90°,∠CDE+∠ODE=90°,得∠CDE=∠CAD,而∠C=∠C,即可证明△CDE∽△CAD,得,则CE CA=CD2,于是得2(2+2OE)=42,求得OE=3,则⊙O的半径长为3.
【解答】(1)证明:连接OD,则OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA,
∵⊙O的圆心O在AC上,且与边BC相切于点D,
∴BC⊥OD,
∴∠ODB=90°,
∵BA=BD,
∴∠BAD=∠BDA,
∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠ODA+∠BDA=∠ODB=90°,
∵OA是⊙O的半径,且AB⊥OA,
∴AB是⊙O的切线.
(2)解:∵OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ADE=90°,
∴∠CAD+∠OED=90°,
∵∠CDE+∠ODE=∠ODC=90°,
∴∠CDE=∠CAD,
∵∠C=∠C,
∴△CDE∽△CAD,
∴,
∴CE CA=CD2,
∵CD=4,CE=2,OE=OA,
∴2(2+2OE)=42,
解得OE=3,
∴⊙O的半径长为3.
40.如图,PO平分∠APD,PA与⊙O相切于点A,延长AO交PD于点C,过点O作OB⊥PD,垂足为B.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为4,OC=5,求PA的长.
【思路点拔】(1)由切线的性质得PA⊥OA,而PO平分∠APD,OB⊥PD,所以OB=OA,则点B在⊙O上,即可证明PB是⊙O的切线;
(2)由OA=OB=4,OC=5,得AC=OA+OC=9,BC3,由tan∠ACP,得PAAC=12,所以PA的长是12.
【解答】(1)证明:∵PA与⊙O相切于点A,且OA是⊙O的半径,
∴PA⊥OA,
∵PO平分∠APD,OB⊥PD于点B,OA⊥PA于点A,
∴OB=OA,
∴点B在⊙O上,
∵OB是⊙O的半径,且PB⊥OB,
∴PB是⊙O的切线.
(2)解:∵OA=OB=4,OC=5,
∴AC=OA+OC=4+5=9,
∵∠OBC=90°,
∴BC3,
∵∠A=90°,
∴tan∠ACP,
∴PAAC9=12,
∴PA的长是12.
41.如图,以AB为直径的⊙O上有两点E、F,,过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,过C作CM平分∠ACD交AE于点M,交BE于点N.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求证:EM=EN;
(3)如果N是CM的中点,且AB=9,求EN的长.
【思路点拔】(1)连接OE,由,得∠FAE=∠EAB,可得∠FAE=∠AEO,AF∥OE,又CD⊥AF,故OE⊥CD,CD是⊙O的切线;
(2)由∠CEB=∠EAC(弦切角定理),∠ECM=∠ACM,可得∠ENM=∠EMN,EM=EN;
(3)证明△EMC∽△BNC,可得2,又△BEC∽△EAC,可得AE=2BE,在Rt△ABE中,(2BE)2+BE2=(9)2,求出BE=9,故ENBE=6.
【解答】(1)证明:连接OE,如图:
∵,
∴∠FAE=∠EAB,
∵OA=OE,
∴∠AEO=∠EAB,
∴∠FAE=∠AEO,
∴AF∥OE,
∵CD⊥AF,
∴OE⊥CD,
∵OE是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
(2)证明:如图:
由(1)知CD是⊙O的切线,
∴∠CEB=∠EAC(弦切角定理),
∵CM平分∠ACD,
∴∠ECM=∠ACM,
∴∠CEB+∠ECM=∠EAC+∠ACM,
∴∠ENM=∠EMN,
∴EM=EN;
(3)解:如图:
由(2)知EM=EN,∠EMN=∠ENM,
∴∠EMN=∠BNC,
∵∠ECM=∠BCN,
∴△EMC∽△BNC,
∴,
∵N是CM的中点,
∴2,
∴EM=2BN,CE=2BC,
∵∠BEC=∠EAB,∠BCE=∠ECA,
∴△BEC∽△EAC,
∴,
∴AE=2BE,
在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2,
∴(2BE)2+BE2=(9)2,
∴BE=9,
∵EN=EM=2BN,
∴ENBE=6.
∴EN的长为6.
42.如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点F,点P是CD延长线上一点,DE⊥AP,垂足为点E,∠EAD=∠FAD.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若PA=4,PD=2,求⊙O的半径和DE的长.
【思路点拔】(1)连接OA,由AB⊥CD,得∠FAD+∠ADF=90°,故∠FAD+∠OAD=90°,根据∠EAD=∠FAD,得∠EAD+∠OAD=90°,即∠OAE=90°,OA⊥AE,从而可得AE是⊙O的切线;
(2)连接AC,AO,证明△ADP∽△CAP,可得,CP=8,故CD=CP﹣PD=6,⊙O的半径为3;再证△OAP∽△DEP,得,从而DE.
【解答】(1)证明:连接OA,如图:
∵AB⊥CD,
∴∠AFD=90°,
∴∠FAD+∠ADF=90°,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ADF,
∴∠FAD+∠OAD=90°,
∵∠EAD=∠FAD,
∴∠EAD+∠OAD=90°,即∠OAE=90°,
∴OA⊥AE,
∵OA是⊙O半径,
∴AE是⊙O的切线;
(2)解:连接AC,AO,如图:
∵CD为⊙O直径,
∴∠CAD=90°,
∴∠C+∠ADC=90°,
∵∠FAD+∠ADC=90°,
∴∠C=∠FAD,
∵∠EAD=∠FAD,
∴∠C=∠EAD,
∵∠P=∠P,
∴△ADP∽△CAP,
∴,
∵PA=4,PD=2,
∴,
解得CP=8,
∴CD=CP﹣PD=8﹣2=6,
∴⊙O的半径为3;
∴OA=3=OD,
∴OP=OD+PD=5,
∵∠OAP=90°=∠DEP,∠P=∠P,
∴△OAP∽△DEP,
∴,即,
∴DE,
∴⊙O的半径为3,DE的长为.
43.如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,与DC交于点E.连接AE,∠EAB=∠EAD.作EF⊥AD,与AD的延长线交于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)求∠C的度数.
【思路点拔】(1)由等腰三角形的性质以及平行线的判定得出OE∥AD,再根据平行线的性质得出OE⊥EF,由切线的判定方法即可得出答案;
(2)根据圆周角定理和平行线的性质可得出∠EOB=∠EOD=∠DOA=60°,再根据平行四边形的性质得出答案.
【解答】(1)证明:连接OE.
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA,
∵∠EAB=∠EAD,
∴∠EAD=∠OEA,
∴OE∥AF,
∵EF⊥AD,
∴EF⊥OE,
∵OE是⊙O的半径,
∴EF是⊙O的切线;
(2)解:连接OD,
∵AB∥DC,
∴∠BAE=∠DEA,
∵∠EAB=∠EAD,
∴∠EOB=∠EOD,
∴∠EOB=∠EOD=∠DOA=60°,
∵OE∥AF,AB∥DC,
∴∠C=60°.
44.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在边AC上,以点O为圆心,OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D,交OA于点E,连结OB.
(1)求证:BD=BC.
(2)已知OC=1,∠A=30°,求AB的长.
【思路点拔】(1)根据切线性质得到∠ODB=∠OCB=90°,再根据HL证明Rt△ODB≌Rt△OCB,从而得到结论;
(2)分别在Rt△OBC中,利用三角函数求出BC的长,和在Rt△ABC中,利用三角函数求出即可求出AB的长.
【解答】(1)证明 如图,连结OD,
∵半圆O与AB相切于点D,
∴OD⊥AB,
∵∠ACB=90°,
∴∠ODB=∠OCB=90°,
在Rt△ODB和Rt△OCB中,
∴Rt△ODB≌Rt△OCB(HL),
∴BD=BC;
(2)解 如图,∵∠A=30°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=60°,
∵Rt△ODB≌Rt△OCB,
∴,
在Rt△OBC中,
∵OC=1,
∴,
在Rt△ABC中,

45.如图,AB是⊙O的直径,AB=2,⊙O的弦CD⊥AB于点E,CD=6.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F,连接BC.
(1)求证:BC平分∠DCF;
(2)G为上一点,连接CG交AB于点H,若CH=3GH,求BH的长.
【思路点拔】(1)连接OC,根据切线的性质得到OC⊥CF,即∠OCF=90°,根据直角三角形的性质得到CE=DECD=3,∠BEC=90°,求得∠BCE+∠OBC=90°,等量代换得到∠BCE=∠BCF,根据角平分线的定义得到BC平分∠DCF;
(2)连接OC,OG,过G作GM⊥AB于M,根据圆周角定理CD⊥AB,得到CECD=3,OC=OGAB,根据勾股定理得到OE1,根据相似三角形性质得到GM=1,设MH=x,则HE=3x,根据勾股定理即可得到即可.
【解答】(1)证明:如图,连接OC,
∵CF是⊙O的切线,点C是切点,
∴OC⊥CF,
即∠OCF=90°,
∴∠OCB+∠BCF=90°,
∵CD⊥AB,AB是直径,
∴CE=DECD=3,∠BEC=90°,
∴∠BCE+∠OBC=90°,
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠BCE=∠BCF,
即BC平分∠DCF;
(2)解:连接OC,OG,过G作GM⊥AB于M,
∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,
∴CECD=3,OC=OGAB,
∴OE1,
∵GM⊥AB,CD⊥AB,
∴CE∥GM,
∴△GMH∽△CEH,
∴,
∵CH=3GH,
∴,
∴GM=1,
设MH=x,则HE=3x,
∴HO=3x﹣1.OM=4x﹣1,
在Rt△OGM中,OM2+GM2=OG2,
∴(4x﹣1)2+12=()2,
解得x=1(负值舍去),
∴BH=OH+OB=3×1﹣12.
46.如图,点A在第一象限内,⊙A与x轴相切于点B,与y轴相交于点C,D,连结AB,过点A作AH⊥CD于点H.
(1)求证:四边形ABOH为矩形.
(2)已知⊙A的半径为4,OB,求弦CD的长.
【思路点拔】(1)根据切线的性质得到AB⊥x轴根据垂直的定义得到∠AHO=∠HOB=∠OBA=90°,根据矩形的判定定理得到四边形AHOB是矩形;
(2)连接AD,根据矩形的性质得到AH=OB,根据勾股定理得到DH3,根据垂径定理即可得到结论.
【解答】(1)证明:∵⊙A与x轴相切于点B,
∴AB⊥x轴
又∵AH⊥CD,HO⊥OB,
∴∠AHO=∠HOB=∠OBA=90°,
∴四边形AHOB是矩形;
(2)解:连接AD,
∵四边形AHOB是矩形,
∴AH=OB,
∵AD=AB=4,
∴DH3,
∵AH⊥CD,
∴CD=2DH=6.
47.如图,已知AB为⊙O的直径,点C为圆上一点,AD垂直于过点C的直线,交⊙O于点E,垂足为点D,AC平分∠BAD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AC=8,BC=6,求DE的长.
【思路点拔】(1)连接OC,利用角平分线的定义,同圆的半径相等,等腰三角形的判定与性质,平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可;
(2)连接BE,交OC于点F,利用圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质,矩形的判定与性质和垂径定理解答即可得出结论.
【解答】(1)证明:连接OC,如图,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵AC平分∠BAD,
∴∠OAC=∠DAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴OC∥AD.
∵AD⊥CD,
∴OC⊥CD.
∵OC为⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:连接BE,交OC于点F,如图,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∵AD⊥CD,OC⊥CD,
∴四边形EFCD为矩形,
∴EF=CD,ED=CF,OF⊥BE,
∴EF=BF.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AB10.
∴∠ACB=∠ADC=90°,
∵∠DAC=∠CAB,
∴△DAC∽△CAB,
∴,
∴,
∴CD=4.8,AD=6.4.
∴EF=CD=4.8,
∴BE=2EF=9.6,
∴AE2.8,
∴DE=AD﹣AE=6.4﹣2.8=3.6.
48.如图,AC为四边形ABCD的对角线,∠CAD=60°,∠ACD=35°,∠ACB=90°,△ABC的外接圆交CD于点E,AC所对的圆心角的度数为120°.
(1)求证:AD是△ABC的外接圆的切线;
(2)若△ABC的外接圆的半径为3,求的长.
【思路点拔】(1)连接OC.证出OA⊥AD.由切线的判定可得出结论;
(2)连接OE.求出∠COE的度数,由弧长公式可得出答案.
【解答】(1)证明:如图,设圆心为点O,连接OC.
∵ 所对圆心角的度数为120°,
∴∠AOC=120°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=30°,
∵∠CAD=60°,
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=90°.
∴OA⊥AD.
∵∠ACB=90°,
∴AB是⊙O的直径.
∴OA是⊙O的半径.
∴AD是△ABC外接圆的切线.
(2)解:连接OE.
∵∠OCA=30°,∠ACD=35°,
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=30°+35°=65°.
∵OC=OE,
∴∠OEC=∠OCD=65°,
∴∠COE=180°﹣∠OCE﹣∠OEC=180°﹣65°﹣65°=50°.
∴的长.
49.如图,∠MPN=30°,点O在PM上,⊙O与PN相切于点A,与PM的交点分别为B,C.作CD∥PN,与⊙O交于点D,作CE⊥PN,垂足为E,连接EO并延长,交CD于点F.
(1)求证:CD=PA;
(2)若PA=4,求EF的长.
【思路点拔】(1)根据含30度角的直角三角形的性质即可解决问题;
(2)证明△CFO∽△PEO,得,然后利用勾股定理即可解决问题.
【解答】(1)证明:如图,连接BD,OA,
∵⊙O与PN相切于点A,
∴OA⊥PA,
∴∠OAP=90°,
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BDC=90°,
∵CD∥PN,
∴∠MPN=∠BCD=30°,
∴BDBC=OA,
∴CDBD,PAOA,
∴CD=PA;
(2)解:如图,过点O作OH⊥CE于点H,
∵CE⊥PN,OA⊥PA,
∴∠OHE=∠HEA=∠OAE=90°,
∴四边形OAEH是矩形,
∴OA=HE,OH=AE,OH∥AE,
∵∠MPN=30°,PA=4,
∴OAPA,
∴EH=OA,
∵PO=2OA,OA=OC,
∴CP=OC+PO=3OC,
∵OH∥AE,
∴,
∴,
∴OH=2,
∵∠COH=30°,OH=2,
∴CHOH,
∴CE=EH+CH=2,
∵CD∥PN,
∴,
∴,
∴CF=3,
∵CD∥PN,CE⊥PN,
∴CE⊥CF,
∴EF.
50.如图1,点A,B,C在O上,AC是⊙O的直径,AD平分∠BAC,与⊙O相交于点D.连接OD,与BC相交于点E.
(1)求∠OEC的度数.
(2)如图2,过点A作⊙O的切线,与CB的延长线相交于点F,过点D作DG∥FA,与AC相交于点G.若AD=2,DE=4,求DG的长.
【思路点拔】(1)根据圆周角定理证得两直线平行,再根据平行线的性质即可得到结论;
(2)定理得到边的关系,求出线段的长,再利用等面积法求解即可.
【解答】解:(1)∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠OAD,
∵OAD=∠ODA,
∴∠BAD=∠ODA,
∴AB∥OD,
∴∠B=∠OEC,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠B=90°,
∴∠OEC=90°;
(2)连接DC,如图:
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
设半径为r,则OA=OD=OC=r,
OE=r﹣4,AB=2OE=2r﹣8,AC=2r,
在Rt△ADC中,DC2=AC2﹣AD2=CE2+DE2=OC2﹣OE2+DE2,
∴(2r)2﹣(2)2=r2﹣(r﹣4)2+42,
解得r=7或﹣5(舍去),
∴AC=14,DC,
∵AF是切线,
∴AF⊥AC,
∵DG∥FA,
∴DG⊥AC,
∴S△ADC,
∴,
解得DG=2.
51.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,AB⊥CD,连接AC,OD.
(1)求证:∠BOD=2∠A;
(2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E,延长DO,交AC于点F.若F为AC的中点,求证:直线CE为⊙O的切线.
【思路点拔】(1)连接AD,首先利用垂径定理得,知∠CAB=∠BAD,再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍,可得结论;
(2)连接OC,首先由点F为AC的中点,可得AD=CD,则∠ADF=∠CDF,再利用圆的性质,可说明∠CDF=∠OCF,∠CAB=∠CDE,从而得出∠OCD+∠DCE=90°,从而证明结论.
【解答】证明:(1)如图,连接AD,
∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD,
∴,
∴∠CAB=∠BAD,
∵∠BOD=2∠BAD,
∴∠BOD=2∠A;
(2)如图,连接OC,
∵F为AC的中点,
∴DF⊥AC,
∴AD=CD,
∴∠ADF=∠CDF,
∵,
∴∠CAB=∠DAB,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CDF=∠CAB,
∵OC=OD,
∴∠CDF=∠OCD,
∴∠OCD=∠CAB,
∵,
∴∠CAB=∠CDE,
∴∠CDE=∠OCD,
∵∠E=90°,
∴∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠OCD+∠DCE=90°,
即OC⊥CE,
∵OC为半径,
∴直线CE为⊙O的切线.
52.如图,以线段AB为直径作⊙O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交⊙O于点D,过点D作直线DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.连接BD并延长交AC于点M.
(1)求证:直线DE是⊙O的切线;
(2)求证:AB=AM;
(3)若ME=1,∠F=30°,求BF的长.
【思路点拔】(1)连接OD,由∠ODA=∠OAD=∠DAC证明OD∥AC,得∠ODF=∠AED=90°,即可证明直线DE是⊙O的切线;
(2)由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB=90°,再根据等角的余角相等证明∠M=∠ABM,则AB=AM;
(3))由∠AEF=90°,∠F=30°证明∠BAM=60°,则△ABM是等边三角形,所以∠M=60°,则∠EDM=30°,所以BD=MD=2ME=2,再证明∠BDF=∠F,得BF=BD=2.
【解答】(1)证明:连接OD,则OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD,
∵AD平分∠CAB,
∴∠OAD=∠DAC,
∴∠ODA=∠DAC,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴∠ODF=∠AED=90°,
∵OD是⊙O的半径,且DE⊥OD,
∴直线DE是⊙O的切线.
(2)证明:∵线段AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADM=180°﹣∠ADB=90°,
∴∠M+∠DAM=90°,∠ABM+∠DAB=90°,
∵∠DAM=∠DAB,
∴∠M=∠ABM,
∴AB=AM.
(3)解:∵∠AEF=90°,∠F=30°,
∴∠BAM=60°,
∴△ABM是等边三角形,
∴∠M=60°,
∵∠DEM=90°,ME=1,
∴∠EDM=30°,
∴MD=2ME=2,
∴BD=MD=2,
∵∠BDF=∠EDM=30°,
∴∠BDF=∠F,
∴BF=BD=2.
53.已知:如图,AB为⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,交AB延长线于点D,连接AC,BC,∠D=30°,CE平分∠ACB交⊙O于点E,过点B作BF⊥CE,垂足为F.
(1)求证:CA=CD;
(2)若AB=12,求线段BF的长.
【思路点拔】(1)连接OC,利用切线的性质可得∠OCD=90°,然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠COD=60°,从而利用圆周角定理可得∠A=30°,最后根据等角对等边,即可解答;
(2)根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°,从而利用(1)的结论可得BCAB=6,再利用角平分线的定义可得∠BCE=45°,然后在Rt△BCF中,利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
【解答】(1)证明:连接OC,
∵CD与⊙O相切于点C,
∴∠OCD=90°,
∵∠D=30°,
∴∠COD=90°﹣∠D=60°,
∴∠A∠COD=30°,
∴∠A=∠D=30°,
∴CA=CD;
(2)解:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠A=30°,AB=12,
∴BCAB=6,
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE∠ACB=45°,
∵BF⊥CE,
∴∠BFC=90°,
∴BF=BC sin45°=63,
∴线段BF的长为3.
54.如图,四边形ABCD是正方形,点A,点B在⊙O上,边DA的延长线交⊙O于点E,对角线DB的延长线交⊙O于点F,连接EF并延长至点G,使∠FBG=∠FAB.
(1)求证:BG与⊙O相切;
(2)若⊙O的半径为1,求AF的长.
【思路点拔】(1)连接BE,根据四边形ABCD是正方形,得到∠BAE=90°,从而得到BE是圆O的直径,结合∠BAF+∠EAF=90°,∠EAF=∠EBF,∠FBG=∠FAB,证明∠FBG+∠EBF=90°即可;
(2)连接OA,OF,证明∠FED=45°,从而证明∠AOF=90°,利用勾股定理计算即可.
【解答】(1)证明:连接BE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAE=90°,
∴BE是圆O的直径,
∵∠BAF+∠EAF=90°,∠EAF=∠EBF,∠FBG=∠FAB,
∴∠FBG+∠EBF=90°,
∴∠OBG=90°,
故BG是圆O的切线;
(2)解:如图,连接OA,OF,
∵四边形ABCD是正方形,BE是圆的直径,
∴∠EFD=90°,∠FDE=45°,
∴∠FED=45°,
∴∠AOF=90°,
∵OA=OF=1,
∴AF2=AO2+FO2=1+1=2,
∴AF,AF(舍去).
55.已知AB为⊙O的直径,AB=6,C为⊙O上一点,连接CA,CB.
(Ⅰ)如图①,若C为的中点,求∠CAB的大小和AC的长;
(Ⅱ)如图②,若AC=2,OD为⊙O的半径,且OD⊥CB,垂足为E,过点D作⊙O的切线,与AC的延长线相交于点F,求FD的长.
【思路点拔】(Ⅰ)根据圆周角定理得到∠ACB=90°,∠CAB=∠CBA,进而求出∠CAB,根据余弦的定义求出AC;
(Ⅱ)根据切线的性质得到OD⊥DF,证明四边形FCED为矩形,根据矩形的性质得到FD=EC,根据勾股定理求出BC,根据垂径定理解答即可.
【解答】解:(Ⅰ)∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵C为的中点,
∴,
∴∠CAB=∠CBA=45°,
∴AC=AB cos∠CAB=3;
(Ⅱ)∵DF是⊙O的切线,
∴OD⊥DF,
∵OD⊥BC,∠FCB=90°,
∴四边形FCED为矩形,
∴FD=EC,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,AB=6,
则BC4,
∵OD⊥BC,
∴ECBC=2,
∴FD=2.
56.如图,点O是△ABC的边AC上一点,以点O为圆心,OA为半径作⊙O,与BC相切于点E,交AB于点D,连接OE,连接OD并延长交CB的延长线于点F,∠AOD=∠EOD.
(1)连接AF,求证:AF是⊙O的切线;
(2)若FC=10,AC=6,求FD的长.
【思路点拔】(1)根据SAS证△AOF≌△EOF,得出∠OAF=∠OEF=90°,即可得出结论;
(2)根据勾股定理求出AF,证△OEC∽△FAC,设圆O的半径为r,根据线段比例关系列方程求出r,利用勾股定理求出OF,最后根据FD=OF﹣OD求出即可.
【解答】(1)证明:在△AOF和△EOF中,

∴△AOF≌△EOF(SAS),
∴∠OAF=∠OEF,
∵BC与⊙O相切,
∴OE⊥FC,
∴∠OAF=∠OEF=90°,
即OA⊥AF,
∵OA是⊙O的半径,
∴AF是⊙O的切线;
(2)解:在Rt△CAF中,∠CAF=90°,FC=10,AC=6,
∴AF8,
∵∠OCE=∠FCA,∠OEC=∠FAC=90°,
∴△OEC∽△FAC,
∴,
设⊙O的半径为r,则,
解得r,
在Rt△FAO中,∠FAO=90°,AF=8,AO,
∴OF,
∴FD=OF﹣OD,
即FD的长为.
57.如图,△ABC中,AB=AC,D为AC上一点,以CD为直径的⊙O与AB相切于点E,交BC于点F,FG⊥AB,垂足为G.
(1)求证:FG是⊙O的切线;
(2)若BG=1,BF=3,求CF的长.
【思路点拔】(1)由等腰三角形的性质可证∠B=∠C=∠OFC,可证OF∥AB,可得结论;
(2)由切线的性质可证四边形GFOE是矩形,可得OE=GF=2,由锐角三角函数可求解.
【解答】(1)证明:如图,连接OF,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵OF=OC,
∴∠C=∠OFC,
∴∠OFC=∠B,
∴OF∥AB,
∵FG⊥AB,
∴FG⊥OF,
又∵OF是半径,
∴GF是⊙O的切线;
(2)解:如图,连接OE,过点O作OH⊥CF于H,
∵BG=1,BF=3,∠BGF=90°,
∴FG2,
∵⊙O与AB相切于点E,
∴OE⊥AB,
又∵AB⊥GF,OF⊥GF,
∴四边形GFOE是矩形,
∴OE=GF=2,
∴OF=OC=2,
又∵OH⊥CF,
∴CH=FH,
∵cosC=cosB,
∴,
∴CH,
∴CF.
58.如图,P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,切点分别为A、B,直线PO交⊙O于点D、E,交AB于点C.
(1)求证:∠ADE=∠PAE.
(2)若∠ADE=30°,求证:AE=PE.
(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.
【思路点拔】(1)连接OA,利用切线的性质定理,圆周角定理,同圆的半径相等,等腰三角形的性质和等角的余角相等解答即可;
(2)利用(1)的结论,直径所对的圆周角为直角,三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可;
(3)CE=x,则DE=CD+CE=6+x,OA=OE,OC=OE﹣CE,OP=OE+PE,利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论.
【解答】(1)证明:连接OA,如图,
∵PA为⊙O的切线,
∴AO⊥PA,
∴∠OAE+∠PAE=90°.
∵DE是⊙O的直径,
∴∠DAE=90°,
∴∠ADE+∠AED=90°.
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠AED,
∴∠ADE=∠PAE;
(2)证明:由(1)知:∠ADE=∠PAE=30°,
∵∠DAE=90°,
∴∠AED=90°﹣∠ADE=60°.
∵∠AED=∠PAE+∠APE,
∴∠APE=∠PAE=30°,
∴AE=PE;
(3)解:设CE=x,则DE=CD+CE=6+x,
∴OA=OE,
∴OC=OE﹣CE,
OP=OE+PE.
∵PA、PB为⊙O的切线,
∴PA=PB,PO平分∠APB,
∴PO⊥AB.
∵PA为⊙O的切线,
∴AO⊥PA,
∴△OAC∽△OPA,
∴,
∴,
即:x2+10x﹣24=0.
解得:x=2或﹣12(不合题意,舍去),
∴CE=2.
59.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足是点H,过点C作直线分别与AB,AD的延长线交于点E,F,且∠ECD=2∠BAD.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)如果AB=10,CD=6,
①求AE的长;
②求△AEF的面积.
【思路点拔】(1)连接OC,利用圆周角定理,垂径定理,同圆的半径线段,等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可;
(2)①利用勾股定理和相似三角形的判定定理与性质定理解答即可;
②过点F作FG⊥AB,交AB的延长线于点G,设FG=4k,则FE=5k,利用相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理求得FG,再利用三角形的面积公式解答即可.
【解答】(1)证明:连接OC,如图,
∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD,
∴,
∴∠CAB=∠DAB.
∵∠COB=2∠CAB,
∴∠COB=2∠BAD.
∵∠ECD=2∠BAD,
∴∠ECD=∠COB.
∵AB⊥CD,
∴∠COB+∠OCH=90°,
∴∠OCH+∠ECD=90°,
∴∠OCE=90°.
∴OC⊥CF.
∵OC是⊙O的半径,
∴CF是⊙O的切线;
(2)解:①∵AB=10,
∴OA=OB=OC=5,
∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD,
∴CH=DHCD=3.
∴OH4,
∵OC⊥CF,CH⊥OE,
∴△OCH∽△OEC,
∴,
∴,
∴OE.
∴AE=OA+OE=5;
②过点F作FG⊥AB,交AB的延长线于点G,如图,
∵∠OCF=∠FGE=90°,∠CEO=∠GEF,
∴△OCE∽△FGE.
∴,
设FG=4k,则FE=5k,
∴EG3k,
∵DH⊥AB,FG⊥AB,
∴DH∥FG.
∴,
∴,
解得:k.
∴FG=4k=5.
∴△AEF的面积AE FG.
60.如图,在半径为10cm的⊙O中,AB是⊙O的直径,CD是过⊙O上一点C的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD,点E是BC的中点,OE=6cm.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求AD的长.
【思路点拔】(1)连接OC,由AC平分∠BAD,OA=OC,可得∠DAC=∠OCA,AD∥OC,根据AD⊥DC,即可证明CD是⊙O的切线;
(2)由OE是△ABC的中位线,得AC=12,再证明△DAC∽△CAB,根据相似三角形的性质即可得到结论.
【解答】(1)证明:连接OC,如图:
∵AC平分∠BAD,
∴∠DAC=∠CAO,
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠OCA,
∴∠DAC=∠OCA,
∴AD∥OC,
∵AD⊥DC,
∴CO⊥DC,
∵OC是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:∵E是BC的中点,且OA=OB,
∴OE是△ABC的中位线,AC=2OE,
∵OE=6cm,
∴AC=12cm,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°=∠ADC,
又∠DAC=∠CAB,
∴△DAC∽△CAB,
∴,即,
∴ADcm.中小学教育资源及组卷应用平台
直线和圆的位置关系 同步提升训练
一.选择题(共13小题)
1.如图,在四边形材料ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=9cm,AB=20cm,BC=24cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板,则此圆的半径是(  )
A.cm B.8cm C.6cm D.10cm
2.如图是“光盘行动”的宣传海报,图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是(  )
A.相切 B.相交 C.相离 D.平行
3.如图,PA,PB是⊙O的切线,A、B为切点,若∠AOB=128°,则∠P的度数为(  )
A.32° B.52° C.64° D.72°
4.如图是不倒翁的主视图,不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA,PB分别相切于点A,B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若∠OAB=28°,则∠APB的度数为(  )
A.28° B.50° C.56° D.62°
5.如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,过点C的切线与AB的延长线交于点P,若AC=PC=3,则PB的长为(  )
A. B. C. D.3
6.如图,AB是圆O的直径,弦AD平分∠BAC,过点D的切线交AC于点E,∠EAD=25°,则下列结论错误的是(  )
A.AE⊥DE B.AE∥OD C.DE=OD D.∠BOD=50°
7.如图,在等腰△ABC中,∠BAC=120°,BC=6,⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切,⊙O的半径为3.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α(0°<α≤360°),B、C的对应点分别为B′、C′,在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.P为⊙O外一点,PT与⊙O相切于点T,OP=10,∠OPT=30°,则PT长为(  )
A.5 B.5 C.8 D.9
9.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点G,则下列结论:①∠BAD=∠CAD;②若∠BAC=60°,则∠BEC=120°;③若点G为BC的中点,则∠BGD=90°;④BD=DE.其中一定正确的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图,AB是⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,∠ABC=25°,OC的延长线交PA于点P,则∠P的度数是(  )
A.25° B.35° C.40° D.50°
11.已知三角形ABE为直角三角形,∠ABE=90°,DE为圆的直径,BC为圆O切线,C为切点,CA=CD,则△ABC和△CDE面积之比为(  )
A.1:3 B.1:2 C.:2 D.(1):1
12.如图,AD,BC是⊙O的直径,点P在BC的延长线上,PA与⊙O相切于点A,连接BD,若∠P=40°,则∠ADB的度数为(  )
A.65° B.60° C.50° D.25°
13.如图,AB是⊙O的直径,AB=6,BC是⊙O的切线,D是AC的中点,OD=2,则AC的值为(  )
A.10 B.8 C. D.
二.多选题(共1小题)
(多选)14.如图,△ABC的内切圆(圆心为点O)与各边分别相切于点D,E,F,连接EF,DE,DF.以点B为圆心,以适当长为半径作弧分别交AB,BC于G,H两点;分别以点G,H为圆心,以大于GH的长为半径作弧,两条弧交于点P;作射线BP.下列说法正确的是(  )
A.射线BP一定过点O
B.点O是△DEF三条中线的交点
C.若△ABC是等边三角形,则DEBC
D.点O不是△DEF三条边的垂直平分线的交点
三.填空题(共14小题)
15.如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径,过点A作⊙O的切线AD.若∠B=35°,则∠DAC的度数是    度.
16.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为    .
17.如图,木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A,长边与⊙O相切于点B,角尺的直角顶点为C.已知AC=6cm,CB=8cm,则⊙O的半径为    cm.
18.如图,在△ABC中,∠B=90°,⊙O过点A、C,与AB交于点D,与BC相切于点C,若∠A=32°,则∠ADO=   .
19.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=2,半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移(⊙O可以与该三角形的边相切),则点A到⊙O上的点的距离的最大值为    .
20.如图,AB、AC是⊙O的弦,过点A的切线交CB的延长线于点D,若∠BAD=35°,则∠C=   °.
21.如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,点O在BC上,以OB为半径的圆与AC相切于点A.D是BC边上的动点,当△ACD为直角三角形时,AD的长为    .
22.如图,PA与⊙O相切于点A,PO与⊙O相交于点B,点C在上,且与点A、B不重合.若∠P=26°,则∠C的度数为    °.
23.如图,射线AB与⊙O相切于点B,经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C,连接BC,若∠A=40°,则∠ACB=   °.
24.如图,AB与⊙O相切于点C,AO=3,⊙O的半径为2,则AC的长为    .
25.如图,AB切⊙O于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连结BC.若∠A=40°,则∠C的度数为    .
26.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,O为内心,过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E.若DE=CD+BE,则线段CD的长为    .
27.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,连接BC,与⊙O交于点D,连接OD.若∠AOD=82°,则∠C=   °.
28.中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段,一角圆池占之.”意思是说:“一块正方形田地,在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”,如图所示.
问题:此图中,正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M、N(点N在点M的右上方),若AB的长度为10丈,⊙O的半径为2丈,则BN的长度为    丈.
四.解答题(共32小题)
29.在⊙O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为D,∠AOC=60°,E为弦AB所对的优弧上一点.
(1)如图①,求∠AOB和∠CEB的大小;
(2)如图②,CE与AB相交于点F,EF=EB,过点E作⊙O的切线,与CO的延长线相交于点G,若OA=3,求EG的长.
30.如图,AB为⊙O的直径,如果圆上的点D恰使∠ADC=∠B,求证:直线CD与⊙O相切.
31.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB是直径,C是的中点,过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若BC=6,AC=8,求CE,DE的长.
32.如图,已知△ABC内接于⊙O,CO的延长线交AB于点D,交⊙O于点E,交⊙O的切线AF于点F,且AF∥BC.
(1)求证:AO∥BE;
(2)求证:AO平分∠BAC.
33.如图,△ABC、△ABD内接于⊙O,AB=BC,P是OB延长线上的一点,∠PAB=∠ACB,AC、BD相交于点E.
(1)求证:AP是⊙O的切线;
(2)若BE=2,DE=4,∠P=30°,求AP的长.
34.如图,在△ABC中,O是AC上(异于点A,C)的一点,⊙O恰好经过点A,B,AD⊥CB于点D,且AB平分∠CAD.
(1)判断BC与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若AC=10,DC=8,求⊙O的半径长.
35.如图,AB,CD为⊙O的直径,C为⊙O上一点,过点C的切线与AB的延长线交于点P,∠ABC=2∠BCP,点E是的中点,弦CE,BD相交于点F.
(1)求∠OCB的度数;
(2)若EF=3,求⊙O直径的长.
36.如图,等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC,BD是边AC上的中线,过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E,BE交⊙O于点F,连接AE,FC.
(1)求证:AE为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,BC=6,求FC的长.
37.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C作⊙O的切线CD,交AB的延长线于点D,过点A作AE⊥CD于点E.
(1)若∠EAC=25°,求∠ACD的度数;
(2)若OB=2,BD=1,求CE的长.
38.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以BC为直径的⊙O交AC边于点D,过点C作⊙O的切线,交BD的延长线于点E.
(1)求证:∠DCE=∠DBC;
(2)若AB=2,CE=3,求⊙O的半径.
39.如图,已知⊙O的圆心O在△ABC的边AC上,与AC相交于A、E两点,且与边BC相切于点D,连结DE.
(1)若BA=BD,求证:AB是⊙O的切线;
(2)若CD=4,CE=2,求⊙O的半径.
40.如图,PO平分∠APD,PA与⊙O相切于点A,延长AO交PD于点C,过点O作OB⊥PD,垂足为B.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为4,OC=5,求PA的长.
41.如图,以AB为直径的⊙O上有两点E、F,,过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,过C作CM平分∠ACD交AE于点M,交BE于点N.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求证:EM=EN;
(3)如果N是CM的中点,且AB=9,求EN的长.
42.如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点F,点P是CD延长线上一点,DE⊥AP,垂足为点E,∠EAD=∠FAD.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若PA=4,PD=2,求⊙O的半径和DE的长.
43.如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,与DC交于点E.连接AE,∠EAB=∠EAD.作EF⊥AD,与AD的延长线交于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)求∠C的度数.
44.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在边AC上,以点O为圆心,OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D,交OA于点E,连结OB.
(1)求证:BD=BC.
(2)已知OC=1,∠A=30°,求AB的长.
45.如图,AB是⊙O的直径,AB=2,⊙O的弦CD⊥AB于点E,CD=6.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F,连接BC.
(1)求证:BC平分∠DCF;
(2)G为上一点,连接CG交AB于点H,若CH=3GH,求BH的长.
46.如图,点A在第一象限内,⊙A与x轴相切于点B,与y轴相交于点C,D,连结AB,过点A作AH⊥CD于点H.
(1)求证:四边形ABOH为矩形.
(2)已知⊙A的半径为4,OB,求弦CD的长.
47.如图,已知AB为⊙O的直径,点C为圆上一点,AD垂直于过点C的直线,交⊙O于点E,垂足为点D,AC平分∠BAD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AC=8,BC=6,求DE的长.
48.如图,AC为四边形ABCD的对角线,∠CAD=60°,∠ACD=35°,∠ACB=90°,△ABC的外接圆交CD于点E,AC所对的圆心角的度数为120°.
(1)求证:AD是△ABC的外接圆的切线;
(2)若△ABC的外接圆的半径为3,求的长.
49.如图,∠MPN=30°,点O在PM上,⊙O与PN相切于点A,与PM的交点分别为B,C.作CD∥PN,与⊙O交于点D,作CE⊥PN,垂足为E,连接EO并延长,交CD于点F.
(1)求证:CD=PA;
(2)若PA=4,求EF的长.
50.如图1,点A,B,C在O上,AC是⊙O的直径,AD平分∠BAC,与⊙O相交于点D.连接OD,与BC相交于点E.
(1)求∠OEC的度数.
(2)如图2,过点A作⊙O的切线,与CB的延长线相交于点F,过点D作DG∥FA,与AC相交于点G.若AD=2,DE=4,求DG的长.
51.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,AB⊥CD,连接AC,OD.
(1)求证:∠BOD=2∠A;
(2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E,延长DO,交AC于点F.若F为AC的中点,求证:直线CE为⊙O的切线.
52.如图,以线段AB为直径作⊙O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交⊙O于点D,过点D作直线DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.连接BD并延长交AC于点M.
(1)求证:直线DE是⊙O的切线;
(2)求证:AB=AM;
(3)若ME=1,∠F=30°,求BF的长.
53.已知:如图,AB为⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,交AB延长线于点D,连接AC,BC,∠D=30°,CE平分∠ACB交⊙O于点E,过点B作BF⊥CE,垂足为F.
(1)求证:CA=CD;
(2)若AB=12,求线段BF的长.
54.如图,四边形ABCD是正方形,点A,点B在⊙O上,边DA的延长线交⊙O于点E,对角线DB的延长线交⊙O于点F,连接EF并延长至点G,使∠FBG=∠FAB.
(1)求证:BG与⊙O相切;
(2)若⊙O的半径为1,求AF的长.
55.已知AB为⊙O的直径,AB=6,C为⊙O上一点,连接CA,CB.
(Ⅰ)如图①,若C为的中点,求∠CAB的大小和AC的长;
(Ⅱ)如图②,若AC=2,OD为⊙O的半径,且OD⊥CB,垂足为E,过点D作⊙O的切线,与AC的延长线相交于点F,求FD的长.
56.如图,点O是△ABC的边AC上一点,以点O为圆心,OA为半径作⊙O,与BC相切于点E,交AB于点D,连接OE,连接OD并延长交CB的延长线于点F,∠AOD=∠EOD.
(1)连接AF,求证:AF是⊙O的切线;
(2)若FC=10,AC=6,求FD的长.
57.如图,△ABC中,AB=AC,D为AC上一点,以CD为直径的⊙O与AB相切于点E,交BC于点F,FG⊥AB,垂足为G.
(1)求证:FG是⊙O的切线;
(2)若BG=1,BF=3,求CF的长.
58.如图,P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,切点分别为A、B,直线PO交⊙O于点D、E,交AB于点C.
(1)求证:∠ADE=∠PAE.
(2)若∠ADE=30°,求证:AE=PE.
(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.
59.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足是点H,过点C作直线分别与AB,AD的延长线交于点E,F,且∠ECD=2∠BAD.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)如果AB=10,CD=6,
①求AE的长;
②求△AEF的面积.
60.如图,在半径为10cm的⊙O中,AB是⊙O的直径,CD是过⊙O上一点C的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD,点E是BC的中点,OE=6cm.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求AD的长.