2015-2016学年湖南省株洲十八中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

2015-2016学年湖南省株洲十八中高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）
　
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“ x∈R，使x＞1”的否定是（　　）
A． x∈R，都有x＞1 B． x∈R，使x＜1 C． x∈R，都有x≤1 D． x∈R，使x≤1
　
2．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”成立的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
　
3．已知函数f（x）=，则f（f（5））的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
　
4．已知椭圆的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（　　）
A．10 B．16 C．20 D．36
　
5．下列函数是偶函数的是（　　）
A．y=x B．y=2x2﹣3 C． D．y=x2，x∈[0，1]
　
6．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（　　）
A．1 B． C． D．
　
7．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　）
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A． B． C． D．
　
8．已知函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（　　）
A．（，） B．[，） C．（，） D．[，）
　
9．曲线=1与曲线=1（k＜9）的（　　）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
　
10．由直线x=，x=2，曲线y=﹣及x轴所围图形的面积为（　　）
A．﹣2ln2 B．2ln2 C． D．
　
11．如果函数f（x）对任意a，b满足f（a+b）=f（a） f（b），且f（1）=2，则=（　　）
A．1006 B．2010 C．2016 D．4032
　
12．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
　
　
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.共20分）
13．已知向量，若，则x=　　　　　　；若则x=　　　　　　．
　
14．曲线f（x）=x3+x﹣2在点P0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则P0点坐标为　　　　　　．
　
15．已知函数=　　　　　　．
　
16．已知点M是y=上一点，F为抛物线的焦点，A在C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为　　　　　　．
　
　
三.解答题：（六个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x∈Z|2＜x＜10}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}
（1）求A，（ RA）∩B；
（2）若A∪C=R，求实数a的取值范围．
　
18．如图，已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x
（1）求f（1），f（﹣2）的值；
（2）求f（x）的解析式并画出简图；
（3）讨论方程f（x）=k的根的情况．（只需写出结果，不要解答过程）．
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19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．
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20．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值．
　
21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；
（3）当时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围．
　
22．设a∈R，已知函数f（x）=ax3﹣3x2．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的x∈[1，3]，有f（x）+f′（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．
　
　
2015-2016学年湖南省株洲十八中高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“ x∈R，使x＞1”的否定是（　　）
A． x∈R，都有x＞1 B． x∈R，使x＜1 C． x∈R，都有x≤1 D． x∈R，使x≤1
【考点】特称命题；命题的否定．
【专题】计算题．
【分析】根据命题“ x∈R，使得x＞1”是特称命题，其否定为全称命题，即 x∈R，使得x≤1，从而得到答案．
【解答】解：∵命题“ x∈R，使得x＞1”是特称命题
∴否定命题为： x∈R，使得x≤1
故选C．
【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量 ( http: / / www.21cnjy.com )词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．
　
2．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”成立的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，
则“x=1”是“x2﹣3x+2=0”成立充分不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
　
3．已知函数f（x）=，则f（f（5））的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】对数的运算性质；函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用分段函数直接代入求值即可．
【解答】解：∵f（5）=log24=2，
∴f（f（5））=f（2）=22=4．
故选：D．
【点评】本题主要考查分段函数的求值问题，注意分段函数中变量的取值范围．
　
4．已知椭圆的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（　　）
A．10 B．16 C．20 D．36
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由椭圆可得a．利用△ABF2的周长=4a即可得出．
【解答】解：由椭圆可得a=5．
则△ABF2的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20．
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
　
5．下列函数是偶函数的是（　　）
A．y=x B．y=2x2﹣3 C． D．y=x2，x∈[0，1]
【考点】偶函数．
【专题】计算题．
【分析】根据偶函数的定义“对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都满足f（x）=f（﹣x），则函数f（x）为偶函数”进行判定．
【解答】解：对于A，f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），是奇函数
对于B，定义域为R，满足f（x）=f（﹣x），是偶函数
对于C，定义域为[0，+∞）不对称，则不是偶函数；
对于D，定义域为[0，1]不对称，则不是偶函数
故选B．
【点评】本题主要考查了偶函数的定义，同时考查了解决问题、分析问题的能力，属于基础题．
　
6．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据题意，易得k+，2﹣的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k﹣1）+2k﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），
2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．
∵两向量垂直，
∴3（k﹣1）+2k﹣2×2=0．
∴k=，
故选D．
【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．
　
7．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　）
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A． B． C． D．
【考点】空间向量的基本定理及其意义．
【专题】计算题．
【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出．
【解答】解：∵
=
=
=
=
故选A
【点评】本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．
　
8．已知函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（　　）
A．（，） B．[，） C．（，） D．[，）
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由函数的单调性的性质可得 0≤2x﹣1＜，由此求得x的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（），
∴0≤2x﹣1＜，解得≤x＜，
故选D．
【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．
　
9．曲线=1与曲线=1（k＜9）的（　　）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．
【解答】解：曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．
曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，
离心率为，焦距为8．
对照选项，则D正确．
故选D．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．
　
10．由直线x=，x=2，曲线y=﹣及x轴所围图形的面积为（　　）
A．﹣2ln2 B．2ln2 C． D．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】作出函数的图象，利用积分进行求解即可．
【解答】解：如图：
则阴影部分的面积S= [0﹣（﹣）]dx═dx=lnx|=ln2﹣ln=ln2+ln2=2ln2，
故选：B
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【点评】本题主要考查定积分在求面积的应用，要求熟练掌握常见函数的积分公式．
　
11．如果函数f（x）对任意a，b满足f（a+b）=f（a） f（b），且f（1）=2，则=（　　）
A．1006 B．2010 C．2016 D．4032
【考点】函数的值．
【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】令b=1，得f（a+1）=f（a） f（1）=2f（a），得=2，由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=2，
∴=2+2+…+2=2
=2×1008=2016．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件寻找规律是解决本题的关键．
　
12．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题．
【分析】由f（x）的解析式求出导函数，导函 ( http: / / www.21cnjy.com )数为开口向下的抛物线，因为函数在R上为单调函数，所以导函数与x轴没有交点，即△小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：由f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1，得到f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，
因为函数在（﹣∞，+∞）上是单调函数，
所以f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1≤0在（﹣∞，+∞）恒成立，
则△=，
所以实数a的取值范围是：[﹣，]．
故选B
【点评】此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握函数恒成立时所取的条件，是一道综合题．
　
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.共20分）
13．已知向量，若，则x=　　；若则x=　﹣6　．
【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系．
【专题】计算题；待定系数法．
【分析】两个向量垂直时，他们的数量积等于0，当两个向量共线时，他们的坐标对应成比列，解方程求出参数的值．
【解答】解：若 ，则 =．
若，则 ==，
∴x=﹣6，
故答案为，﹣6．
【点评】本题考查两个向量垂直的性质以及两个向量平行的性质，待定系数法求参数的值．
　
14．曲线f（x）=x3+x﹣2在点P0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则P0点坐标为　（1，0）或（﹣1，﹣4）　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】先设切点坐标，然后对f（x）进行求 ( http: / / www.21cnjy.com )导，根据曲线在P0点处的切线平行于直线y=4x建立等式，从而求出切点的横坐标，代入到f（x）即可得到答案．
【解答】解：设P0点的坐标为（a，f（a）），
由f（x）=x3+x﹣2，得到f′（x）=3x2+1，
由曲线在P0点处的切线平行于直线y=4x，得到切线方程的斜率为4，
即f′（a）=3a2+1=4，解得a=1或a=﹣1，
当a=1时，f（1）=0；当a=﹣1时，f（﹣1）=﹣4，
则P0点的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．
故答案为：（1，0）或（﹣1，﹣4）．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率，属于基础题．
　
15．已知函数=　　．
【考点】导数的运算；函数的值．
【专题】计算题．
【分析】根据函数，得f′（x）=2x+2f′（），再即可得到关于f′（﹣）的方程，即可求解
【解答】解：∵
∴f′（x）=2x+2f'（）
令x=
得： f'（﹣）=2×
解得：
故答案为：
【点评】本题考查了抽象函数的求导问题，是近几年考试的热点，属于基础题．
　
16．已知点M是y=上一点，F为抛物线的焦点，A在C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为　4　．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求出最小值．
【解答】 ( http: / / www.21cnjy.com )
解：如上图所示
利用抛物线的定义知：MP=MF
当M、A、P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小
即：CM⊥x轴
CM所在的直线方程为：x=1与y=建立方程组解得：M（1，）
|CM|=4﹣
点M到圆C的最小距离为：|CM|﹣|AC|=3
抛物线的准线方程：y=﹣1
则：，|MA|+|MF|的值最小值为3+1=4
故答案为：4
【点评】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题．
　
三.解答题：（六个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x∈Z|2＜x＜10}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}
（1）求A，（ RA）∩B；
（2）若A∪C=R，求实数a的取值范围．
【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法．
【专题】综合题；转化思想；对应思想；综合法．
【分析】（1）先求出集合A，化简集合B，根据 根据集合的运算求，（CRA）∩B；
（2）若A∪C=R，则可以比较两个集合的端点，得出参数所满足的不等式解出参数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，解得7＞x≥3，故A={x∈R|3≤x＜7}，
B={x∈Z|2＜x＜10}═{x∈Z|3，4，5，6，7，8，9}，
∴（CRA）∩B{7，8，9}
（2）∵A∪C=R，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}
∴解得3≤a＜6
实数a的取值范围是3≤a＜6
【点评】本题考查集合关系中 ( http: / / www.21cnjy.com )的参数取值问题，解题的关键是理解集合运算的意义，能借助数轴等辅助工具正确判断两个集合的关系及相应参数的范围，本题中取参数的范围是一个难点，易因为错判出错，求解时要注意验证等号能否成立．
　
18．如图，已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x
（1）求f（1），f（﹣2）的值；
（2）求f（x）的解析式并画出简图；
（3）讨论方程f（x）=k的根的情况．（只需写出结果，不要解答过程）．
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【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【专题】计算题；作图题．
【分析】（1）由x≥0时，f（x）=x ( http: / / www.21cnjy.com )2﹣2x，可求出f（1），f（2）的值，进而根据y=f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣2）=f（2）得到答案；
（2）根据y=f（x）是定义在R上 ( http: / / www.21cnjy.com )的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，先求出函数的y=f（x）的解析式（分段函数的形式），进而根据分段函数的图象分段画的原则，结合二次函数的图象可得答案．
（3）根据（2）中函数的图象，即可分析出k取不同值时，方程f（x）=k的根的情况．
【解答】解：（1）∵当x≥0时，f（x）=x2﹣2x
∴f（1）=12﹣2=﹣1
f（2）=22﹣2×2=0
又∵y=f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（﹣2）=f（2）=0 …..（3分）
（2）当x≤0时，﹣x≥0
于是f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x
又∵y=f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（x）=x2+2x（x≤0）
∴f（x）= …..（7分）
其图象如下图所示：
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（3）由（2）中函数f（x）的图象可得：
当k＜﹣1时，方程无实根
当k=﹣1，或k＞0时，有2个根；
当k=0时，有3个根；
当﹣1＜k＜0时，有4个根； …..（14分）
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质及函数的值，其中根据已知条件结合函数的奇偶性的定义，求出函数的解析式是解答本题的关键．
　
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．
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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥P﹣EAD的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．
而AC 平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，
∴PD∥OE，
∵O是BD中点，∴E是PB中点．
取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．
∴
==．
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【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
　
20．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由离心率为，实轴长为2．可得，2a=2，再利用b2=c2﹣a2=2即可得出．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），与双曲线的联立可得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，利用根与系数的关系可得|AB|===4，即可得出．
【解答】解：（1）由离心率为，实轴长为2．
∴，2a=2，解得a=1，，
∴b2=c2﹣a2=2，
∴所求双曲线C的方程为=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，
△＞0，化为m2+1＞0．
∴x1+x2=2m，．
∴|AB|===4，
化为m2=1，
解得m=±1．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程 ( http: / / www.21cnjy.com )及其性质、直线与双曲线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；
（3）当时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．
【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用店携手方程即可得到切线方程；
（2）求得g（x）的导数，由题意可得g（2）=﹣2，g′（2）=0，解方程即可得到所求解析式；
（3）若函数h（x）在定义域上存在单调减区间依题存在x＞0使h′（x）=（x＞0）．h′（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x2﹣bx+1＜0，运用参数分离，求得右边的最小值，即可得到所求范围．
【解答】解：（1）由f（x）=lnx（x＞0），可得f′（x）=（x＞0），
∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），
即y=x﹣1，
所求切线方程为y=x﹣1；
（2）∵又g（x）=ax2﹣bx可得g′（x）=2ax﹣b，
且g（x）在x=2处取得极值﹣2．
∴，可得解得，b=2．
所求g（x）=（x∈R）．
（3）∵，h′（x）=（x＞0）．
依题存在x＞0使h′（x）=（x＞0）．
h′（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x2﹣bx+1＜0，
∵不等式x2﹣bx+1＜0等价于（*）
令，∵．
∴λ（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增，
故，+∞），
∵存在x＞0，不等式（*）成立，
∴b＞2．所求b∈（2，+∞）．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查函数的单调性的运用以及存在性问题，属于中档题．
　
22．设a∈R，已知函数f（x）=ax3﹣3x2．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的x∈[1，3]，有f（x）+f′（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（I）当a=1时，f（x）=x3﹣3x2，求出函数的导数，求解函数的单调区间．
（II）题目转化为对x∈[1，3]恒成立．构造函数利用导数求解函数的最小值，即可得到实数a的取值范围．
【解答】（共13分）
解：（I）当a=1时，f（x）=x3﹣3x2，
则f′（x）=3x2﹣6x，
由f′（x）＞0，得x＜0，或x＞2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．（6分）
（II）依题意，对 x∈[1，3]，ax3﹣3x2+3ax2﹣6x≤0，
这等价于，不等式对x∈[1，3]恒成立．
令，
则，
所以h（x）在区间[1，3]上是减函数，
所以h（x）的最小值为．
所以，即实数a的取值范围为．（13分）
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．