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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题27.1.1图形的相似（一）六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质即可解答．
【详解】解：根据比例的性质可得．
故选：B．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了比例的性质．设，且，则，代入即可求出答案．
【详解】解：设，且，
则，
∴，
故选：A
3．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义逐项判断即可得解，熟练掌握成比例线段的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、，故四条线段不成比例，故不符合题意；
B、，故四条线段成比例，故符合题意；
C、，故四条线段不成比例，故不符合题意；
D、，故四条线段不成比例，故不符合题意；
故选：B．
4．地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（ ）
A．33 B．330 C．550 D．600
【答案】B
【分析】本题考查了比例尺的定义，根据比例尺图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握比例尺的定义是解此题的关键．
【详解】解：设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为，
∴，
解得，
∴设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为，
故选：B．
5．若线段，，则线段，的比例中项为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查比例线段的定义，根据成比例线段的定义解得即可．
【详解】设线段，的比例中项为，
则，
解得：
又因为为线段，
所以．
故选：C．
6．已知，的值为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【分析】考查比例的性质，设，即可求得，，的值，代入代数式，即可求解．
【详解】设，
∴，，，
∴
故选：B．
7．如图1称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的重量为，那么能汲起水的重量B为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目主要考查比例的性质及杠杆平衡原理，根据题意得出，然后确定即可求解，理解是解题关键．
【详解】解：根据题意得，
∵，
∴，
∵物体A的质量为，
∴，
故选：D
8．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短线段比长线段等于长线段比全线段，等于，则这个点叫线作段的黄金分割点．根据黄金分割点进行判断即可．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，
，
，
故错误的是选项B，
故选：B．
9．如图，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了比例的性质，连接，设，则，，设，则，表示出，，结合求出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴设，则，
∵，
∴
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，
故选：D．
10．，，为非零实数，且，若，则等于（ ）.
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据已知设，得出方程组，相加得出k的值，代入方程组即可得出
【详解】设，从而有，.
化为整式方程有
三式相加，可得.
题设，故知.
从而可知
于是.
【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k的值是解题的关键
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例线段，先设这个图距是，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于的方程，即可求解，解题的关键是根据比例尺不变列出方程．
【详解】解：设这个图距是，
则，
解得，
故答案为：．
12．若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则 ．
【答案】/8厘米
【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义可得，据此代值计算即可．
【详解】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，
∴，即，
∴，
故答案为：．
13．如果6是m与12的比例中项，那么m的值是
【答案】3
【分析】本题主要考查了比例中项的定义，根据比例中项的定义可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵6是m与12的比例中项，
∴，
∴
故答案为：3．
14．若，且，则 ．
【答案】10
【分析】本题主要查了比例的基本性质．根据，可得，再由，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：10
15．已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，由得，则设，得到，，然后把，代入中进行分式的运算即可．
【详解】解：，
，
设，则，，
．
故答案为：．
16．线段上有一点，那么 ．
【答案】/
【分析】本题考查比例线段，根据线段的和差关系以及比例线段的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵
∴，
∵是线段上一点，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
故答案为：
17．已知a，b，c为非零实数，且，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了比例的性质，根据等比性质，可得答案，利用等比性质，分类讨论是解题关键．
【详解】解：设
当时，即，
当时，即，
综上所述，或
故答案为：或．
18．同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点是线段上一点，若，则称点为线段的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若，则称点为线段的“近A，2阶黄金分割点”．若点为线段的“近A，1阶黄金分割点”时， ；若点为线段的“近，6阶黄金分割点”时， ．
【答案】
【分析】本题考查比例线段的拓展应用，理解题中的新定义，准确根据线段比例列出相应方程并求解是解题关键．先根据点为线段的“近A，1阶黄金分割点”时，，再得出，然后根据，得出，解方程即可；根据题意先列出点C为线段的“近A，6阶黄金分割点”时，，然后表示出，，从而代入得到关于的分式方程，求解并检验即可．
【详解】解：根据题意可知：点为线段的“近A，1阶黄金分割点”时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
经检验或，是上述方程的解，
∵，
∴；
由题意，点C为线段的“近A，6阶黄金分割点”时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：，
整理得：，
解得：或，
经检验，或是上述分式方程的解，
∵，
∴，
故答案为：；．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知线段，，．
(1)求线段与线段的比和线段与线段的比；
(2)如果线段、、、成比例，求线段的长．
(3)在比例式或中，我们把称为、的比例中项，那么本题中是和的比例中项吗？为什么？
【答案】(1)；
(2)
(3)是和的比例中项，理由见解析
【分析】本题比例线段，掌握比例线段的定义和比例中项是解题的关键．
（1）根据；，，即可求得的值，的值；
（2）根据线段、、、是成比例线段，可得，再根据，即可得出线段的长；
（3）根据，，可得，进而得出是和的比例中项．
【详解】（1）解：，，
；
，，
；
（2）解：线段、、、是成比例线段，
，
，
；
（3）解：，，
，
是和的比例中项．
20．如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm．
(1)求和；
(2)线段，AB，，BC是成比例线段吗？
【答案】(1)，
(2)线段，AB，，BC是成比例线段．
【分析】（1）根据已知条件，代入和，即可求得结果；
（2）根据和的值相等，即可判断线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．
【详解】（1）∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．
∴＝＝ ，＝＝
（2）由（1）知＝＝ ，＝＝；
∴＝，
∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．
【点睛】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键．
21．已知三条线段 满足 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若线段 是线段 和 的比例中项，求 的值．
【答案】（1）a=6，b=4，c=7；（2）d=
【分析】（1）设，用含k的代数式分别表示出，再由a+b+c=17，建立关于k的方程，解方程求出k的值，从而可求出的值．
（2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到d2=ab，代入计算求出d的值．
【详解】（1）解：设
∴a=3k，b=2k，c+1=4k即c=4k-1
∵a+b+c=17
∴3k+2k+4k-1=17
解之：k=2
∴a=6，b=4，c=7．
（2）解：∵线段 是线段 和 的比例中项
∴d2=ab=6×4=24
解之：d=．
【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设法”用表示出、、可以使计算更加简便．
22．已知，，是 ABC的三边长，且．
(1)求的值；
(2)若 ABC的周长为，求三边，，的长．
【答案】(1)
(2)，，
【分析】本题考查了分式化简求值的运用，熟练掌握其方法，利用已知的比例关系，合理设出未知数，代入求值是解答本题的关键．
（1）由已知条件，确定了三边，，的比例关系，因此设，则，，代入，计算结果；
（2）由（1）设，则，，代入，求出的值，分别代入，，，求出三边，，的长．
【详解】（1）解：由已知条件知：
，
设，则，
（2）由（1）设，则，
，
得
，，．
23．黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比．
(1)求该矩形画框的宽；
(2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号）
【答案】(1)厘米；
(2)元．
【分析】()根据宽与长的比值等于黄金分割比列出算式即可求解；
()求出矩形画框的面积，进而即可解决问题；
本题考查了黄金分割，二次根式的运算，熟知黄金分割的定义是解题的关键.
【详解】（1）解：∵矩形画框的宽与长的比值等于黄金分割比，且长为厘米，
∴矩形画框的宽为厘米；
（2）解：矩形画框的面积为（平方厘米），
∴矩形画框的材料成本为元，
答：生产一个该画框所需要的材料成本为元．
24．数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”，也能验证发现一些数学结论．
(1)糖水实验一：
现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入m克水，则糖水的浓度为______．
生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式______，我们趣称为“糖水不等式”；
(2)糖水实验二：
将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：______．
(3)糖水实验三：
请设计一个“糖水实验”，说明等比定理“若，则成立．
【答案】(1)，
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可；
（2）加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可；
（3）利用关于糖水的生活经验设计即可．
【详解】（1）由题意得，加入克水，糖水为克，
∴糖水的浓度为；
∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小，
∴；
故答案为：；．
（2）由题意得，加入克糖，糖水为克，糖为克，
∴糖水的浓度为，
∵糖水加糖后会变甜，即糖水的浓度变大，
∴，
故答案为：．
（3）若有杯糖水，分别是克，克，克，…，克，其中每杯中含的糖分别是克，克，克，…，克，若这杯糖水的浓度相同，则，
将这杯浓度相同的糖水倒在一个容器内，根据生活经验，糖水没有变化，即不变甜也不变淡，由此可以得到．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键．
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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题27.1.1图形的相似（一）六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
4．地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（ ）
A．33 B．330 C．550 D．600
5．若线段，，则线段，的比例中项为（ ）
A． B． C．6 D．
6．已知，的值为（ ）
A．1 B． C． D．0
7．如图1称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的重量为，那么能汲起水的重量B为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．，，为非零实数，且，若，则等于（ ）.
A．8 B．4 C．2 D．1
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是 ．
12．若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则 ．
13．如果6是m与12的比例中项，那么m的值是
14．若，且，则 ．
15．已知，则 ．
16．线段上有一点，那么 ．
17．已知a，b，c为非零实数，且，则的值为 ．
18．同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点是线段上一点，若，则称点为线段的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若，则称点为线段的“近A，2阶黄金分割点”．若点为线段的“近A，1阶黄金分割点”时， ；若点为线段的“近，6阶黄金分割点”时， ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知线段，，．
(1)求线段与线段的比和线段与线段的比；
(2)如果线段、、、成比例，求线段的长．
(3)在比例式或中，我们把称为、的比例中项，那么本题中是和的比例中项吗？为什么？
20．如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm．
(1)求和；
(2)线段，AB，，BC是成比例线段吗？
21．已知三条线段 满足 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若线段 是线段 和 的比例中项，求 的值．
22．已知，，是 ABC的三边长，且．
(1)求的值；
(2)若 ABC的周长为，求三边，，的长．
23．黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比．
(1)求该矩形画框的宽；
(2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号）
24．数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”，也能验证发现一些数学结论．
(1)糖水实验一：
现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入m克水，则糖水的浓度为______．
生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式______，我们趣称为“糖水不等式”；
(2)糖水实验二：
将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：______．
(3)糖水实验三：
请设计一个“糖水实验”，说明等比定理“若，则成立．
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