5.4.3 正切函数的图象与性质 教学设计

5.4.3 正切函数的图象与性质
【教材分析】
本节课是三角函数的继续，三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.而本课内容是正切函数的性质与图象.首先根据单位圆中正切函数的定义探究其图象，然后通过图象研究正切函数的性质.
【教学目标与核心素养】
课程目标
1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法;
2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.
数学学科素养
1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图象；
2.逻辑推理： 求正切函数的单调区间；
3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性.
4.直观想象：正切函数的图象；
5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图象探究正切函数的性质.
【教学重难点】
重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用；
难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象.
【教学过程】
情景导入
三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图象与性质，那么根据正弦函数、余弦函数的图象与性质的由来，能否得到正切函数的图象与性质.
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本209-212页，思考并完成以下问题
1. 正切函数图象是怎样的？
2. 类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图象可以得到正切函数有什么性
质？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1.正切函数，且图象：
2.观察正切曲线，回答正切函数的性质：
定义域： 值域：R（-∞，+∞）
最值： 无最值 渐近线：
周期性：最小正周期是 奇偶性: 奇函数
单调性：增区间
图象特征：无对称轴，对称中心：
四、典例分析、举一反三
题型一 正切函数的性质
例1 求函数f(x)＝tan的定义域、周期和单调递增区间．
【答案】定义域：{x|x≠2k＋，k∈Z}；最小正周期为2；
单调递增区间是，k∈Z.
【解析】由x＋≠kπ＋，得x≠2k＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的定义域是{x|x≠2k＋，k∈Z}；
由于＝2，因此函数f(x)的最小正周期为2.
由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，解得－＋2k＜x＜＋2k，k∈Z.
因此，函数的单调递增区间是，k∈Z.
解题技巧：（求单调区间的步骤）
用“基本函数法”求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间、定义域及对称中心的步骤：
第一步：写出基本函数y＝tan x的相应单调区间、定义域及对称中心；
第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；
第三步：解关于x的不等式．
跟踪训练一
1．下列命题中：
①函数y＝tan(x＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数y＝tan(x＋φ)的最小正周期为π；③函数y＝tan的图象关于点对称；④函数y＝tan的图象关于直线x＝对称．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】D．
【解析】　：①正确，函数y＝tan(x＋φ)在定义域内只存在递增区间．②正确．③正确，其对称中心为(k∈Z)．④函数y＝tan不存在对称轴．所以①②③正确，故选D.
题型二 比较大小
例2 与
【答案】.
【解析】
又在上是增函数
解题技巧：(比较两个三角函数值的大小)
比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．
跟踪训练二
1．若f(x)＝tan，则(　　)
A．f(0)＞f(－1)＞f(1) B．f(0)＞f(1)＞f(－1)
C．f(1)＞f(0)＞f(－1) D．f(－1)＞f(0)＞f(1)
【答案】A
【解析】　f(x)＝tan在内是增函数．
又0，－1∈，0＞－1，∴f(0)＞f(－1)．
又f(x)＝tan在上也是增函数，f(－1)＝tan＝tan＝tan.
∵－1,1∈，且－1＞1，∴f(－1)＞f(1)．
从而有f(0)＞f(－1)＞f(1)．
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本213页习题5.4.
【教学反思】
正切函数是在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上学习的，学生相对而言容易掌握，单调性方面学生需要注意是开区间且只有增区间.