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专题14.2 乘法公式常考题型专训
题型一：完全平方式的识别
题型二：平方差公式的识别
题型三：利用平方差公式或完全平方公式求代数式的值
题型四：完全平方公式的几何意义及应用
题型五：平方差公式的几何意义及应用
题型一：完全平方式的识别
1．（2023秋 农安县期中）下列多项式中，完全平方式是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
、不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
、，是完全平方式，符合题意；
、不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
故选．
2．（2024秋 南岗区校级期中）若是完全平方式，则的值为
A． B． C．5 D．
【答案】
【解析】由题意可知：，
解得．
故选．
3．（2024秋 晋江市期中）若是一个完全平方式，则常数的值为
A．8 B． C． D．无法确定
【答案】
【解析】，
，
，
故选．
4．（2023秋 下陆区期末）若是完全平方式，则
A．12 B．24 C． D．
【答案】
【解析】是一个完全平方式，
，
．
故选．
5．（2024春 裕华区期末）若关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是
A． B．6 C． D．10或
【答案】
【解析】是一个完全平方式，
，
，
，
解得：或，
故选．
6．（2024秋 浦东新区期中）将整式加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、不是完全平方式，故符合题意；
故选．
7．（2024秋 南昌县期中）若关于的二次三项式是完全平方式，则与的关系式为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
，
，
即，
故选．
8．（2024春 沙坪坝区校级期末）若是一个完全平方式，且为一个常数，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】
，
是一个完全平方式，
，
，
，
故选．
9．（2023秋 商丘期末）若是完全平方式，与的乘积中不含的一次项，则的值为
A． B．16 C．或 D．4或16
【答案】
【解析】是完全平方式，不含的一次项，
，，
解得：或，，
当，时，；
当，时，，
则或16，
故选．
10．（2024秋 闵行区校级期中）如果关于的二次三项式是完全平方式，那么的值是 15或 ．
【答案】15或．
【解析】根据题意得，，
，
解得：或，
的值是15或．
题型二：平方差公式的识别
1．（2024秋 安阳期中）下列各式中能用平方差公式计算的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】．不符合平方差公式特征，故此选项不符合题意；
．没有完全相同的项，故此选项不符合题意；
．原式，故此选项符合题意；
．不符合平方差公式特征，故此选项不符合题意．
故选．
2．（2024秋 九龙坡区校级期中）下列算式能用完全平方公式计算的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】中各项不相同，不能用完全平方公式计算，则不符合题意；
，能用完全平方公式计算，则符合题意；
中既含有相同项，也含有相反项，不能用完全平方公式计算，则不符合题意；
中既含有相同项，也含有相反项，不能用完全平方公式计算，则不符合题意；
故选．
3．（2024秋 江汉区期中）下列各式不能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】．，故能够用平方差公式计算；
．不符合平方差公式的结构，故不能够用平方差公式计算；
．，故能够用平方差公式计算；
．，故能够用平方差公式计算；
故选．
4．（2023秋 南阳期末）下列各式中能用完全平方公式计算的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】．，符合平方差公式，故选项不符合题意；
．，符合完全平方公式，故选项符合题意；
．，符合平方差公式，故选项不符合题意；
．，符合平方差公式，故选项不符合题意．
故选．
5．（2024秋 如东县期中）在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】，
故选．
6．（2023秋 游仙区期末）计算下列各式，其结果是的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、，故正确；
、应为，故本选项错误；
、因为，故本选项错误；
、应为，故本选项错误．
故选．
7．（2023秋 兖州区期末）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、，故选项不合题意；
、，故选项不合题意；
、，故选项不合题意；
、，故选项符合题意．
故选．
8．（2024春 永年区期末）用简便方法计算时，变形正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】．
故选．
题型三：利用平方差公式或完全平方公式求代数式的值
1．（2024春 通川区期末）已知，，那么的值为
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】
【解析】，
，，
．
故选．
2．（2024春 龙湾区校级期中）已知，，则的值为
A．8 B．20 C．4 D．16
【答案】
【解析】，
，
，
故选．
3．（2024秋 泉州期中）已知，求代数式的值为
A．0 B．4 C．5 D．
【答案】
【解析】由得：，
则
．
故选．
4．（2024秋 泉州期中）已知，则代数式的值是
A．16 B．20 C．25 D．30
【答案】
【解析】，
，
．
故选．
5．（2024秋 海淀区校级期中）已知，那么代数式值是
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】
【解析】，
，
，
故选．
6．（2024秋 杨浦区期中）已知，则的值是
A．5 B．9 C．13 D．17
【答案】
【解析】令，则原式可化简为，则，
解得：，即．
故选．
7．（2024秋 海淀区校级期中）已知实数，满足，则的值是
A．65 B．105 C．115 D．2025
【答案】
【解析】，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故选．
8．（2024春 武侯区校级期中）小明将展开后得到；小亮将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为
A．2023 B．2024 C．4047 D．1
【答案】
【解析】，
，
，，
，
故选．
9．（2024秋 北京期中）若，则的值为
A． B． C．6 D．3
【答案】
【解析】，
，
，
，
故选．
10．（2023秋 陵城区期末）若，则
A．3 B．6 C． D．
【答案】
【解析】，
，
，
，
，
，
故选．
11．（2024秋 泉州期中）若，，则 ．
【答案】．
【解析】根据条件可知：，，
，，
两式相加得：，
所以：，
故答案为：．
12．（2024秋 西城区校级期中）已知：，，则 ．
【答案】．
【解析】根据题意可知，，，
，
即，
解得：．
故答案为：．
题型四：完全平方公式的几何意义及应用
1．（2024秋 西城区校级期中）如图，对正方形进行分割，利用面积恒等能验证的等式是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】根据题意可知，大正方形的面积为：，
又大正方形的面积两个长方形面积两个正方形的面积，
故大正方形的面积为：，
．
故选．
2．（2023秋 大冶市期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由选项可得，
选项不符合题意；
由选项可得，
选项不符合题意；
由选项可得．
选项不符合题意；
由选项可得，
选项符合题意；
故选．
3．（2024秋 西城区校级期中）如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，则阴影部分的面积为
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】
【解析】由图形中各个部分面积之间的关系可得，
．
故选．
4．（2024春 尤溪县期中）有两个正方形，，现将放在的内部，得到图①，将，并列放置后构成新的正方形，得到图②．若图①阴影面积为3，正方形，的面积之和为11，则图②阴影面积是
A．8 B．9 C．12 D．15
【答案】
【解析】设正方形、的边长分别是、，则正方形，的面积之和是．
根据题意，图①中阴影部分的图形是正方形，边长为，图②中新正方形的边长为，
图①阴影面积为3，正方形，的面积之和为11，
，
，
，
图②阴影面积是8．
故选．
5．（2024春 西城区期末）矩形纸片两邻边的长分别为，，连接它的一条对角线．用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形，其边长为．图中正方形，正方形和正方形的面积之和为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，
所以正方形，正方形和正方形的面积之和为，
故选．
6．（2024春 坪山区期末）如图，在一块边长为的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为的人行道把花圃分成9块，下面是四种计算种花部分土地总面积的代数式：①；②；③；④．其中正确的有
A．② B．①③ C．①④ D．④
【答案】
【解析】由平移法可得，种花土地总面积是以为边长的正方形，
种花土地总面积；
种花土地的面积等于大正方形的面积减去阴影部分的面积，
即种花土地总面积为，
①④正确，
故选．
7．（2023秋 呼和浩特期末）如图1是一个长为宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线把这个长方形剪成四块完全相同的小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，则可以得到一个等式为 ．
【答案】．
【解析】图2中小正方形的边长为，
，
图2中大正方形的边长为，
，
，
故答案为：．
8．（2024秋 金牛区校级期中）如图，已知边长为，的长方形，若它的周长为20，面积为32，则的值为 36 ．
【答案】36．
【解析】根据题意可知：，，
所以原式
．
故答案为：36．
9．（2024春 泰兴市期末）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，、、在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 6 ．
【答案】6．
【解析】如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，
，两个正方形面积之和为13，
即，，
．
故答案为：6．
10．（2024春 西平县期末）如图，在边长为的大正方形内放入三个边长都为的小正方形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是，则的值为 4 ．
【答案】4．
【解析】没有被盖住的面积为：．
故答案为：4．
11．（2024春 沭阳县期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为
【答案】．
【解析】由题意得可得拼成长方形的长为，
宽为，
又已知拼成的长方形的一边长为，
所以另一边长为，
故答案为：．
12．（2024春 新邵县期末）如图1，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长为18，宽为8的长方形，如图2则图2中（1）部分的面积是 104 ．
【答案】104．
【解析】根据题意得，，，
解得，，
图2中（1）的面积为，
故答案为：104．
13．（2024秋 安溪县期中）（1）如图是华东师大版八年级上册数学教材第52页的图形，它是用四个长和宽分别为，的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），请利用阴影部分面积的不同表示方法写出一个代数恒等式： ；
（2）根据（1）中探索的结论，回答问题：当，时，求的值．
【解析】（1）图形中大正方形的边长为，因此面积为，阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个长为，宽为的长方形的面积和为，
所以有，
故答案为：；
（2）由（1）得，，
当，时，
，
解得或．
14．（2024秋 南宁期中）如图1，是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形．
（1）图1中的每个小长方形的面积为 ；图2中的中间空白部分的面积为 ；
（2）观察图2，请你写出代数式、、之间的等量关系式为 ；
（3）根据你得到的关系式解答下列问题：若，，求的值．
【解析】（1）由题意得，图1中的每个小长方形的面积是；
图2中间空白的部分的面积是．
故答案为：；；
（2）由图2中间空白的部分的面积的不同表示方法可得：．
故答案为：；
（3）由（2）题关系式可得，
，
即的值是．
15．（2024春 城关区校级期中）（1）请同学们观察：用4个长为宽为的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为： ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：
①若，，求的值；
②已知，，请利用上述等式求的值．
【解析】（1）；
故答案为：，；
（2）①，，
，
；
②，，
，
．
16．（2024秋 广东校级期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式．
（1）类似地，写出图2中所表示的数学等式为 ；
（2）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为 ；
（3）利用上面（2）的结论解决问题：若，，求的值；
（4）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．
【解析】（1）根据题意可知，图2中所表示的数学等式为：，
故答案为：；
（2）由图可知，用不同的代数式表示大正方形的面积，得到的数学等式为：
，
故答案为：；
（3）由（2）可知：，
，
解得：．
故答案为：25；
（4）由图可知：阴影部分的面积为：
．
17．（2024秋 麦积区期中）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ；图②中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ．
【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为、的长方形拼摆成一个如图③的正方形．
（1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系．
（2）若，，求的值．
【解决问题】如图④，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求△的面积．
【解析】（1）由图可得：图①中阴影部分的面积可以看成是一个大正方形的面积即，或两个正方形的面积加两个长方形的面积即，
图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为；
图②中阴影部分可以看成是边长为的正方形，即面积为；
所以面积为，
所以图②中阴影部分的面积能解释的乘法公式为；
故答案为：①②；
（2）大正方形的面积为，小长方形的面积为，阴影部分的面积为，
；
（3）由（1）得：
，，
；
（4）设正方形和的边长分别为，，
，，
，
，
题型五：平方差公式的几何意义及应用
1．（2024秋 香坊区校级期中）如图从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余的部分沿虚线又剪拼成一个长方形纸片（不重叠、无缝隙），则这个长方形纸片的面积是 ．
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据图形可知，拼成的长方形的长为：，宽为：，
长方形的面积为：．
故选．
2．（2024秋 南岗区校级期中）如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，将余下部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
所拼成的长方形的长为，宽为，因此面积为，
所以有，
故选．
3．（2024 礼县模拟）如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是
A．12 B．18 C．24 D．30
【答案】
【解析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
，，
大正方形与小正方形的面积之差是48，
，
根据图示可得，，
，，
阴影部分的面积
，
故选．
4．（2023秋 镇平县期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设另一边长为，
根据题意得，，
解得．
故选．
5．（2023秋 潍坊期末）如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为的正方形场地．场地甲中间有一个边长为的正方形喷水池，四周为草坪；场地乙的上方是长为、宽为的长方形花卉区，下方为草坪．那么甲、乙两块场地中草坪面积的比是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】甲中草坪面积为，乙中草坪面积为，
甲、乙两块场地中草坪面积的比是，
故选．
6．（2024春 潍城区期末）在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，不能够验证平方差公式的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】．原图阴影部分面积为，拼后新图是平行四边形，其中底为，底边上高为，则阴影部分面积为，则有，故可以验证；
．原图阴影部分面积为，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故可以验证；
．原图阴影部分面积为，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为，底边上高为，阴影部分面积为，则有，故可以验证；
．原图阴影部分面积为，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故不能验证．
故选．
7．（2024春 开封期末）如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形．由阴影部分面积相等，可以得到一个等式为 ．
【答案】．
【解析】图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故答案为：．
8．（2024春 萧山区期中）两个小长方形如图①摆放，重叠部分是边长为的正方形，阴影部分的面积为，四个小长方形如图②摆放，左上角形成的是边长为的正方形，此阴影部分面积为，另一阴影部分的面积为，则，，之间的数量关系为 ．
【答案】．
【解析】图①中，阴影部分是边长为的正方形，因此面积为：；
图②中，两个阴影部分的面积和为边长为的正方形面积减去4个长为，宽为的长方形的面积差，
即，
所以，
故答案为：．
9．（2024春 临淄区期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：
问题一：，
（1）则 ， ；
（2）计算：
问题二：已知，
（1）则 ；
（2）已知长和宽分别为，的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．
【解析】问题一：
（1），
，，
故答案为：，；
（2）；
问题二：
（1），
，，
故答案为：，；
（2）由题意得：，，
．
11．（2024秋 江都区期中）如图①是将一个边长为的大正方形的一角截去一个边长为的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．
（1）请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：
方法一： ，
方法二： ；
（2）根据探究的结果，直接写出，，这三个式子之间的等量关系 ；
（3）利用你发现的结论，求的值．
【解析】（1）方法一：图②中大长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即；
方法二：图②中大长方形的长为，宽为，则大长方形的面积为；
故答案为：，；
（2）根据题意得：；
故答案为：；
（3）
．
12．（2023秋 临颍县期末）实践与探索
如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
．
．
．
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知，，则 ．
②计算：．
【解析】（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，
图2中的阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故答案为：；
（2）①，
，
又，
，
即，
故答案为：4；
②，
，
，
原式．
13．（2024秋 南岗区校级期中）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
（1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 ①②③ （填序号）；
（2）【应用】利用“平方差公式”计算：；
（3）【拓展】计算：．
【解析】（1）图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，
，故图①可以验证平方差公式；
图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，
，故图②可以验证平方差公式；
图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，
，故图③可以验证平方差公式；
图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，
，故图④不能验证平方差公式；
综上所述，能验证平方差公式的有①②③，
故答案为：①②③；
（2）
；
（3）
．
14．（2024秋 福州期中）如下表：
“算两次”
素材1 “算两次”，又称“富比尼原理”，是指把同一个量用两种不同的方式表示出来，通过等量关系进行求解的一种数学策略．通过把面积“算两次”，可以巧妙地解决一些数学问题．例如，如图1，已知直角三 角形的三边长，，，可用“算两次”求斜边上的高．面积“算两次”： ，化简得：．
素材2 长为，宽为的长方形，按如图2分割为若干个正方形和长方形，根据“算两次”，可得等式：．
问题解决
任务1 如图3，用四个全等的直角三角形和一个正方形拼接成一个大正方形，结合此图，用“算两次”可得到一个关于，，的等式，请你写出这个等式并化简．
任务2 如图4，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个相同形状的长方形的两条邻边长，观察图案，指出以下正确的关系式 、、、 （填写选项）； ． ． ． ．
任务3 图案设计：如图5，请用3张类纸片、2张类纸片和若干张类纸片拼成了一个大长方形（三种纸片都要使用），请求所用类纸片的数量；并画出相应的图形．（画出一种即可）．
【解析】任务一，大正方形的边长为，因此面积为，拼成大正方形5个部分的面积和为，
，即，
；
任务二：由拼图可知，①，②，
因此正确；
，
因此正确；
①②得，，即，
①②得，，即，
，
因此正确；
，
因此正确；
故答案为：、、、；
任务三：如图，用3张类纸片、2张类纸片和7张类纸片拼成了一个长为，宽为的大长方形．（答案不唯一）
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专题14.2 乘法公式常考题型专训
题型一：完全平方式的识别
题型二：平方差公式的识别
题型三：利用平方差公式或完全平方公式求代数式的值
题型四：完全平方公式的几何意义及应用
题型五：平方差公式的几何意义及应用
题型一：完全平方式的识别
1．（2023秋 农安县期中）下列多项式中，完全平方式是
A． B． C． D．
2．（2024秋 南岗区校级期中）若是完全平方式，则的值为
A． B． C．5 D．
3．（2024秋 晋江市期中）若是一个完全平方式，则常数的值为
A．8 B． C． D．无法确定
4．（2023秋 下陆区期末）若是完全平方式，则
A．12 B．24 C． D．
5．（2024春 裕华区期末）若关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是
A． B．6 C． D．10或
6．（2024秋 浦东新区期中）将整式加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是
A． B． C． D．
7．（2024秋 南昌县期中）若关于的二次三项式是完全平方式，则与的关系式为
A． B． C． D．
8．（2024春 沙坪坝区校级期末）若是一个完全平方式，且为一个常数，则的值为
A． B． C． D．
9．（2023秋 商丘期末）若是完全平方式，与的乘积中不含的一次项，则的值为
A． B．16 C．或 D．4或16
10．（2024秋 闵行区校级期中）如果关于的二次三项式是完全平方式，那么的值是 ．
题型二：平方差公式的识别
1．（2024秋 安阳期中）下列各式中能用平方差公式计算的是
A． B． C． D．
2．（2024秋 九龙坡区校级期中）下列算式能用完全平方公式计算的是
A． B．
C． D．
3．（2024秋 江汉区期中）下列各式不能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
4．（2023秋 南阳期末）下列各式中能用完全平方公式计算的是
A． B．
C． D．
5．（2024秋 如东县期中）在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是
A． B．
C． D．
6．（2023秋 游仙区期末）计算下列各式，其结果是的是
A． B．
C． D．
7．（2023秋 兖州区期末）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
8．（2024春 永年区期末）用简便方法计算时，变形正确的是
A． B．
C． D．
题型三：利用平方差公式或完全平方公式求代数式的值
1．（2024春 通川区期末）已知，，那么的值为
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2024春 龙湾区校级期中）已知，，则的值为
A．8 B．20 C．4 D．16
3．（2024秋 泉州期中）已知，求代数式的值为
A．0 B．4 C．5 D．
4．（2024秋 泉州期中）已知，则代数式的值是
A．16 B．20 C．25 D．30
5．（2024秋 海淀区校级期中）已知，那么代数式值是
A．14 B．15 C．16 D．17
6．（2024秋 杨浦区期中）已知，则的值是
A．5 B．9 C．13 D．17
7．（2024秋 海淀区校级期中）已知实数，满足，则的值是
A．65 B．105 C．115 D．2025
8．（2024春 武侯区校级期中）小明将展开后得到；小亮将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为
A．2023 B．2024 C．4047 D．1
9．（2024秋 北京期中）若，则的值为
A． B． C．6 D．3
10．（2023秋 陵城区期末）若，则
A．3 B．6 C． D．
11．（2024秋 泉州期中）若，，则 ．
12．（2024秋 西城区校级期中）已知：，，则 ．
题型四：完全平方公式的几何意义及应用
1．（2024秋 西城区校级期中）如图，对正方形进行分割，利用面积恒等能验证的等式是
A． B．
C． D．
2．（2023秋 大冶市期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是
A．
B．
C．
D．
3．（2024秋 西城区校级期中）如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，则阴影部分的面积为
A．8 B．7 C．6 D．5
4．（2024春 尤溪县期中）有两个正方形，，现将放在的内部，得到图①，将，并列放置后构成新的正方形，得到图②．若图①阴影面积为3，正方形，的面积之和为11，则图②阴影面积是
A．8 B．9 C．12 D．15
5．（2024春 西城区期末）矩形纸片两邻边的长分别为，，连接它的一条对角线．用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形，其边长为．图中正方形，正方形和正方形的面积之和为
A． B． C． D．
6．（2024春 坪山区期末）如图，在一块边长为的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为的人行道把花圃分成9块，下面是四种计算种花部分土地总面积的代数式：①；②；③；④．其中正确的有
A．② B．①③ C．①④ D．④
7．（2023秋 呼和浩特期末）如图1是一个长为宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线把这个长方形剪成四块完全相同的小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，则可以得到一个等式为 ．
8．（2024秋 金牛区校级期中）如图，已知边长为，的长方形，若它的周长为20，面积为32，则的值为 ．
9．（2024春 泰兴市期末）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，、、在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 ．
10．（2024春 西平县期末）如图，在边长为的大正方形内放入三个边长都为的小正方形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是，则的值为 ．
11．（2024春 沭阳县期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为
12．（2024春 新邵县期末）如图1，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长为18，宽为8的长方形，如图2则图2中（1）部分的面积是 ．
13．（2024秋 安溪县期中）（1）如图是华东师大版八年级上册数学教材第52页的图形，它是用四个长和宽分别为，的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），请利用阴影部分面积的不同表示方法写出一个代数恒等式： ；
（2）根据（1）中探索的结论，回答问题：当，时，求的值．
14．（2024秋 南宁期中）如图1，是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形．
（1）图1中的每个小长方形的面积为 ；图2中的中间空白部分的面积为 ；
（2）观察图2，请你写出代数式、、之间的等量关系式为 ；
（3）根据你得到的关系式解答下列问题：若，，求的值．
15．（2024春 城关区校级期中）（1）请同学们观察：用4个长为宽为的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为： ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：
①若，，求的值；
②已知，，请利用上述等式求的值．
16．（2024秋 广东校级期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式．
（1）类似地，写出图2中所表示的数学等式为 ；
（2）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为 ；
（3）利用上面（2）的结论解决问题：若，，求的值；
（4）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．
17．（2024秋 麦积区期中）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ；图②中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ．
【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为、的长方形拼摆成一个如图③的正方形．
（1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系．
（2）若，，求的值．
【解决问题】如图④，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求△的面积．
题型五：平方差公式的几何意义及应用
1．（2024秋 香坊区校级期中）如图从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余的部分沿虚线又剪拼成一个长方形纸片（不重叠、无缝隙），则这个长方形纸片的面积是 ．
A． B． C． D．
2．（2024秋 南岗区校级期中）如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证
A． B．
C． D．
3．（2024 礼县模拟）如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是
A．12 B．18 C．24 D．30
4．（2023秋 镇平县期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是
A． B． C． D．
5．（2023秋 潍坊期末）如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为的正方形场地．场地甲中间有一个边长为的正方形喷水池，四周为草坪；场地乙的上方是长为、宽为的长方形花卉区，下方为草坪．那么甲、乙两块场地中草坪面积的比是
A． B． C． D．
6．（2024春 潍城区期末）在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，不能够验证平方差公式的是
A．
B．
C．
D．
7．（2024春 开封期末）如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形．由阴影部分面积相等，可以得到一个等式为 ．
8．（2024春 萧山区期中）两个小长方形如图①摆放，重叠部分是边长为的正方形，阴影部分的面积为，四个小长方形如图②摆放，左上角形成的是边长为的正方形，此阴影部分面积为，另一阴影部分的面积为，则，，之间的数量关系为 ．
9．（2024春 临淄区期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：
问题一：，
（1）则 ， ；
（2）计算：
问题二：已知，
（1）则 ， ；
（2）已知长和宽分别为，的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．
11．（2024秋 江都区期中）如图①是将一个边长为的大正方形的一角截去一个边长为的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．
（1）请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：
方法一： ，
方法二： ；
（2）根据探究的结果，直接写出，，这三个式子之间的等量关系 ；
（3）利用你发现的结论，求的值．
12．（2023秋 临颍县期末）实践与探索
如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
．
．
．
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知，，则 ．
②计算：．
13．（2024秋 南岗区校级期中）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
（1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 （填序号）；
（2）【应用】利用“平方差公式”计算：；
（3）【拓展】计算：．
14．（2024秋 福州期中）如下表：
“算两次”
素材1 “算两次”，又称“富比尼原理”，是指把同一个量用两种不同的方式表示出来，通过等量关系进行求解的一种数学策略．通过把面积“算两次”，可以巧妙地解决一些数学问题．例如，如图1，已知直角三 角形的三边长，，，可用“算两次”求斜边上的高．面积“算两次”： ，化简得：．
素材2 长为，宽为的长方形，按如图2分割为若干个正方形和长方形，根据“算两次”，可得等式：．
问题解决
任务1 如图3，用四个全等的直角三角形和一个正方形拼接成一个大正方形，结合此图，用“算两次”可得到一个关于，，的等式，请你写出这个等式并化简．
任务2 如图4，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个相同形状的长方形的两条邻边长，观察图案，指出以下正确的关系式 、、、 （填写选项）； ． ． ． ．
任务3 图案设计：如图5，请用3张类纸片、2张类纸片和若干张类纸片拼成了一个大长方形（三种纸片都要使用），请求所用类纸片的数量；并画出相应的图形．（画出一种即可）．
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