湖南省益阳市沅江市南大膳镇小波学校2024-2025学年八年级上学期开学数学试题
1．（2024八上·沅江开学考）将周长是的三角形三条边展开，展开图正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2024八上·沅江开学考）如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
3．（2024八上·沅江开学考）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间的线段最短 B．长方形的四个角都是直角
C．长方形是轴对称图形 D．三角形有稳定性
4．（2024八上·沅江开学考）如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·沅江开学考）一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个角等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．120°
6．（2024八上·沅江开学考）如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·沅江开学考）若，，则的值为（ ）
A．68 B．52 C．20 D．4
8．（2024八上·沅江开学考）如图，在中，，是的角平分线，的角平分线交于点，若，，则（ ）
A．6 B． C． D．
9．（2024八上·沅江开学考）如图，在和中，点B，C，E，F在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八上·沅江开学考）如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（ ）
A．120° B．70° C．60° D．50°
11．（2024八上·沅江开学考）如图，在中，，，以为斜边作等腰直角．连接，则的面积为 ．
12．（2024八上·沅江开学考）如图，工人师傅制作门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是 ．
13．（2024八上·沅江开学考）如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使得平行，则等于 ．
14．（2024八上·沅江开学考）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 度．
15．（2024八上·沅江开学考）定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰△ABC是倍长三角形，且一边长为6，则△ABC的底边长为 ．
16．（2024八上·沅江开学考）如图，和都是等边三角形，且点D，E，F分别在边，，上，若的周长为12，，则 ．
17．（2024八上·沅江开学考）如图，在中，AD为BC边上的中线，于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分，，，则的面积为 ．
18．（2024八上·沅江开学考）已知a，b，c为三角形三边，则 = ．
19．（2024八上·沅江开学考）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
20．（2024八上·沅江开学考）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将△ABC经过一次轴对称变换后得到（图中已标出点C的对应点）．
（1）在给定方格纸中画出；
（2）画出AC边上的中线BD和BC边上的高线AE；
（3）求的面积．
21．（2024八上·沅江开学考）如图，在中，，，点D为边上一动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作，射线交边于点E．
（1）求证：；
（2）试探究当的长为多少时，？请给出你的结论，并说明理由；
（3）过点A在右侧作，交射线于点F，连接．当为等腰三角形时，求的度数．
22．（2024八上·沅江开学考）如图所示，中，，于点E，于点D，交于F．
（1）若，求的度数；
（2）若点F是的中点，求证：．
23．（2024八上·沅江开学考）如图，，．判断与的关系，并证明你的结论．
24．（2024八上·沅江开学考）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：
如图1，在中，，，点D为边中点，点E为边上的动点，过点D作交于点F．
【初步感知】
（1）在点E的运动过程中，线段与始终相等，请证明；
【深入探究】
（2）取线段中点P，连接交于点H，试探究线段，之间的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，连接．当平分时，求的值．
25．（2024八上·沅江开学考）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，过作于点，，交的延长线于点．求证：．
26．（2024八上·沅江开学考）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．
（1）我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，．
证明：；
（2）请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由，故A不符合题意；
由，故B不符合题意；
由，故C不符合题意；
由，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合，
∴，
∴线段是的中线，
故答案为：A．
【分析】利用三角形中线的定义及折叠的性质分析求解即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：用木条固定长方形门框，使其不变形的根据是三角形具有稳定性．
故答案为：D．
【分析】利用三角形的稳定性分析求解即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵是的一个外角，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出，再利用三角形外角的性质求出即可.
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得：（n 2）×180°＝720°，
∴n 2＝4，
∴n＝6．
则这个正多边形的每一个内角为720°÷6＝120°．
故答案为：D．
【分析】先利用多边形的内角和公式可得n 2＝4，求出n的值可得多边形的边数，再利用正多边形的性质求出每一个内角的度数即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，从而得解.
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
把代入可得：，
解得：；
故答案为：A．
【分析】利用完全平方公式及，， 求出，再求出即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图，过点分别作，垂足分别为，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
即，解得，
∵，
∴四边形为矩形，
又∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∴在中，．
故答案为：D
【分析】过点分别作，垂足分别为，根据角平分线的性质可得，再利用勾股定理可得；结合，可得，根据正方形判定定理可得四边形为正方形，则，根据边之间的关系可得BH=6，在中，再根据勾股定理即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
当时，不能判定，故选项A不符合题意；
当时，则，根据可证，故选项B符合题意；
当时，不能判定，故选项C不符合题意；
当时，不能判定，故选项A不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项分析判断即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠AEC=120°，
∴∠AEB=60°，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ADC=∠AEB=60°，∠C=∠B=50°，
∴∠DAC=180° 50° 60°=70°，
故答案为：B
【分析】根据邻补角可得∠AEB=60°，再根据全等三角形的性质可得∠ADC=∠AEB=60°，∠C=∠B=50°，再利用三角形内角和定理即可求出答案.
11．【答案】2或6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，当点D在上方时，取中点E，连接，
设交于T，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∵，点E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
如图所示，过点D作于F，
∴，
∴；
如图所示，当点D在下方时，延长到E使得，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
综上所述，的面积为2或6，
故答案为：2或6．
【分析】分类讨论：①当点D在上方时，取中点E，连接，②当点D在下方时，延长到E使得，先分别画出图形并利用等腰直角三角形的性质分析求解即可.
12．【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：如图所示，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，
使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【分析】根据三角形稳定性即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；内错角的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵由旋转的性质可知：，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用旋转的性质及等边对等角的性质可得．再利用角的运算求出，即可得到，从而得解.
14．【答案】108
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：因为五边形是正五边形，所以每一个内角都是108°，
所以∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，
所以∠COD=36°，
所以∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.
故答案为：108°
【分析】有图像可得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD和∠ODC，进而得到顶角∠COD的度数，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可
15．【答案】3或6
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当6是腰时，则底是3，
当6是底时，腰是12，
∴△ABC的底边长为3或6.
故答案为：3或6..
【分析】分两种情况：当6是腰时，求出底是3，当6是底时，腰是12，即可得出答案.
16．【答案】3
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解∶∵和都是等边三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵的周长为12，
∴，
∴，
故答案为∶3．
【分析】先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合“的周长为12”可得，最后利用线段的和差求出EC的长即可.
17．【答案】4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过F作FG⊥BC于G，如图所示：
∵BF平分，FG⊥BC，即EF⊥AB，
∴FG=EF=2，
∵AD为△ABC的BC边上的中线，
∴FG为△BFC的BC边上在中线，又BC=8，
∴S△CDF=S△BFC=BC·FG=×8×2=4，
故答案为：4．
【分析】 过F作FG⊥BC于G，先利用角平分线的性质求得FG=EF=2，再利用三角形中线的性质及三角形的面积公式求出S△CDF=S△BFC=BC·FG=×8×2=4即可.
18．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】由三角形的三边关系定理得：
则
故答案为： ．
【分析】根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可．
19．【答案】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝110°，
∴∠BAC＝180°-∠B-∠ACB=180°-30°-110°＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠D=90°，
∴∠BAD=180°-∠D-∠B=180°-90°-30°=60°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°－20°＝40°；
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】根据三角形的内角和求得∠BAC的度数，然后根据角平分线的性质求得∠BAE的度数，接下来根据三角形高的性质求得∠D=90°，从而利用三角形内角和定理得∠BAD的度数，进而求∠DAE=∠BAD-∠BAE，即可求解.
20．【答案】（1）解：如图，即为所求作．
（2）解：如图，线段，即为所求作．
（3）解：由题意可得：
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）连接，线段的垂直平分线即为对称轴，作出，的对应点，即可．
（2）根据三角形中线，高的定义画出图形即可．
（3）求出的面积即可．
21．【答案】（1）证明：根据题意可知：，
，
；
（2）解：时，理由如下：
，
为等腰三角形，，
又，
在与中：
，
，
此时；
（3）解：，，，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，
①当时，
，
；
②当时，
，
，
，
③当时，
，
与点D为边上一动点产生矛盾，
故此类型不存在；
综上所述，的度数为或．
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质及角的运算和等量代换可得；
（2）先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别画出图形利用角的运算求解即可.
（1）证明：由图可知：，
，
；
（2）解：时，理由如下：
，
为等腰三角形，，
又，
在与中：
，
，
此时；
（3）解：，，，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，
①当时，
，
；
②当时，
，
，
，
③，
，
与点D为边上一动点产生矛盾，
故此类型不存在；
综上所述，的度数为或．
22．【答案】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，且点F是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；邻补角
【解析】【分析】（1）根据邻补角可得，再根据三角形内角和定理可得，根据等边对等角可得，再根据四边形内角和定理即可求出答案.
（2）连接，根据等腰三角形性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
23．【答案】解：且，证明如下：
，
，
，
，
，
，
，即．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】利用全等三角形的性质可得，再结合，求出，即，从而得证．
24．【答案】解∶（1）。
理由：如图1，连接，
∵，，点D为边中点，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴；
（2），
理由：如图2，过D作交于点Q，
由（1）同理可得，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵E是中点，
∴，
∴，
又，
∴，，
又
∴，；
（3）如图3，过点A作于G，于N，
则四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）过D作交于点Q，先利用“SAS”证出，可得，再结合，，，证出，即可；
（3）过点A作于G，于N，先利用“ASA”证出，可得，再结合，可得，最后求出即可．
25．【答案】证明：如图，连接，．
平分，，，
．
垂直平分，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接，，先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得即可．
26．【答案】（1）证明：如图所示：
∵，∴，
又，
∴，
∴，，
∴梯形的面积，
梯形的面积，
∴，
化简可得：；
（2）解：如图所示：
大正方形的面积；
大正方形的面积，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出，可得，，再利用不同的表示方法求出图中的面积可得，再化简可得；
（2）先画出图形，再利用不同的表达方法求出同一个图形的面积可得．
（1）证明：∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴梯形的面积，
梯形的面积，
∴，
化简可得：；
；
（2）解：如图所示：
大正方形的面积；
大正方形的面积，
∴．
1 / 1湖南省益阳市沅江市南大膳镇小波学校2024-2025学年八年级上学期开学数学试题
1．（2024八上·沅江开学考）将周长是的三角形三条边展开，展开图正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由，故A不符合题意；
由，故B不符合题意；
由，故C不符合题意；
由，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
2．（2024八上·沅江开学考）如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合，
∴，
∴线段是的中线，
故答案为：A．
【分析】利用三角形中线的定义及折叠的性质分析求解即可.
3．（2024八上·沅江开学考）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间的线段最短 B．长方形的四个角都是直角
C．长方形是轴对称图形 D．三角形有稳定性
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：用木条固定长方形门框，使其不变形的根据是三角形具有稳定性．
故答案为：D．
【分析】利用三角形的稳定性分析求解即可.
4．（2024八上·沅江开学考）如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵是的一个外角，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出，再利用三角形外角的性质求出即可.
5．（2024八上·沅江开学考）一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个角等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．120°
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得：（n 2）×180°＝720°，
∴n 2＝4，
∴n＝6．
则这个正多边形的每一个内角为720°÷6＝120°．
故答案为：D．
【分析】先利用多边形的内角和公式可得n 2＝4，求出n的值可得多边形的边数，再利用正多边形的性质求出每一个内角的度数即可.
6．（2024八上·沅江开学考）如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，从而得解.
7．（2024八上·沅江开学考）若，，则的值为（ ）
A．68 B．52 C．20 D．4
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
把代入可得：，
解得：；
故答案为：A．
【分析】利用完全平方公式及，， 求出，再求出即可.
8．（2024八上·沅江开学考）如图，在中，，是的角平分线，的角平分线交于点，若，，则（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图，过点分别作，垂足分别为，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
即，解得，
∵，
∴四边形为矩形，
又∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∴在中，．
故答案为：D
【分析】过点分别作，垂足分别为，根据角平分线的性质可得，再利用勾股定理可得；结合，可得，根据正方形判定定理可得四边形为正方形，则，根据边之间的关系可得BH=6，在中，再根据勾股定理即可求出答案.
9．（2024八上·沅江开学考）如图，在和中，点B，C，E，F在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
当时，不能判定，故选项A不符合题意；
当时，则，根据可证，故选项B符合题意；
当时，不能判定，故选项C不符合题意；
当时，不能判定，故选项A不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项分析判断即可.
10．（2024八上·沅江开学考）如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（ ）
A．120° B．70° C．60° D．50°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠AEC=120°，
∴∠AEB=60°，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ADC=∠AEB=60°，∠C=∠B=50°，
∴∠DAC=180° 50° 60°=70°，
故答案为：B
【分析】根据邻补角可得∠AEB=60°，再根据全等三角形的性质可得∠ADC=∠AEB=60°，∠C=∠B=50°，再利用三角形内角和定理即可求出答案.
11．（2024八上·沅江开学考）如图，在中，，，以为斜边作等腰直角．连接，则的面积为 ．
【答案】2或6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，当点D在上方时，取中点E，连接，
设交于T，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∵，点E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
如图所示，过点D作于F，
∴，
∴；
如图所示，当点D在下方时，延长到E使得，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
综上所述，的面积为2或6，
故答案为：2或6．
【分析】分类讨论：①当点D在上方时，取中点E，连接，②当点D在下方时，延长到E使得，先分别画出图形并利用等腰直角三角形的性质分析求解即可.
12．（2024八上·沅江开学考）如图，工人师傅制作门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是 ．
【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：如图所示，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，
使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【分析】根据三角形稳定性即可求出答案.
13．（2024八上·沅江开学考）如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使得平行，则等于 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；内错角的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵由旋转的性质可知：，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用旋转的性质及等边对等角的性质可得．再利用角的运算求出，即可得到，从而得解.
14．（2024八上·沅江开学考）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 度．
【答案】108
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：因为五边形是正五边形，所以每一个内角都是108°，
所以∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，
所以∠COD=36°，
所以∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.
故答案为：108°
【分析】有图像可得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD和∠ODC，进而得到顶角∠COD的度数，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可
15．（2024八上·沅江开学考）定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰△ABC是倍长三角形，且一边长为6，则△ABC的底边长为 ．
【答案】3或6
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当6是腰时，则底是3，
当6是底时，腰是12，
∴△ABC的底边长为3或6.
故答案为：3或6..
【分析】分两种情况：当6是腰时，求出底是3，当6是底时，腰是12，即可得出答案.
16．（2024八上·沅江开学考）如图，和都是等边三角形，且点D，E，F分别在边，，上，若的周长为12，，则 ．
【答案】3
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解∶∵和都是等边三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵的周长为12，
∴，
∴，
故答案为∶3．
【分析】先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合“的周长为12”可得，最后利用线段的和差求出EC的长即可.
17．（2024八上·沅江开学考）如图，在中，AD为BC边上的中线，于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分，，，则的面积为 ．
【答案】4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过F作FG⊥BC于G，如图所示：
∵BF平分，FG⊥BC，即EF⊥AB，
∴FG=EF=2，
∵AD为△ABC的BC边上的中线，
∴FG为△BFC的BC边上在中线，又BC=8，
∴S△CDF=S△BFC=BC·FG=×8×2=4，
故答案为：4．
【分析】 过F作FG⊥BC于G，先利用角平分线的性质求得FG=EF=2，再利用三角形中线的性质及三角形的面积公式求出S△CDF=S△BFC=BC·FG=×8×2=4即可.
18．（2024八上·沅江开学考）已知a，b，c为三角形三边，则 = ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】由三角形的三边关系定理得：
则
故答案为： ．
【分析】根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可．
19．（2024八上·沅江开学考）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
【答案】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝110°，
∴∠BAC＝180°-∠B-∠ACB=180°-30°-110°＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠D=90°，
∴∠BAD=180°-∠D-∠B=180°-90°-30°=60°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°－20°＝40°；
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】根据三角形的内角和求得∠BAC的度数，然后根据角平分线的性质求得∠BAE的度数，接下来根据三角形高的性质求得∠D=90°，从而利用三角形内角和定理得∠BAD的度数，进而求∠DAE=∠BAD-∠BAE，即可求解.
20．（2024八上·沅江开学考）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将△ABC经过一次轴对称变换后得到（图中已标出点C的对应点）．
（1）在给定方格纸中画出；
（2）画出AC边上的中线BD和BC边上的高线AE；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求作．
（2）解：如图，线段，即为所求作．
（3）解：由题意可得：
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）连接，线段的垂直平分线即为对称轴，作出，的对应点，即可．
（2）根据三角形中线，高的定义画出图形即可．
（3）求出的面积即可．
21．（2024八上·沅江开学考）如图，在中，，，点D为边上一动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作，射线交边于点E．
（1）求证：；
（2）试探究当的长为多少时，？请给出你的结论，并说明理由；
（3）过点A在右侧作，交射线于点F，连接．当为等腰三角形时，求的度数．
【答案】（1）证明：根据题意可知：，
，
；
（2）解：时，理由如下：
，
为等腰三角形，，
又，
在与中：
，
，
此时；
（3）解：，，，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，
①当时，
，
；
②当时，
，
，
，
③当时，
，
与点D为边上一动点产生矛盾，
故此类型不存在；
综上所述，的度数为或．
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质及角的运算和等量代换可得；
（2）先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别画出图形利用角的运算求解即可.
（1）证明：由图可知：，
，
；
（2）解：时，理由如下：
，
为等腰三角形，，
又，
在与中：
，
，
此时；
（3）解：，，，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，
①当时，
，
；
②当时，
，
，
，
③，
，
与点D为边上一动点产生矛盾，
故此类型不存在；
综上所述，的度数为或．
22．（2024八上·沅江开学考）如图所示，中，，于点E，于点D，交于F．
（1）若，求的度数；
（2）若点F是的中点，求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，且点F是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；邻补角
【解析】【分析】（1）根据邻补角可得，再根据三角形内角和定理可得，根据等边对等角可得，再根据四边形内角和定理即可求出答案.
（2）连接，根据等腰三角形性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
23．（2024八上·沅江开学考）如图，，．判断与的关系，并证明你的结论．
【答案】解：且，证明如下：
，
，
，
，
，
，
，即．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】利用全等三角形的性质可得，再结合，求出，即，从而得证．
24．（2024八上·沅江开学考）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：
如图1，在中，，，点D为边中点，点E为边上的动点，过点D作交于点F．
【初步感知】
（1）在点E的运动过程中，线段与始终相等，请证明；
【深入探究】
（2）取线段中点P，连接交于点H，试探究线段，之间的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，连接．当平分时，求的值．
【答案】解∶（1）。
理由：如图1，连接，
∵，，点D为边中点，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴；
（2），
理由：如图2，过D作交于点Q，
由（1）同理可得，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵E是中点，
∴，
∴，
又，
∴，，
又
∴，；
（3）如图3，过点A作于G，于N，
则四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）过D作交于点Q，先利用“SAS”证出，可得，再结合，，，证出，即可；
（3）过点A作于G，于N，先利用“ASA”证出，可得，再结合，可得，最后求出即可．
25．（2024八上·沅江开学考）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，过作于点，，交的延长线于点．求证：．
【答案】证明：如图，连接，．
平分，，，
．
垂直平分，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接，，先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得即可．
26．（2024八上·沅江开学考）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．
（1）我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，．
证明：；
（2）请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果．
【答案】（1）证明：如图所示：
∵，∴，
又，
∴，
∴，，
∴梯形的面积，
梯形的面积，
∴，
化简可得：；
（2）解：如图所示：
大正方形的面积；
大正方形的面积，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出，可得，，再利用不同的表示方法求出图中的面积可得，再化简可得；
（2）先画出图形，再利用不同的表达方法求出同一个图形的面积可得．
（1）证明：∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴梯形的面积，
梯形的面积，
∴，
化简可得：；
；
（2）解：如图所示：
大正方形的面积；
大正方形的面积，
∴．
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