河北省示范性高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学（含答案）

1
河北省示范性高中高一年级期中质量检测联合测评
数学
班级__________ 姓名__________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
2. 以下函数中，在上单调递增且是偶函数的是（）
A. B.
C. D.
3. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的是（）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
4. 已知幂函数在区间上单调递减，则（）
A. 1 B. C. D. 2
5. 下列命题为真命题的是（）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
6. 已知函数，若，则（）
A. 2或-2或-1 B. 2或-1 C. 2或-2 D. -2
7. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8. 已知函数的图象关于y轴对称，若，且，都有，则下列结论正确的是（）
A. 的最大值为
B.
C. 函数的图象关于点中心对称
D. 若，则
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 设集合，，且，则实数a的值可以是（）
A. 2 B. 1 C. D. 0
10. 下列结论中正确的有（）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 已知命题“，”，则该命题的否定为“，”
C. “”是“”的充分不必要条件
D. “关于的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是
11. 下列说法正确的有（）
A. 若，则函数最大值为
B. 已知，则的最小值为
C. 若正数x、y满足，则的最小值为3
D. 设x、y为正实数，且，则的最小值为6
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是_________.
13. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为_________.
14. 已知，，满足不等式，则实数m取值范围是_________.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知全集，集合，集合.
（1）求集合；
（2）设集合，若集合，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
16. 某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池，其蓄水量为，高为，底面一条边长为5m，施工方给的造价：四个侧面造价为100元/，底面造价为80元/.
（1）设此蓄水池总造价为y元，求y关于x的函数关系式；
（2）如果你是施工方，请帮该厂设计一个总造价最低的方案，给出具体的数据参考.
17. 设函数，.
（1）若在上单调递减，求实数取值范围；
（2）求关于的不等式的解集.
18. 已知集合，实数满足.
（1）若集合，且，，是集合中最小三个元素，求集合A；
（2）在（1）的条件下，若实数b构成的集合为B，且集合，若实数，且关于x的方程有实数解，请列出所有满足条件的有序数对.
19. 已知实数，函数，.
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）用定义证明函数在上单调递增，并判断在是否也单调，如果单调，判断是增函数还是减函数.
（3）当，时，用表示、的最大者，记为，求的最值.
河北省示范性高中高一年级期中质量检测联合测评
数学
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】B
2.
【答案】D
3.
【答案】D
4.
【答案】A
5.
【答案】C
6.
【答案】D
7.
【答案】C
8.
【答案】D
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.
【答案】ACD
10.
【答案】BD
11.
【答案】BCD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.【答案】
13.【答案】或.
14.【答案】或
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.
【解析】
【分析】（1）解分式不等式得到或，根据补集和交集概念求出答案；
（2）得到为的真子集，且，从而得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
，
等价于，解得或，
故或，，
，
【小问2详解】
由（1）知，，
是的充分不必要条件，故为的真子集，
又，
故，解得，
故实数a的取值范围是.
16.
【解析】
【分析】（1）由题意表达出长方体底面的另一条边长为m，从而表达出y关于x的函数关系式；
（2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出的最小值和此时所满足的条件，得到答案.
【小问1详解】
长方体蓄水池的底面面积为，
长方体底面的另一条边长为m，
故，；
【小问2详解】
，故由基本不等式得
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时m，
故当长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低.
17.
【解析】
【分析】（1）分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
（2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，结合一次不等式和二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【小问1详解】
因为函数在上单调递减，
当时，即函数在上单调递减，合乎题意；
当时，因为二次函数在上单调递减，
可得，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【小问2详解】
不等式可化为，
当时，原不等式即为，解得；
当时，方程的两根分别为，.
（i）当时，，解原不等式可得；
（ii）当时，，解原不等式可得或.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
18.
【解析】
【分析】（1）根据单调性得到最小的三个元素，得到答案；
（2）先求出，得到，分和，结合根的判别式得到满足的条件，求出所有满足条件的有序数对.
【小问1详解】
随着的增大而增大，
又，故集合中最小的三个元素依次为
，
故；
【小问2详解】
，
当时，或1，当时，与元素互异性矛盾，舍去，满足要求，
当时，或2，两者均满足要求，
当时，（舍去），
综上，，
，
，关于x的方程有实数解，
当时，，解得，满足要求，
故均可，满足条件的有序数对有，
当，需满足，即，
若，则，满足条件的有序数对有，
若，则，满足条件的有序数对有，
若，则，满足条件的有序数对有，
若，则，满足条件的有序数对有，
综上，满足条件的有序数对有，
.
19.
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性；
（2）任取、且，作差，变形，判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；同理结合函数单调性的定义可判断出函数在上的单调性；
（3）化简函数在上的解析式，并分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在上的最小值和最大值.
【小问1详解】
因为实数，函数，，
则，其中，
，则函数为偶函数.
【小问2详解】
因为，任取、且，则，，
则
，即，
所以，函数在上为增函数，
函数在上也为增函数，理由如下：
因为，任取、且，则，，
则
，即，
所以，函数在上为增函数.
【小问3详解】
当时，，，
则，
因为，当时，，即，
当时，，即，
故当时，，
由对勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数，
因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
又因为函数在上连续，故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
又因为，，则，
所以，当时，函数在区间上的最小值为，最大值为.
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