浙江省金华市东阳市横店八校联考2024-2025学年九年级上学期开学数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024九上·东阳开学考）要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x-3≥0，
解得，x≥3.
故答案为：D .
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式：x-3≥0，解这个不等式即可求解.
2．（2024九上·东阳开学考）推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．有害垃圾 B．可回收物
C．厨余垃圾 D．其他垃圾
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A.既是轴对称图形也是中心对称图形
B.不是轴对称图形也不是中心对称图形
C.是轴对称图形而不是中心对称图形
D.不是中心对称图形也不是轴对称图形
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知．
3．（2024九上·东阳开学考）下列各式成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A．，故A选项计算错误，不符合题意；
B．，故B选项计算错误，不符合题意；
C．，故C选项计算错误，不符合题意；
D．，故D选项计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质逐项进行计算，即可求解.
4．（2024九上·东阳开学考） 用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（ ）
A． B．a与b不平行 C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则“a∥b”时，应假设a与b不平行，即a与b相交.
故答案为：B.
【分析】反证法的步骤中，第一步假设结论不成立，即反面成立可求解.
5．（2024九上·东阳开学考） 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x=（ ）
A．25元 B．20元 C．30元 D．40元
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：y=-x2+50x-500
=-（x2-50x+252）+125，
∵-1＜0，
∴图象的开口向下，函数y有最大值，
∴当x=25时，可获得最大利润.
故答案为：A.
【分析】由题意，先将函数解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解.
6．（2024九上·东阳开学考）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不符合题意；
B、∵﹣ ，∴抛物线的对称轴为直线x= ，选项B不符合题意；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C符合题意；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x= ，
∴当x＞ 时，y随x值的增大而增大，选项D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系，由a=1＞0，故抛物线开口向上；由=，故抛物线的对称轴为直线x=；当x=0时，y=x2﹣x=0，故抛物线经过原点；根据抛物线的开口方向，对称轴直线，判断出当x＞ 时，y随x值的增大而增大。
7．（2024九上·东阳开学考）如图，点，，分别在的各边上，且，，若：：，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，
四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴可得，
故答案为：C．
【分析】本题考查平行线分线段成比例.先证明四边形为平行四边形，则得到，然后利用平行线分线段成比例，由，得到，然后利用比例性质得到，进而可得到的长．
8．（2024九上·东阳开学考）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为边中点．若菱形的面积为24，，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，，
，，
菱形的面积为，
∴，
，
，
，
为边中点，
，
故答案为：A．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分可得，，根据菱形的面积公式求出BD的值，即可得出OD的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AD的值，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长．
9．（2024九上·东阳开学考）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：依题意，设，则，，
∵点A在的图象上
则，
同理∵B，D两点在的图象上，
则
∵
∴，
又∵，
故，
∴，
故答案为：D．
【分析】设，根据矩形的对边相等和反比例函数上点的特征可得，，，根据反比例函数系数k的几何意义可得，，代入求出，即得出，即可求得．
10．（2024九上·东阳开学考）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，
∴AD∥BC，∠A=90°，AE=2-ED，
∴∠AEB=∠GBE，
由折叠得HB=AB=1，EG=ED，HE=AE=2-ED，∠BHE=∠A=90°，∠AEB=∠GEB，
∴GH=EG-HE=ED-（2-ED）=2ED-2，∠BHG=90°，∠GBE=∠GEB，
∴BG=EG=ED，
∵HB2+GH2=BG2，
∴12+（2ED-2）2=ED2，
整理得（3ED-5）（ED-1）=0，
∴或ED=1（不符合题意，舍去）.
故答案为：D．
【分析】根据矩形的对边平行且相等，四个角都是直角可得AD∥BC，∠A=90°，AE=2-ED，根据两直线平行，内错角相等得出∠AEB=∠GBE，根据折叠前后两图形的对应角相等，对应边相等得出HB=AB=1，EG=ED，HE=AE=2-ED，∠BHE=∠A=90°，∠AEB=∠GEB，即可得出GH=2ED-2，∠BHG=90°，∠GBE=∠GEB，根据等角对等边得出BG=EG=ED，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可求出DE的值，
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024九上·东阳开学考）在直角坐标系中，点（﹣3，1）关于原点对称点的坐标是 ．
【答案】（3，﹣1）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点（﹣3，1）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
【分析】根据关于原点对称的点，其横坐标与纵坐标都互为相反数，据此即可求解.
12．（2024九上·东阳开学考）若，则的值为 ．
【答案】7
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：7.
【分析】先根据等式用表示出，得到：，然后代入比例式进行计算即可得解．
13．（2024九上·东阳开学考） 已知某组数据的方差为，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由题意可得，这组数据为：3，4，7，10，
∴=6.
故答案为：6.
【分析】根据方差公式可知，这组数据的每一个数据，然后根据平均数的计算公式计算即可求解.
14．（2024九上·东阳开学考）已知点，，在函数的图象上，比较，，大小 （用“”连接）．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点，，在函数的图象上，
，，
故答案为：．
【分析】 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征 .先把三个点的坐标依次代入反比例函数的解析式，据此可求出、、的值，再将三个值进行比较，可判断它们的大小．
15．（2024九上·东阳开学考）如图，在正方形中，点E，F分别在的延长线上，连接，与交于点G．已知，．，则 ．
【答案】3
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在上截取，连接，，过点作于，如图所示：
设，
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
中，，
，
解得：，
，
故答案为：3.
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用.在上截取，连接，，过点作于，设.已知四边形为正方形 ，利用正方形的性质可推出，，利用"SAS"可证明， 利用全等三角形的性质可推出：，，，利用角的运算可得：，再利用"SAS"可证明， 利用全等三角形的性质可得：，在中，根据勾股定理列出方程，解方程可求出CE的长．
16．（2024九上·东阳开学考） 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的结论是 ．
【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵x=-1时，y=-1；x=0时，y=3；x=1时，y=5，
∴，
解得：，
∴y=-x2+3x+3，
∴ac=-1×3=-3＜0，结论正确；
②由①知：y=-x2+3x+3，
∴对称轴为：直线x=，
∵a=-1＜0，
∴ 当x＞时，y随x的增大而减小，
∴结论错误；
③方程-x2+（3-1）x+3=0的解为：
x1=-1，x2=3，
∴3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，结论正确；
④结合③的结论可知：
当-1＜x＜3时，ax2+（b-1）x+c＞0，结论正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据表格中的信息，用待定系数法计算可求得a、b、c的值，然后可判断①和②，解一元二次方程-x2+（3-1）x+3=0可判断③，结合③的结论可判断④.
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17．（2024九上·东阳开学考）
（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）解：原式=
=5-3+6+-4
=4+；
（2）解：原方程可化为：
（x-1）（x-3）=0，
∴x-1=0，x-3=0，
∴，
∴原方程的解为：x1=1，x2=3.
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质“”和合并同类二次根式的法则计算即可求解；
（2）用因式分解法可将原方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解.
18．（2024九上·东阳开学考）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值．
（2）设，是方程的两个实数根，当时，求的值．
【答案】（1）解：根据题意得，
解得，；
即b的值为或；
（2）解：当时，方程化为，
根据根与系数的关系得，
所以．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据“方程有两个相等的实数根”结合根的判别式可得，解方程即可求出b的值；
（2）根据根与系数的关系得，再利用因式分解法变形得到，然后整体代入计算即可求解.
（1）解：根据题意得，
解得，；
即b的值为或；
（2）当时，方程化为，
根据根与系数的关系得，
所以．
19．（2024九上·东阳开学考）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划招募若干名学生会干事．现有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加文化水平、口头表达、组织策划三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将文化水平、口头表达、组织策划三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．
已知圆圆、芳芳的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
文化水平 口头表达 组织策划
圆圆
芳芳 ▲ ▲
（1）在组织策划测试中，七位评委给芳芳打出的分数如下：75，82，74，81，70，83，81．这组数据的中位数是______分，众数是______分，平均数是______分．
（2）请你计算芳芳的总评成绩．
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔11名学生会干事．试分析芳芳、圆圆能否入选，并说明理由．
【答案】（1）；；
（2）解：（分），
故芳芳的总评成绩为分；
（3）解：不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选，
理由如下：由名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于分的有人，因为圆圆分、芳芳分，
所以不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）七位评委给芳芳打出的分数从小到大排列为：，，，，，，，
所以这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是（分）；
故答案为：；；.
【分析】（1）根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数、中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）、一组数据中出现次数最多的数据叫做众数即可求出答案；
（2）根据加权平均数是指将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数进行计算即可；
（3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图可得小于分的有人，因为圆圆分、芳芳分，即可得出不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选．
（1）解：七位评委给芳芳打出的分数从小到大排列为：，，，，，，，
所以这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是（分）；
故答案为：，，；
（2）（分），
答：芳芳的总评成绩为分；
（3）不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选，理由如下：
由名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于分的有人，因为圆圆分、芳芳分，
所以不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选．
20．（2024九上·东阳开学考） 在中，点M是边的中点，平分，．的延长线交于点E，．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：平分.
在与中.
（2）
是BC的中点，.
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由题意，用角边角可证△ADB≌△ADE，然后根据全等三角形的对应边相等可求解；
（2）由全等三角形的对应边相等可得AE=AB，由线段的构成EC=AC-AE求出EC的值，然后根据线段的中点的定义可求解.
21．（2024九上·东阳开学考）在平面直角坐标系中，设反比例函数(为常数，)的图象与一次函数(，为常数，)的图象交于点，．
（1）求的值和一次函数表达式．
（2）当时，直接写出的取值范围．
（3）若点在函数的图象上，点先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
【答案】（1）解：将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以点的坐标为．
将，两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为．
（2）解：由函数图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即，
所以当时，的取值范围是：或．
（3）解：因为点在函数的图象上，
所以令点的坐标为，
则点向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得点的坐标可表示为，
即点的坐标为．
因为点在函数的图象上，
所以，
解得，
所以点的坐标为或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先根据待定系数法求出反比例函数的解析式，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出m的值，最后根据待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）结合函数图象以及，两点坐标，即可求解；
（3）设点的坐标为，根据平移的方向的单位可得点的坐标，最后将点坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，即可求解.
（1）解：将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以点的坐标为．
将，两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为．
（2）由函数图象可知，
当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即，
所以当时，的取值范围是：或．
（3）因为点在函数的图象上，
所以令点的坐标为，
则点向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得点的坐标可表示为，
即点的坐标为．
因为点在函数的图象上，
所以，
解得，
所以点的坐标为或．
22．（2024九上·东阳开学考） 某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元．
（1）求2021年至2023年日租金的平均增长率．
（2）经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．
①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为 ▲ 元，实际能租出 ▲ 辆车．
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益总租金各类费用)
【答案】（1）解：设2021年至2023年日租金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：(不符合题意，舍去).
答：2021年至2023年日租金的平均增长率为；
（2）解：①根据题意得：在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元，
实际能租出辆.
故答案为：；
②根据题意得：，
整理得：，
解得：.
答： 当每辆汽车的日租金上涨20元或30元时，该租赁公司的日收益可达28200元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设2021年至2023年日租金的平均增长率为，根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列关于x的方程，解方程即可求解；
（2）①根据每辆汽车日租金=121+每辆汽车日租金上涨的钱数即可将每辆汽车日租金用含y的代数式表示出来；根据实际能租出的数量=300-2×每辆汽车日租金上涨的钱数可将实际能租出的数量用含y的代数式表示出来；
②根据日收益总租金各类费用可得关于y的方程，解方程即可求解.
23．（2024九上·东阳开学考）在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
（1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由）
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值；
（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值．
【答案】（1）四边形是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AB=6，BC=8，
∴由勾股定理得AC=10，
①如图1，当E、F相遇前，连接，
∴GH=EF，
∵ G，H分别是，中点， 四边形ABCD是矩形，
∴AG=BH，AG∥BH，∠BAG=90°，
∴四边形是矩形，
∵AB=6，
∴，
∵，
∴t+6+t=10，
解得：；
②如图2，当E、F相遇后，连接，
同理，，
∴t+t=10+6，
解得：；
综上所述，若四边形为矩形，则或
（3）解：如图3，分别取、的中点为M、N，连接，，，与交于点O，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵四边形ABCD是矩形，BC=8，AB=6，
∴，AD=BC=8，CD=AB=6，∠D=90°，
∴四边形为菱形，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
∴，
∵M是AD中点，AD=8，
∴AM=4，
∴，
根据题意，得MG=t，
∴，
∴当时，四边形为菱形
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题
24．（2024九上·东阳开学考）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式及点坐标；
（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标．
【答案】（1）解：把B（1，0）和C（0，-3）代入y=ax2+bx+c得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3；
∵点A在x轴上，
∴解方程x2+2x-3=0得：
x1=1，x2=3，
∴A（-3，0）.
（2）解：连接AD、CD，
设直线AC的表达式为y=kx+n，
由题意，把A（-3，0）和C（0，-3）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，
过点D作x轴的垂线，交AC于点G，
由图得：S ACD=S ADG+S CDG=DG·OA+DG×3=DG，
∴当DG取最大值时， ACD的面积最大，
设D（m，m2+2m-3），则G（m，-m-3），
∵点D在第三象限，
∴-3＜m＜0，DG=-m-3-(m2+2m-3)=-m2-3m，
∴S ACD=（-m2-3m）=-（m+）2+，
∴当m=-时， ACD的面积最大，且最大值为，
此时点D的坐标为（-，）.
答： ACD的面积的最大值为；D（，）.
（3）解：在二次函数图象上存在点N， 使以为顶点的四边形是平行四边形 ，
理由如下：∵B（1，0），
∴OB=1，
由y=x2+2x-3得，抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
∴当OB为平行四边形的边时，MN=OB=1，
设点N的横坐标为t，
∵MN∥x轴，
∴，
解得：t=0或t=2，
∵点N在抛物线上，
∴点N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）；
∴当OB为平行四边形的对角线时，
，
解得：t=2，
∴点N的坐标为（2，5）.
综上可得：在二次函数图象上存在点N， 使以为顶点的四边形是平行四边形 ，且N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）或（2，5）.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法计算即可求解；
（2）连接AD、CD，用待定系数法求出直线AC的表达式；过点D作x轴的垂线，交AC于点G，由图得：S ACD=S ADG+S CDG=DG·OA+DG×3=DG，于是当DG取最大值时， ACD的面积最大，设D（m，m2+2m-3），则G（m，-m-3），可得S ACD与m之间的函数关系式，并配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解；
（3）由题意可分两种情况讨论：①当OB为平行四边形的边时，②当OB为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质可得关于t的方程，解方程即可求解.
1 / 1浙江省金华市东阳市横店八校联考2024-2025学年九年级上学期开学数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024九上·东阳开学考）要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·东阳开学考）推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．有害垃圾 B．可回收物
C．厨余垃圾 D．其他垃圾
3．（2024九上·东阳开学考）下列各式成立的是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2024九上·东阳开学考） 用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（ ）
A． B．a与b不平行 C． D．
5．（2024九上·东阳开学考） 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x=（ ）
A．25元 B．20元 C．30元 D．40元
6．（2024九上·东阳开学考）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
7．（2024九上·东阳开学考）如图，点，，分别在的各边上，且，，若：：，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·东阳开学考）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为边中点．若菱形的面积为24，，则的长为( )
A． B． C． D．
9．（2024九上·东阳开学考）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
10．（2024九上·东阳开学考）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024九上·东阳开学考）在直角坐标系中，点（﹣3，1）关于原点对称点的坐标是 ．
12．（2024九上·东阳开学考）若，则的值为 ．
13．（2024九上·东阳开学考） 已知某组数据的方差为，则的值为 ．
14．（2024九上·东阳开学考）已知点，，在函数的图象上，比较，，大小 （用“”连接）．
15．（2024九上·东阳开学考）如图，在正方形中，点E，F分别在的延长线上，连接，与交于点G．已知，．，则 ．
16．（2024九上·东阳开学考） 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的结论是 ．
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17．（2024九上·东阳开学考）
（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（2024九上·东阳开学考）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值．
（2）设，是方程的两个实数根，当时，求的值．
19．（2024九上·东阳开学考）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划招募若干名学生会干事．现有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加文化水平、口头表达、组织策划三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将文化水平、口头表达、组织策划三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．
已知圆圆、芳芳的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
文化水平 口头表达 组织策划
圆圆
芳芳 ▲ ▲
（1）在组织策划测试中，七位评委给芳芳打出的分数如下：75，82，74，81，70，83，81．这组数据的中位数是______分，众数是______分，平均数是______分．
（2）请你计算芳芳的总评成绩．
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔11名学生会干事．试分析芳芳、圆圆能否入选，并说明理由．
20．（2024九上·东阳开学考） 在中，点M是边的中点，平分，．的延长线交于点E，．
（1）求证：；
（2）求的长．
21．（2024九上·东阳开学考）在平面直角坐标系中，设反比例函数(为常数，)的图象与一次函数(，为常数，)的图象交于点，．
（1）求的值和一次函数表达式．
（2）当时，直接写出的取值范围．
（3）若点在函数的图象上，点先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
22．（2024九上·东阳开学考） 某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元．
（1）求2021年至2023年日租金的平均增长率．
（2）经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．
①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为 ▲ 元，实际能租出 ▲ 辆车．
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益总租金各类费用)
23．（2024九上·东阳开学考）在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
（1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由）
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值；
（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值．
24．（2024九上·东阳开学考）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式及点坐标；
（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x-3≥0，
解得，x≥3.
故答案为：D .
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式：x-3≥0，解这个不等式即可求解.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A.既是轴对称图形也是中心对称图形
B.不是轴对称图形也不是中心对称图形
C.是轴对称图形而不是中心对称图形
D.不是中心对称图形也不是轴对称图形
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知．
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A．，故A选项计算错误，不符合题意；
B．，故B选项计算错误，不符合题意；
C．，故C选项计算错误，不符合题意；
D．，故D选项计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质逐项进行计算，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则“a∥b”时，应假设a与b不平行，即a与b相交.
故答案为：B.
【分析】反证法的步骤中，第一步假设结论不成立，即反面成立可求解.
5．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：y=-x2+50x-500
=-（x2-50x+252）+125，
∵-1＜0，
∴图象的开口向下，函数y有最大值，
∴当x=25时，可获得最大利润.
故答案为：A.
【分析】由题意，先将函数解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解.
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不符合题意；
B、∵﹣ ，∴抛物线的对称轴为直线x= ，选项B不符合题意；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C符合题意；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x= ，
∴当x＞ 时，y随x值的增大而增大，选项D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系，由a=1＞0，故抛物线开口向上；由=，故抛物线的对称轴为直线x=；当x=0时，y=x2﹣x=0，故抛物线经过原点；根据抛物线的开口方向，对称轴直线，判断出当x＞ 时，y随x值的增大而增大。
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，
四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴可得，
故答案为：C．
【分析】本题考查平行线分线段成比例.先证明四边形为平行四边形，则得到，然后利用平行线分线段成比例，由，得到，然后利用比例性质得到，进而可得到的长．
8．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，，
，，
菱形的面积为，
∴，
，
，
，
为边中点，
，
故答案为：A．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分可得，，根据菱形的面积公式求出BD的值，即可得出OD的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AD的值，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长．
9．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：依题意，设，则，，
∵点A在的图象上
则，
同理∵B，D两点在的图象上，
则
∵
∴，
又∵，
故，
∴，
故答案为：D．
【分析】设，根据矩形的对边相等和反比例函数上点的特征可得，，，根据反比例函数系数k的几何意义可得，，代入求出，即得出，即可求得．
10．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，
∴AD∥BC，∠A=90°，AE=2-ED，
∴∠AEB=∠GBE，
由折叠得HB=AB=1，EG=ED，HE=AE=2-ED，∠BHE=∠A=90°，∠AEB=∠GEB，
∴GH=EG-HE=ED-（2-ED）=2ED-2，∠BHG=90°，∠GBE=∠GEB，
∴BG=EG=ED，
∵HB2+GH2=BG2，
∴12+（2ED-2）2=ED2，
整理得（3ED-5）（ED-1）=0，
∴或ED=1（不符合题意，舍去）.
故答案为：D．
【分析】根据矩形的对边平行且相等，四个角都是直角可得AD∥BC，∠A=90°，AE=2-ED，根据两直线平行，内错角相等得出∠AEB=∠GBE，根据折叠前后两图形的对应角相等，对应边相等得出HB=AB=1，EG=ED，HE=AE=2-ED，∠BHE=∠A=90°，∠AEB=∠GEB，即可得出GH=2ED-2，∠BHG=90°，∠GBE=∠GEB，根据等角对等边得出BG=EG=ED，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可求出DE的值，
11．【答案】（3，﹣1）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点（﹣3，1）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
【分析】根据关于原点对称的点，其横坐标与纵坐标都互为相反数，据此即可求解.
12．【答案】7
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：7.
【分析】先根据等式用表示出，得到：，然后代入比例式进行计算即可得解．
13．【答案】6
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由题意可得，这组数据为：3，4，7，10，
∴=6.
故答案为：6.
【分析】根据方差公式可知，这组数据的每一个数据，然后根据平均数的计算公式计算即可求解.
14．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点，，在函数的图象上，
，，
故答案为：．
【分析】 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征 .先把三个点的坐标依次代入反比例函数的解析式，据此可求出、、的值，再将三个值进行比较，可判断它们的大小．
15．【答案】3
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在上截取，连接，，过点作于，如图所示：
设，
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
中，，
，
解得：，
，
故答案为：3.
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用.在上截取，连接，，过点作于，设.已知四边形为正方形 ，利用正方形的性质可推出，，利用"SAS"可证明， 利用全等三角形的性质可推出：，，，利用角的运算可得：，再利用"SAS"可证明， 利用全等三角形的性质可得：，在中，根据勾股定理列出方程，解方程可求出CE的长．
16．【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵x=-1时，y=-1；x=0时，y=3；x=1时，y=5，
∴，
解得：，
∴y=-x2+3x+3，
∴ac=-1×3=-3＜0，结论正确；
②由①知：y=-x2+3x+3，
∴对称轴为：直线x=，
∵a=-1＜0，
∴ 当x＞时，y随x的增大而减小，
∴结论错误；
③方程-x2+（3-1）x+3=0的解为：
x1=-1，x2=3，
∴3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，结论正确；
④结合③的结论可知：
当-1＜x＜3时，ax2+（b-1）x+c＞0，结论正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据表格中的信息，用待定系数法计算可求得a、b、c的值，然后可判断①和②，解一元二次方程-x2+（3-1）x+3=0可判断③，结合③的结论可判断④.
17．【答案】（1）解：原式=
=5-3+6+-4
=4+；
（2）解：原方程可化为：
（x-1）（x-3）=0，
∴x-1=0，x-3=0，
∴，
∴原方程的解为：x1=1，x2=3.
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质“”和合并同类二次根式的法则计算即可求解；
（2）用因式分解法可将原方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解.
18．【答案】（1）解：根据题意得，
解得，；
即b的值为或；
（2）解：当时，方程化为，
根据根与系数的关系得，
所以．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据“方程有两个相等的实数根”结合根的判别式可得，解方程即可求出b的值；
（2）根据根与系数的关系得，再利用因式分解法变形得到，然后整体代入计算即可求解.
（1）解：根据题意得，
解得，；
即b的值为或；
（2）当时，方程化为，
根据根与系数的关系得，
所以．
19．【答案】（1）；；
（2）解：（分），
故芳芳的总评成绩为分；
（3）解：不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选，
理由如下：由名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于分的有人，因为圆圆分、芳芳分，
所以不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）七位评委给芳芳打出的分数从小到大排列为：，，，，，，，
所以这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是（分）；
故答案为：；；.
【分析】（1）根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数、中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）、一组数据中出现次数最多的数据叫做众数即可求出答案；
（2）根据加权平均数是指将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数进行计算即可；
（3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图可得小于分的有人，因为圆圆分、芳芳分，即可得出不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选．
（1）解：七位评委给芳芳打出的分数从小到大排列为：，，，，，，，
所以这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是（分）；
故答案为：，，；
（2）（分），
答：芳芳的总评成绩为分；
（3）不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选，理由如下：
由名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于分的有人，因为圆圆分、芳芳分，
所以不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选．
20．【答案】（1）证明：平分.
在与中.
（2）
是BC的中点，.
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由题意，用角边角可证△ADB≌△ADE，然后根据全等三角形的对应边相等可求解；
（2）由全等三角形的对应边相等可得AE=AB，由线段的构成EC=AC-AE求出EC的值，然后根据线段的中点的定义可求解.
21．【答案】（1）解：将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以点的坐标为．
将，两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为．
（2）解：由函数图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即，
所以当时，的取值范围是：或．
（3）解：因为点在函数的图象上，
所以令点的坐标为，
则点向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得点的坐标可表示为，
即点的坐标为．
因为点在函数的图象上，
所以，
解得，
所以点的坐标为或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先根据待定系数法求出反比例函数的解析式，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出m的值，最后根据待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）结合函数图象以及，两点坐标，即可求解；
（3）设点的坐标为，根据平移的方向的单位可得点的坐标，最后将点坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，即可求解.
（1）解：将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以点的坐标为．
将，两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为．
（2）由函数图象可知，
当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即，
所以当时，的取值范围是：或．
（3）因为点在函数的图象上，
所以令点的坐标为，
则点向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得点的坐标可表示为，
即点的坐标为．
因为点在函数的图象上，
所以，
解得，
所以点的坐标为或．
22．【答案】（1）解：设2021年至2023年日租金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：(不符合题意，舍去).
答：2021年至2023年日租金的平均增长率为；
（2）解：①根据题意得：在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元，
实际能租出辆.
故答案为：；
②根据题意得：，
整理得：，
解得：.
答： 当每辆汽车的日租金上涨20元或30元时，该租赁公司的日收益可达28200元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设2021年至2023年日租金的平均增长率为，根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列关于x的方程，解方程即可求解；
（2）①根据每辆汽车日租金=121+每辆汽车日租金上涨的钱数即可将每辆汽车日租金用含y的代数式表示出来；根据实际能租出的数量=300-2×每辆汽车日租金上涨的钱数可将实际能租出的数量用含y的代数式表示出来；
②根据日收益总租金各类费用可得关于y的方程，解方程即可求解.
23．【答案】（1）四边形是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AB=6，BC=8，
∴由勾股定理得AC=10，
①如图1，当E、F相遇前，连接，
∴GH=EF，
∵ G，H分别是，中点， 四边形ABCD是矩形，
∴AG=BH，AG∥BH，∠BAG=90°，
∴四边形是矩形，
∵AB=6，
∴，
∵，
∴t+6+t=10，
解得：；
②如图2，当E、F相遇后，连接，
同理，，
∴t+t=10+6，
解得：；
综上所述，若四边形为矩形，则或
（3）解：如图3，分别取、的中点为M、N，连接，，，与交于点O，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵四边形ABCD是矩形，BC=8，AB=6，
∴，AD=BC=8，CD=AB=6，∠D=90°，
∴四边形为菱形，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
∴，
∵M是AD中点，AD=8，
∴AM=4，
∴，
根据题意，得MG=t，
∴，
∴当时，四边形为菱形
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题
24．【答案】（1）解：把B（1，0）和C（0，-3）代入y=ax2+bx+c得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3；
∵点A在x轴上，
∴解方程x2+2x-3=0得：
x1=1，x2=3，
∴A（-3，0）.
（2）解：连接AD、CD，
设直线AC的表达式为y=kx+n，
由题意，把A（-3，0）和C（0，-3）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，
过点D作x轴的垂线，交AC于点G，
由图得：S ACD=S ADG+S CDG=DG·OA+DG×3=DG，
∴当DG取最大值时， ACD的面积最大，
设D（m，m2+2m-3），则G（m，-m-3），
∵点D在第三象限，
∴-3＜m＜0，DG=-m-3-(m2+2m-3)=-m2-3m，
∴S ACD=（-m2-3m）=-（m+）2+，
∴当m=-时， ACD的面积最大，且最大值为，
此时点D的坐标为（-，）.
答： ACD的面积的最大值为；D（，）.
（3）解：在二次函数图象上存在点N， 使以为顶点的四边形是平行四边形 ，
理由如下：∵B（1，0），
∴OB=1，
由y=x2+2x-3得，抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
∴当OB为平行四边形的边时，MN=OB=1，
设点N的横坐标为t，
∵MN∥x轴，
∴，
解得：t=0或t=2，
∵点N在抛物线上，
∴点N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）；
∴当OB为平行四边形的对角线时，
，
解得：t=2，
∴点N的坐标为（2，5）.
综上可得：在二次函数图象上存在点N， 使以为顶点的四边形是平行四边形 ，且N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）或（2，5）.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法计算即可求解；
（2）连接AD、CD，用待定系数法求出直线AC的表达式；过点D作x轴的垂线，交AC于点G，由图得：S ACD=S ADG+S CDG=DG·OA+DG×3=DG，于是当DG取最大值时， ACD的面积最大，设D（m，m2+2m-3），则G（m，-m-3），可得S ACD与m之间的函数关系式，并配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解；
（3）由题意可分两种情况讨论：①当OB为平行四边形的边时，②当OB为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质可得关于t的方程，解方程即可求解.
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