四川省古蔺县蔺阳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
1．（2024高二上·古蔺期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，易知直线的斜率，
则，因为，所以.
故答案为：B.
【分析】由直线方程，先求直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系求直线的倾斜角即可.
2．（2024高二上·古蔺期中）已知，则（ ）
A．2i B．4i C．1 D．2
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，则，故．
故答案为：D．
【分析】根据复数的除法运算化简求得复数，再根据共轭复数的定义求其共轭复数，最后根据复数的加法运算求解即可．
3．（2024高二上·古蔺期中）若直线与直线平行，则（ ）
A．0 B． C．2 D．或2
【答案】B
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解： 因为直线与直线平行，
所以，且，解得.
故答案为：B.
【分析】根据直线平行的判定计算即可.
4．（2024高二上·古蔺期中）《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法正确的是（ ）
A．在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数
B．早睡人群睡眠指数主要集中在
C．早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小
D．晚睡人群睡眠指数主要集中在
【答案】B
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、由于不知抽样数据中早睡和晚睡的人数，从而无法确定在睡眠指数的人群中，早睡人数和晚睡人数，故A错误；
B、由统计图可看出早睡人群睡眠指数主要集中在内，故B正确；
C、在统计图中无法确定早睡人群睡眠指数和晚睡人群睡眠指数的极差，故C错误.
D、晚睡人群睡眠指数主要集中在内，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据极差的概念结合统计图中的数据分析判断即可.
5．（2024高二上·古蔺期中）已知事件A，B互斥，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：因为事件A，B互斥，所以，
又因为，所以，故，
故答案为：D.
【分析】由题意，根据互斥事件的概率加法公式求出，再根据对立事件的概率公式求解即可.
6．（2024高二上·古蔺期中）某同学在一次数学测试中的成绩是班级第十名（假设测试的成绩两两不同），且该同学的成绩恰好是该班级成绩的第80百分位数，则该班级的人数可能为（ ）
A．36 B．41 C．46 D．51
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：设班级的人数为，由题意，解得，
因为，所以该班级的人数可能为46.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据第十名成绩为该班级成绩的第80百分位数，列出不等式组求解即可.
7．（2024高二上·古蔺期中）如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用空间向量的基本定理求解即可.
8．（2024高二上·古蔺期中）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，，
当直线的斜率不存在时，，符合：
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，
因为点，，，则，，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，
因为，又，所以，
所以直线的倾斜角范围为.
故答案为：B.
【分析】易知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
9．（2024高二上·古蔺期中）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件
C．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件
D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
【答案】B,D
【知识点】概率的基本性质；概率的应用
【解析】【解答】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A不符合题意
对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B符合题意
对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C不符合题意
对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D符合题意
故答案为：BD
【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案
10．（2024高二上·古蔺期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．在方向上的投影向量是
D．与的夹角为
【答案】B,C
【知识点】空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，
即、不共线，故A错误；
B、与同向的单位向量是，故B正确；
C、在方向上的投影向量，故C正确；
D、因为，所以、不垂直，故D错误.
故答案为：BC．
【分析】利用共线向量的定义即可判断A；利用与同向的单位向量是即可判断B；利用投影向量的定义即可判断C；利用空间向量数量积的坐标运算即可判断D.
11．（2024高二上·古蔺期中）已知正三棱柱的所在棱长均为2，P为棱上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．该正三棱柱内可放入的最大球的体积为
B．该正三棱柱外接球的表面积为
C．存在点P，使得
D．点P到直线的距离的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：A、该正三棱柱内可放入的最大球的半径为的内切圆半径，
体积为，故A错误；
B、该正三棱柱的外接球半径，表面积为，故B正确；
C、如图所示，当为中点时，记与的交点为，如图所示：
因为正三棱柱，所以面为正方形，且，，
为中点，，因为，
在和中由勾股定理可知，
因为为中点，在中由三线合一可得，
因为平面，平面，
所以平面，，得证，故C正确；
D、为棱上的动点， 到直线的距离的最小值即为异面直线与的距离最小值，中点为原点，以的方向为x轴，以方向为y轴， 以方向为y轴
记中点为，以方向为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则
记异面直线与的公共垂向量为，，
则，即，
令，则
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据正三棱柱内可放入的最大球的半径为的内切圆半径，求出球的体积即可判断A；
根据正三棱柱的外接球半径公式即可求出外接球表面积即可判断B；当为中点时， 构造等腰三角形，易证平面即可判断C；建立空间直角坐标系，利用两异面直线距离的向量计算公式即可求出点P到直线的距离的最小值即可判断D.
12．（2024高二上·古蔺期中）已知直线在轴上的截距为1，则 .
【答案】
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解：由直线，令，得，
因为直线在轴上的截距为1，所以，解得.
故答案为：.
【分析】利用横截距的定义求解即可.
13．（2024高二上·古蔺期中）事件、是相互独立事件，若，，则实数的值等于 .
【答案】
【知识点】概率的基本性质
【解析】【解答】解：
，
即，解得.
故答案为：.
【分析】由题意，利用概率的性质及事件的运算关系得到，求参数值即可.
14．（2024高二上·古蔺期中）在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为 .
【答案】
【知识点】空间中两点间的距离公式；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为点，分别为棱，的中点，所以，，
设，，其中，，
则，.
因为，则，解得，
又因为，，则，
可得，
所以，此时，即线段的长度的最小值为.
故答案为：.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，根据可得，再利用两点间距离公式结合二次函数分析求解即可.
15．（2024高二上·古蔺期中）已知顶点、、．
（1）求边的垂直平分线的方程；
（2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
【答案】（1）解：由、，
可知中点为，且，
所以其垂直平分线斜率满足，即，
所以边的垂直平分线的方程为，即；
（2）解：当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）先求中点，利用两点求直线的斜率，即可得其中垂线方程；
（2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解.
（1）由、，
可知中点为，且，
所以其垂直平分线斜率满足，即，
所以边的垂直平分线的方程为，即；
（2）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
16．（2024高二上·古蔺期中）如图，在多面体中，．侧面为矩形，平面平面ABC.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）解：由侧面为矩形，得，又平面，平面，
则，即直线两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（2）解：由（1）知，平面的法向量，，
点到平面的距离.
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量求出线面角的正弦值即可；
（2）由（1）的结论，利用空间向量求出点到面距离即可.
（1）由侧面为矩形，得，又平面，平面，
则，即直线两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（2）由（1）知，平面的法向量，，
点到平面的距离.
17．（2024高二上·古蔺期中）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果
（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.
【答案】（1）解：由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得，
则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以该苹果日销售量的平均值为：
；
（2）解：为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数，
依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，
所以日销售量的分位数为，
所以每天应该进苹果；
（3）解：由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知，
抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，
来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，
任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，则.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值；
（2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可；
（3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，根据古典概型概率公式求解即可.
（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得．
则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以，该苹果日销售量的平均值为：
.
（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．
依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，
所以日销售量的分位数为．
所以，每天应该进苹果．
（3）由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知，
抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，
来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，
任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.
18．（2024高二上·古蔺期中）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲 乙 丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是.
（1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
（2）求甲 乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求甲 乙 丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.
【答案】（1）解：甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为；
（2）解：乙考生通过某校强基招生面试的概率为，
则甲 乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：；
（3）解：丙考生通过某校强基招生面试的概率为，
则甲 乙 丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：.
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案；
（2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲 乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案.
（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为.
（2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲 乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
.
（3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲 乙 丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：
.
19．（2024高二上·古蔺期中）棱柱的所有棱长都等于4，，平面平面，.
（1）证明：；
（2）求二面角的平面角的余弦值；
（3）在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置.
【答案】解：由题意，连接交于，则，连接，在中，，，，
所以，即，
，由于平面平面，所以底面，
以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
（1）由于，，，
则，故；
（2）设平面的法向量，
则，即，取，可得，
同理，可得平面的法向量，
所以，
又由图可知成钝角，所以二面角的平面角的余弦值是；
（3）假设在直线上存在点，使平面，
设，，则，
得，，
设平面，则，设，
得到，不妨取，
又因为平面，则即得，
即点在的延长线上且使.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，即可证明；
（2）分别求得平面和平面的一个法向量，用向量的夹角公式求解即可；
（3）设，求得的坐标和平面的法向量，结合，求得，即可得到结论.
1 / 1四川省古蔺县蔺阳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
1．（2024高二上·古蔺期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·古蔺期中）已知，则（ ）
A．2i B．4i C．1 D．2
3．（2024高二上·古蔺期中）若直线与直线平行，则（ ）
A．0 B． C．2 D．或2
4．（2024高二上·古蔺期中）《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法正确的是（ ）
A．在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数
B．早睡人群睡眠指数主要集中在
C．早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小
D．晚睡人群睡眠指数主要集中在
5．（2024高二上·古蔺期中）已知事件A，B互斥，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·古蔺期中）某同学在一次数学测试中的成绩是班级第十名（假设测试的成绩两两不同），且该同学的成绩恰好是该班级成绩的第80百分位数，则该班级的人数可能为（ ）
A．36 B．41 C．46 D．51
7．（2024高二上·古蔺期中）如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二上·古蔺期中）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高二上·古蔺期中）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件
C．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件
D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
10．（2024高二上·古蔺期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．在方向上的投影向量是
D．与的夹角为
11．（2024高二上·古蔺期中）已知正三棱柱的所在棱长均为2，P为棱上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．该正三棱柱内可放入的最大球的体积为
B．该正三棱柱外接球的表面积为
C．存在点P，使得
D．点P到直线的距离的最小值为
12．（2024高二上·古蔺期中）已知直线在轴上的截距为1，则 .
13．（2024高二上·古蔺期中）事件、是相互独立事件，若，，则实数的值等于 .
14．（2024高二上·古蔺期中）在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为 .
15．（2024高二上·古蔺期中）已知顶点、、．
（1）求边的垂直平分线的方程；
（2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
16．（2024高二上·古蔺期中）如图，在多面体中，．侧面为矩形，平面平面ABC.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离．
17．（2024高二上·古蔺期中）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果
（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.
18．（2024高二上·古蔺期中）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲 乙 丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是.
（1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
（2）求甲 乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求甲 乙 丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.
19．（2024高二上·古蔺期中）棱柱的所有棱长都等于4，，平面平面，.
（1）证明：；
（2）求二面角的平面角的余弦值；
（3）在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，易知直线的斜率，
则，因为，所以.
故答案为：B.
【分析】由直线方程，先求直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系求直线的倾斜角即可.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，则，故．
故答案为：D．
【分析】根据复数的除法运算化简求得复数，再根据共轭复数的定义求其共轭复数，最后根据复数的加法运算求解即可．
3．【答案】B
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解： 因为直线与直线平行，
所以，且，解得.
故答案为：B.
【分析】根据直线平行的判定计算即可.
4．【答案】B
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、由于不知抽样数据中早睡和晚睡的人数，从而无法确定在睡眠指数的人群中，早睡人数和晚睡人数，故A错误；
B、由统计图可看出早睡人群睡眠指数主要集中在内，故B正确；
C、在统计图中无法确定早睡人群睡眠指数和晚睡人群睡眠指数的极差，故C错误.
D、晚睡人群睡眠指数主要集中在内，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据极差的概念结合统计图中的数据分析判断即可.
5．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：因为事件A，B互斥，所以，
又因为，所以，故，
故答案为：D.
【分析】由题意，根据互斥事件的概率加法公式求出，再根据对立事件的概率公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：设班级的人数为，由题意，解得，
因为，所以该班级的人数可能为46.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据第十名成绩为该班级成绩的第80百分位数，列出不等式组求解即可.
7．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用空间向量的基本定理求解即可.
8．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，，
当直线的斜率不存在时，，符合：
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，
因为点，，，则，，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，
因为，又，所以，
所以直线的倾斜角范围为.
故答案为：B.
【分析】易知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
9．【答案】B,D
【知识点】概率的基本性质；概率的应用
【解析】【解答】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A不符合题意
对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B符合题意
对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C不符合题意
对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D符合题意
故答案为：BD
【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案
10．【答案】B,C
【知识点】空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，
即、不共线，故A错误；
B、与同向的单位向量是，故B正确；
C、在方向上的投影向量，故C正确；
D、因为，所以、不垂直，故D错误.
故答案为：BC．
【分析】利用共线向量的定义即可判断A；利用与同向的单位向量是即可判断B；利用投影向量的定义即可判断C；利用空间向量数量积的坐标运算即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：A、该正三棱柱内可放入的最大球的半径为的内切圆半径，
体积为，故A错误；
B、该正三棱柱的外接球半径，表面积为，故B正确；
C、如图所示，当为中点时，记与的交点为，如图所示：
因为正三棱柱，所以面为正方形，且，，
为中点，，因为，
在和中由勾股定理可知，
因为为中点，在中由三线合一可得，
因为平面，平面，
所以平面，，得证，故C正确；
D、为棱上的动点， 到直线的距离的最小值即为异面直线与的距离最小值，中点为原点，以的方向为x轴，以方向为y轴， 以方向为y轴
记中点为，以方向为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则
记异面直线与的公共垂向量为，，
则，即，
令，则
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据正三棱柱内可放入的最大球的半径为的内切圆半径，求出球的体积即可判断A；
根据正三棱柱的外接球半径公式即可求出外接球表面积即可判断B；当为中点时， 构造等腰三角形，易证平面即可判断C；建立空间直角坐标系，利用两异面直线距离的向量计算公式即可求出点P到直线的距离的最小值即可判断D.
12．【答案】
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解：由直线，令，得，
因为直线在轴上的截距为1，所以，解得.
故答案为：.
【分析】利用横截距的定义求解即可.
13．【答案】
【知识点】概率的基本性质
【解析】【解答】解：
，
即，解得.
故答案为：.
【分析】由题意，利用概率的性质及事件的运算关系得到，求参数值即可.
14．【答案】
【知识点】空间中两点间的距离公式；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为点，分别为棱，的中点，所以，，
设，，其中，，
则，.
因为，则，解得，
又因为，，则，
可得，
所以，此时，即线段的长度的最小值为.
故答案为：.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，根据可得，再利用两点间距离公式结合二次函数分析求解即可.
15．【答案】（1）解：由、，
可知中点为，且，
所以其垂直平分线斜率满足，即，
所以边的垂直平分线的方程为，即；
（2）解：当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）先求中点，利用两点求直线的斜率，即可得其中垂线方程；
（2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解.
（1）由、，
可知中点为，且，
所以其垂直平分线斜率满足，即，
所以边的垂直平分线的方程为，即；
（2）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
16．【答案】（1）解：由侧面为矩形，得，又平面，平面，
则，即直线两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（2）解：由（1）知，平面的法向量，，
点到平面的距离.
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量求出线面角的正弦值即可；
（2）由（1）的结论，利用空间向量求出点到面距离即可.
（1）由侧面为矩形，得，又平面，平面，
则，即直线两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（2）由（1）知，平面的法向量，，
点到平面的距离.
17．【答案】（1）解：由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得，
则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以该苹果日销售量的平均值为：
；
（2）解：为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数，
依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，
所以日销售量的分位数为，
所以每天应该进苹果；
（3）解：由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知，
抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，
来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，
任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，则.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值；
（2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可；
（3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，根据古典概型概率公式求解即可.
（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得．
则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以，该苹果日销售量的平均值为：
.
（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．
依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，
所以日销售量的分位数为．
所以，每天应该进苹果．
（3）由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知，
抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，
来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，
任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.
18．【答案】（1）解：甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为；
（2）解：乙考生通过某校强基招生面试的概率为，
则甲 乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：；
（3）解：丙考生通过某校强基招生面试的概率为，
则甲 乙 丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：.
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案；
（2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲 乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案.
（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为.
（2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲 乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
.
（3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲 乙 丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：
.
19．【答案】解：由题意，连接交于，则，连接，在中，，，，
所以，即，
，由于平面平面，所以底面，
以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
（1）由于，，，
则，故；
（2）设平面的法向量，
则，即，取，可得，
同理，可得平面的法向量，
所以，
又由图可知成钝角，所以二面角的平面角的余弦值是；
（3）假设在直线上存在点，使平面，
设，，则，
得，，
设平面，则，设，
得到，不妨取，
又因为平面，则即得，
即点在的延长线上且使.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，即可证明；
（2）分别求得平面和平面的一个法向量，用向量的夹角公式求解即可；
（3）设，求得的坐标和平面的法向量，结合，求得，即可得到结论.
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