广州市白云区广州空港实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2024高一上·白云期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为 集合，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据集合的并集运算求解即可.
2．（2024高一上·白云期中）下列是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由指数函数的特征：系数为1，底数，自变量在指数位置可知，D符合．
故答案为：D.
【分析】根据指数函数的概念判断即可.
3．（2024高一上·白云期中）使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，可得，解得，则选项中的的范围组成的集合是的真子集，故使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”.
故答案为：B.
【分析】先解分式不等式，求得解集，再根据题意结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．（2024高一上·白云期中）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①，②，③ B．①，②，③
C．①，②，③ D．①，②，③
【答案】A
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数是反比例函数，其对应图象为①；
函数的定义域为，应为图②；
因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.
故答案为：A.
【分析】根据常见幂函数的图象与性质，逐项判断即可.
5．（2024高一上·白云期中）已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为为正实数，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：A.
【分析】利用构造，再利用基本不等式求解即可.
6．（2024高一上·白云期中）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为对任意，当时都有成立，
所以函数在上是增函数，
则，解得，故实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】由题意，先判断函数的单调性，再利用增函数的定义结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可.
7．（2024高一上·白云期中）在上定义的运算，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：根据给出在上定义运算
，
由得，解之得，
故该不等式的解集是．
故答案为：B.
【分析】根据新定义运算法化简不等式得到，再求解一元二次不等式即可得实数x的范围.
8．（2024高一上·白云期中）设函数 ， .用 表示 ， 中的较大者，记为 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．0 D．
【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】令 ，解得 或 ，
作出 的图象如下图所示：
由图象可知：当 时， 有最小值，此时 ，
故答案为：A.
【分析】根据题意作出的函数图象，根据函数图象求解出的最小值。
9．（2024高一上·白云期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】B,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、若，则，故A错误；
B、可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确；
C、因为，，，满足，但，故C错误；
D、若，则，由不等式同向可加性的性质知，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用不等式的性质逐项判定即可.
10．（2024高一上·白云期中）（多选）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：因为不等式的解集为，
所以，解得，
所以，即.
故答案为：BCD.
【分析】由题意可得，且是方程的两根，计算可得，再根据判断即可.
11．（2024高一上·白云期中）已知函数的定义域为，若，且在上单调递增，，则（ ）
A． B． C．是奇函数 D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、令，得，则，
由在上单调递增，得不恒为1，因此，故A正确；
B、令，得，则，
而，因此，故B正确；
C、，取，则，
即有，因此函数是偶函数，又时，，
则函数不是奇函数，故C错误；
D、，令，则，
当时，；当时，，，，
因此，当时，，，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件，结合赋值法计算即可判断ABC；结合选项C的结论，分段探讨的取值情况即可判断D.
12．（2024高一上·白云期中）命题，的否定是
【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解： 命题，的否定是，.
故答案为：，.
【分析】根据命题的否定直接写结果即可.
13．（2024高一上·白云期中）已知，则的定义域为
【答案】且
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使有意义，则
，
解得且.
故函数的定义域为且.
故答案为：且.
【分析】根据函数有意义，列不等式组求解即可.
14．（2024高一上·白云期中）已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，且，则不等式的解集为
【答案】或
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，
则在上为增函数，由，则，
由，则或，则或
解得或，
则不等式的解集为或.
故答案为：或.
【分析】利用偶函数在对称区间单调性相反，分类讨论，列不等式组计算即可.
15．（2024高一上·白云期中）已知集合，，且.
（1）写出集合的所有子集；
（2）求实数的值组成的集合.
【答案】（1）解：由，解得或，则集合，
则集合的所有子集为，，，；
（2）解：由得，
①当时，，满足条件，
②当时，，因为，
所以或，解得或，
综上，实数的值组成集合为.
【知识点】子集与真子集；并集及其运算
【解析】【分析】（1）先解一元二次方程求得集合A，再由子集定义写子集即可；
（2）分和讨论，当时求出集合B，根据集合关系即可求解.
（1）由解得或，
所以，
所以集合的所有子集为，，，.
（2）由得，
①当时，，满足条件.
②当时，，因为，
所以或，解得或.
综上，实数的值组成集合为.
16．（2024高一上·白云期中）已知，集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，集合，则或，
故；
（2）解：由题知，集合A是集合B的真子集，
当时，，即，符合题意，
当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得，
综上，实数a的取值范围为．
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；充分条件
【解析】【分析】（1）将代入求得集合A，再求，最后根据集合的交集运算求解即可；
（2）根据已知条件得集合A是集合B的真子集，讨论，两种情况，求解即可.
（1）当时，集合，可得或，
所以；
（2）由题知，集合A是集合B的真子集，
当时，，即，符合题意，
当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得，
综上，实数a的取值范围为．
17．（2024高一上·白云期中）已知二次函数，.
（1）若，求在上的值域；
（2）求在上的最小值.
【答案】（1）解：当时，，
对称轴在区间内.当时，取得最小值，
当时，.当时，，
所以在上的最大值为，最小值为，值域为；
（2）解：函数的对称轴为，
当时，函数在上单调递增，
所以在上的最小值，
当时，在处取得最小值，
所以，
当时，函数在上单调递减，
所以，
在上的最小值.
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）当时，先确定函数的解析式，再判断其在区间上的单调性，进而求出值域即可；
（2）根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论求出最小值.
（1）当时，.
对称轴在区间内.当时，取得最小值.
当时，.当时，.
所以在上的最大值为，最小值为，值域为.
（2）函数的对称轴为.
当时，函数在上单调递增.
所以在上的最小值.
当时，在处取得最小值.
所以.
当时，函数在上单调递减.
所以.
在上的最小值.
18．（2024高一上·白云期中）某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）
（1）写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．
（2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以万元转让该项目；
②纯利润最大时，以万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可知，
令，得，解得，
所以从第年起开始盈利；
（2）解：若选择方案①，设年平均利润为万元，则，
当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值，
此时该项目共获利（万元）．
若选择方案②，纯利润，
所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）．
以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．
【知识点】二次函数的性质；根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合纯利润=累计收入-总维修保养费用-投资成本公式，求出纯利润f(n)，令f(n)>0，即可求解出该项目从第几年起开始盈利；
(2)根据已知条件，分别求出两种方案的总利润，通过比较大小，即可求解出利润最大值 .
19．（2024高一上·白云期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）用定义法证明函数在上单调递增；
（3）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由于奇函数在处有定义，所以，，
，则，经检验符合题意，故，；
（2）证明：由（1）知.
任取、且，即，则，，
所以，，
则，所以，函数在上单调递增；
（3）解：由（2）知，
所以对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
所以，解得或，
所以的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据函数的奇偶性和特殊点求得，注意检验即可.
（2）根据函数单调性的定义证名即可；
（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围.
（1）由于奇函数在处有定义，所以，，
，.
经检验符合题意；
（2）由（1）知.
任取、且，即，则，，
所以，，
则，所以，函数在上单调递增.
（3）由（2）知，
所以对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
所以，解得或，
所以的取值范围为.
1 / 1广州市白云区广州空港实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2024高一上·白云期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一上·白云期中）下列是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·白云期中）使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·白云期中）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①，②，③ B．①，②，③
C．①，②，③ D．①，②，③
5．（2024高一上·白云期中）已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·白云期中）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·白云期中）在上定义的运算，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高一上·白云期中）设函数 ， .用 表示 ， 中的较大者，记为 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．0 D．
9．（2024高一上·白云期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
10．（2024高一上·白云期中）（多选）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高一上·白云期中）已知函数的定义域为，若，且在上单调递增，，则（ ）
A． B． C．是奇函数 D．
12．（2024高一上·白云期中）命题，的否定是
13．（2024高一上·白云期中）已知，则的定义域为
14．（2024高一上·白云期中）已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，且，则不等式的解集为
15．（2024高一上·白云期中）已知集合，，且.
（1）写出集合的所有子集；
（2）求实数的值组成的集合.
16．（2024高一上·白云期中）已知，集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
17．（2024高一上·白云期中）已知二次函数，.
（1）若，求在上的值域；
（2）求在上的最小值.
18．（2024高一上·白云期中）某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）
（1）写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．
（2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以万元转让该项目；
②纯利润最大时，以万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．
19．（2024高一上·白云期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）用定义法证明函数在上单调递增；
（3）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为 集合，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据集合的并集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由指数函数的特征：系数为1，底数，自变量在指数位置可知，D符合．
故答案为：D.
【分析】根据指数函数的概念判断即可.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，可得，解得，则选项中的的范围组成的集合是的真子集，故使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”.
故答案为：B.
【分析】先解分式不等式，求得解集，再根据题意结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】A
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数是反比例函数，其对应图象为①；
函数的定义域为，应为图②；
因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.
故答案为：A.
【分析】根据常见幂函数的图象与性质，逐项判断即可.
5．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为为正实数，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：A.
【分析】利用构造，再利用基本不等式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为对任意，当时都有成立，
所以函数在上是增函数，
则，解得，故实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】由题意，先判断函数的单调性，再利用增函数的定义结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：根据给出在上定义运算
，
由得，解之得，
故该不等式的解集是．
故答案为：B.
【分析】根据新定义运算法化简不等式得到，再求解一元二次不等式即可得实数x的范围.
8．【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】令 ，解得 或 ，
作出 的图象如下图所示：
由图象可知：当 时， 有最小值，此时 ，
故答案为：A.
【分析】根据题意作出的函数图象，根据函数图象求解出的最小值。
9．【答案】B,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、若，则，故A错误；
B、可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确；
C、因为，，，满足，但，故C错误；
D、若，则，由不等式同向可加性的性质知，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用不等式的性质逐项判定即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：因为不等式的解集为，
所以，解得，
所以，即.
故答案为：BCD.
【分析】由题意可得，且是方程的两根，计算可得，再根据判断即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、令，得，则，
由在上单调递增，得不恒为1，因此，故A正确；
B、令，得，则，
而，因此，故B正确；
C、，取，则，
即有，因此函数是偶函数，又时，，
则函数不是奇函数，故C错误；
D、，令，则，
当时，；当时，，，，
因此，当时，，，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件，结合赋值法计算即可判断ABC；结合选项C的结论，分段探讨的取值情况即可判断D.
12．【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解： 命题，的否定是，.
故答案为：，.
【分析】根据命题的否定直接写结果即可.
13．【答案】且
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使有意义，则
，
解得且.
故函数的定义域为且.
故答案为：且.
【分析】根据函数有意义，列不等式组求解即可.
14．【答案】或
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，
则在上为增函数，由，则，
由，则或，则或
解得或，
则不等式的解集为或.
故答案为：或.
【分析】利用偶函数在对称区间单调性相反，分类讨论，列不等式组计算即可.
15．【答案】（1）解：由，解得或，则集合，
则集合的所有子集为，，，；
（2）解：由得，
①当时，，满足条件，
②当时，，因为，
所以或，解得或，
综上，实数的值组成集合为.
【知识点】子集与真子集；并集及其运算
【解析】【分析】（1）先解一元二次方程求得集合A，再由子集定义写子集即可；
（2）分和讨论，当时求出集合B，根据集合关系即可求解.
（1）由解得或，
所以，
所以集合的所有子集为，，，.
（2）由得，
①当时，，满足条件.
②当时，，因为，
所以或，解得或.
综上，实数的值组成集合为.
16．【答案】（1）解：当时，集合，则或，
故；
（2）解：由题知，集合A是集合B的真子集，
当时，，即，符合题意，
当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得，
综上，实数a的取值范围为．
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；充分条件
【解析】【分析】（1）将代入求得集合A，再求，最后根据集合的交集运算求解即可；
（2）根据已知条件得集合A是集合B的真子集，讨论，两种情况，求解即可.
（1）当时，集合，可得或，
所以；
（2）由题知，集合A是集合B的真子集，
当时，，即，符合题意，
当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得，
综上，实数a的取值范围为．
17．【答案】（1）解：当时，，
对称轴在区间内.当时，取得最小值，
当时，.当时，，
所以在上的最大值为，最小值为，值域为；
（2）解：函数的对称轴为，
当时，函数在上单调递增，
所以在上的最小值，
当时，在处取得最小值，
所以，
当时，函数在上单调递减，
所以，
在上的最小值.
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）当时，先确定函数的解析式，再判断其在区间上的单调性，进而求出值域即可；
（2）根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论求出最小值.
（1）当时，.
对称轴在区间内.当时，取得最小值.
当时，.当时，.
所以在上的最大值为，最小值为，值域为.
（2）函数的对称轴为.
当时，函数在上单调递增.
所以在上的最小值.
当时，在处取得最小值.
所以.
当时，函数在上单调递减.
所以.
在上的最小值.
18．【答案】（1）解：由题意可知，
令，得，解得，
所以从第年起开始盈利；
（2）解：若选择方案①，设年平均利润为万元，则，
当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值，
此时该项目共获利（万元）．
若选择方案②，纯利润，
所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）．
以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．
【知识点】二次函数的性质；根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合纯利润=累计收入-总维修保养费用-投资成本公式，求出纯利润f(n)，令f(n)>0，即可求解出该项目从第几年起开始盈利；
(2)根据已知条件，分别求出两种方案的总利润，通过比较大小，即可求解出利润最大值 .
19．【答案】（1）解：由于奇函数在处有定义，所以，，
，则，经检验符合题意，故，；
（2）证明：由（1）知.
任取、且，即，则，，
所以，，
则，所以，函数在上单调递增；
（3）解：由（2）知，
所以对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
所以，解得或，
所以的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据函数的奇偶性和特殊点求得，注意检验即可.
（2）根据函数单调性的定义证名即可；
（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围.
（1）由于奇函数在处有定义，所以，，
，.
经检验符合题意；
（2）由（1）知.
任取、且，即，则，，
所以，，
则，所以，函数在上单调递增.
（3）由（2）知，
所以对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
所以，解得或，
所以的取值范围为.
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